從柯西不等式的證明過(guò)程談?wù)剺?gòu)造法

孟憲華

（陜西省渭南市渭南高級(jí)中學(xué)）

例 1：設(shè) a1、a2、…、an都是正數(shù)，求證：對(duì)任意的正整數(shù) n，下面的不等式成立：

分析：我們可以構(gòu)造二次函數(shù) f（x）=（a1x+1）2+（a2x+1）2+…+（anx+1）2，顯然f（x）≥0

綜合二次函數(shù)的性質(zhì)，我們可以得到：

即（a1+a2+…+an）2≤n·

例 2：已知 a，b，c∈R+，試比較的大小。

分析：我們可以構(gòu)造二次函數(shù)

∴f（x）≥0

由二次函數(shù)的性質(zhì)，我們可以得到：

4（a+b+c）2-4（）·2（a+b+c）≤0

上面的問(wèn)題中，我們通過(guò)構(gòu)造二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)：f（x）≥0，其判別式Δ≤0，解決問(wèn)題。我們考慮，如果二次函數(shù)的函數(shù)值并不都是正數(shù)時(shí)，即f（x）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，能不能用這個(gè)性質(zhì)來(lái)解決一些問(wèn)題呢？我們看一看下面這道題。

上面的解法，利用二次函數(shù)、二次方程、二次不等式三者之間的聯(lián)系，構(gòu)造二次函數(shù)來(lái)證形如“a≤x0≤b”的不等式。為了證明a≤x0≤b 成立，構(gòu)造函數(shù) f（x）=（x-a）·（x-b）依據(jù)已知條件證明f（x）≤0，而a≤b，從而可以肯定（x0-a）·（x0-b）≤0，即a≤x0≤b。

例 4：已知 a，b，c∈R+，a+b＜2c 求證

分析：我們構(gòu)造二次函數(shù)：

∵a，b，c∈R+，a+b＜2c

∴f（a）=a2-2ac+ab=a·（a+b-2c）＜0，

在高中階段，構(gòu)造輔助函數(shù)是我們經(jīng)常用到的方法之一。其基本思路是通過(guò)構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用所構(gòu)造的函數(shù)性來(lái)證明不等式或求解問(wèn)題，高中生如果能掌握這種方法，對(duì)于日常的解題有很大幫助，有利于學(xué)習(xí)成績(jī)的快速提高。

［1］傅榮強(qiáng).龍門(mén)專(zhuān)題（高中數(shù)學(xué)不等式）［M］.北京：龍門(mén)書(shū)局，2006.

［2］嚴(yán)士健，王尚志.數(shù)學(xué)（選修 4-5，不等式選沖）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2008.