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    “極限思想”解決導數(shù)問題

    2018-03-05 02:41:03孫文淼
    新課程(下) 2018年1期
    關鍵詞:解題思想數(shù)學

    孫文淼

    (江蘇省常州市第二中學)

    數(shù)學教育家G·波利亞指出:“對于任何一門學科,我們要掌握兩方面的東西——知識和技巧?!睂τ跀?shù)學學科而言,知識是書本上的概念、定義等,技巧是書本的內容所反映的數(shù)學思想與方法。隨著課程改革進程的不斷推進,中學教學任務也逐步由傳授學科知識向培養(yǎng)核心素養(yǎng)轉變,而數(shù)學思想的滲透就顯得尤為關鍵。

    高中數(shù)學的諸多思想中,極限思想是非常重要的一種,它能讓我們從有限發(fā)展到無限、在相似中掌握準確、從特殊認識一般。它在中學的數(shù)學課本和練習題中都有體現(xiàn)出來。在中學的數(shù)學教學過程中滲透極限思想,可以有效地幫助學生解決多種數(shù)學問題,包括函數(shù)問題、不等式問題、立體幾何問題、平面解析問題、數(shù)列問題等等。

    而導數(shù)在高考時是??贾R點,經常作為壓軸題出現(xiàn)。但這類抽象性的問題學生往往覺得難以理解,不知該如何去應用解決,遇到導數(shù)題,常常望而卻步,無從下手。其實,導數(shù)作為研究切線及函數(shù)單調性的有力工具,許多與直線、與曲線位置有關的交點個數(shù)問題,不等式恒成立問題,由零點求參數(shù)的問題便可以用導數(shù)去求解。如果我們仍然拘泥于《考試大綱》中的要求,忽視相應能力的提高,便無法適應高考的要求,也無法實現(xiàn)學生素養(yǎng)的提升。下面筆者主要談談極限畫圖——利用導數(shù)定性定形,以形找數(shù),數(shù)形結合。根據無限趨向情況來研究圖象,可以避免很多繁瑣的數(shù)學計算,利用數(shù)形結合的思想能夠幫助我們較快地獲得解題思路,分解解題難度,達到事半功倍的效果。

    一、預備知識

    極限定義:設函數(shù)f(x)在點x0附近(但可能除掉x0點本身)有定義,又設A是一個定數(shù),如果對任意給定的ε>0,一定存在δ>0,使得當 0<<δ時,總有我們就稱A是函數(shù)f(x)在x0點的極限,記為f(x)→A(x→x0),也可記為A.+∞叫正無窮,-∞叫負無窮;左極限:從一個地方的左側無限靠近這個地方時所取到的極限值,如0-,叫負無窮小,表示從0的左邊無限靠近0;右極限:從一個地方的右側無限靠近這個地方時所取到的極限值,如0+,叫正無窮小,表示從0的右邊無限靠近0。

    二、幾個常見函數(shù)的圖象和性質

    表1

    注:定義域中去掉的1在圖象中是它的漸近線.

    (1)若函數(shù) (fx)在x=2處的切線方程為 y=x+b,求 a,b的值;

    (2)若函數(shù)(fx)在(1,+∞)為增函數(shù),求a的取值范圍;

    (3)討論方程(fx)=0解的個數(shù),并說明理由。

    解:(1)a=2,b=-2ln2

    (2)a≤1

    圖1

    (3)法一:當a=0時,f(x)在定義域(0,+∞)上恒大于0,此時方程無解;當a<0時,f(′x)=x->0在(0,+∞)上恒成立,所以 (fx)在定義域(0,+∞)上為增函數(shù)。

    當2a=2e或2a<0時,1個解;

    當 2a>2e 時,2 個解.即當 0≤a<e 時,無解;

    a=e或 a<0時,1個解;當 a>e時,2個解。

    由兩種做法對比發(fā)現(xiàn),引導學生進行數(shù)形結合,利用極限思想作出函數(shù)圖象,轉化為直觀易懂的問題,學生就容易理解,進而解決問題并獲得成功的體驗。

    例2(2017屆蘇錫常鎮(zhèn)高三二模19)

    已知函數(shù) f(x)=alnx-bx3,a,b 為實數(shù),b≠0,e 為自然對數(shù)的底數(shù)。

    (1)當 a<0,b=-1 時,設函數(shù) f(x)的最小值為 g(a),求 g(a)的最大值。

    (2)若關于x的方程f(x)=0在區(qū)間(1,e]上有兩個不同實數(shù)解,求的取值范圍。

    (2)f(x)在區(qū)間(1,e]上有兩個不同實數(shù)解等價轉化為=的圖象在區(qū)間(1,e]有兩個交點。由上可知,即n=3時,通過圖象易知

    表2

    圖2

    例3 2013年普通高等學校統(tǒng)一考試試題20(江蘇卷)

    設函數(shù)f(x)=lnx-ax,g(a)=ex-ax,其中a為實數(shù)。

    (1)若f(x)在(1,+∞)上是單調減函數(shù),且g(x)在(1,+∞)上有最小值,求 a的取值范圍;(2)若 g(x)在(-1,+∞)上是單調增函數(shù),試求f(x)的零點個數(shù),并證明你的結論。

    解:(1)a>e。

    (2)因為 g(x)在(-1,+∞)上是單調增函數(shù),所以 g(x)=ex-a≥0在(-1,+∞)恒成立,故 a≤,求(fx)的零點個數(shù)等價轉化為,即 y=a與的交點個數(shù)。由上可知,即n=1時,通過函數(shù)圖像易知,當a=或a≤0時,(fx)有1個零點;當0<a<,(fx)有兩個零點。

    3.f(x)=(x-a)·ex的性質和圖象

    定義域R,f(′x)=(2x-a)·ex,令f(′x)=0

    表3

    圖3

    例4(a=0)已知函數(shù)(fx)=x·ex,若關于的方程[(fx)+]·[(fx)-λ]=0有僅有3個不同的實數(shù)解,求實數(shù)λ的取值范圍。

    筆者挑選了在習題中出現(xiàn)頻次最高的三類函數(shù),根據導數(shù),通過極限思想作出了函數(shù)圖象,函數(shù)的恒成立問題、有解問題,函數(shù)的零點個數(shù)問題,函數(shù)圖象的交點問題這些復雜的問題可以簡單化,為一開始無從下手的問題提供解題思路。

    狄德羅說過:“數(shù)學中所謂美的問題則指一個難以解決的問題;而所謂美的解答,則是指對于困難和復雜問題的簡單回答?!睒O限思想是運動變化中的思想法則和規(guī)律,有助于解題思路的展開,更有利于簡化解體結構,所以我們要重視極限思想在導數(shù)方面的應用,體會極限思想給我們解題帶來的無限奇妙之處。

    [1]姚久德.極限思想在解題中的應用[J].中學數(shù)學教學參考,2017(4).

    [2]張學均.極限思想在數(shù)學導數(shù)中的應用[J].科學咨詢,2016(27).

    [3]黃克方.中學數(shù)學解題中極限思想的滲透[J].職教天地,2012(5).

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