履帶變構(gòu)式輪履復(fù)合爬樓輪椅爬樓平穩(wěn)性分析

曹沖振，周 娜，王鳳芹，陳京邦

（1.山東科技大學(xué) 交通學(xué)院，山東 青島 266590；2.山東科技大學(xué) 機(jī)械電子工程學(xué)院，山東 青島 266590）

1 引言

輪履復(fù)合式爬樓輪椅由于其兼具履帶爬樓平穩(wěn)和輪子平地行走靈活的優(yōu)點(diǎn)而具有良好的發(fā)展前景[1-2]。在輪履復(fù)合爬樓輪椅的設(shè)計(jì)過程中找到合適的輪履復(fù)合方式是一個(gè)關(guān)鍵問題，同時(shí)為了保證乘坐者乘坐的舒適性和安全性，爬樓輪椅在履帶爬樓過程中的平穩(wěn)性更是設(shè)計(jì)過程中需要考慮的關(guān)鍵問題。研究一種基于行走輪擺動(dòng)的履帶變構(gòu)式輪履復(fù)合爬樓輪椅[3]，對(duì)其爬樓過程中的平穩(wěn)性、安全性進(jìn)行分析。并通過樣機(jī)試驗(yàn)驗(yàn)證分析結(jié)果。

2 爬樓輪椅結(jié)構(gòu)

基于大輪擺動(dòng)的履帶變構(gòu)式輪履復(fù)合爬樓輪椅巧妙結(jié)合了普通輪椅和履帶爬樓機(jī)，平地行走狀態(tài)和爬樓狀態(tài)的整體模型，如圖1所示。主要包括輪椅架、擺臂大輪和履帶爬樓機(jī)構(gòu)。輪椅架即為普通輪椅的輪椅架；擺臂大輪為普通輪椅的行走大輪固定在擺臂機(jī)構(gòu)上，由擺臂電機(jī)驅(qū)動(dòng)，可以相對(duì)履帶爬樓機(jī)構(gòu)擺動(dòng)；履帶爬樓機(jī)構(gòu)由折疊電機(jī)驅(qū)動(dòng)，可以通過折疊變構(gòu)置于輪椅座椅下方[3]。

圖1 整體模型Fig.1 The Model of this Project

3 爬樓輪椅爬樓平穩(wěn)性分析

3.1 均勻樓梯上的爬樓平穩(wěn)性分析

假設(shè)樓梯是均勻的。爬樓輪椅在爬樓過程中，爬樓履帶底部的支撐有時(shí)是兩條臺(tái)階沿，有時(shí)是三條臺(tái)階沿。在剛剛變成兩條臺(tái)階沿支撐或者即將由兩條臺(tái)階沿支撐變成三條在支撐時(shí)，爬樓輪椅的重心位于兩條臺(tái)階沿支撐的極限位置，爬樓輪椅處于最不穩(wěn)定的狀態(tài)。兩個(gè)臨界狀態(tài)的建模，如圖2所示。B點(diǎn)為輪椅以及乘坐者的重心，A、C為履帶底平面兩端點(diǎn)（線），D、E、F為臺(tái)階沿。圖中已知量L1=AB=780mm，L2=BC=475mm，L3=AC=750mm，∠β=36.08°，∠δ=75.42°；變量b、h、γ分別為樓梯的寬度、高度和樓梯傾角。

圖2 均勻樓梯的爬樓平穩(wěn)性分析數(shù)學(xué)建模Fig.2 The Mathematical Model of Stair Stability Analysis

由平穩(wěn)性要求可知，為了保證履帶爬樓的平穩(wěn)性，必須使重心B位于兩個(gè)支撐點(diǎn)（線）之間[4-5]。即圖2（a）狀態(tài)時(shí)重心需位于E點(diǎn)左側(cè)，保證爬樓輪椅的后平穩(wěn)性：L2cos（δ-γ）＞b （1）

圖2（b）狀態(tài)時(shí)重心需位于E點(diǎn)右側(cè)，保證爬樓輪椅的前平穩(wěn)性：L1cos（β+γ）＞b （2）

民用建筑設(shè)計(jì)準(zhǔn)則中規(guī)定，住宅公共樓梯臺(tái)階尺寸最小臺(tái)階寬度為260mm，最大臺(tái)階高度為175mm[6]。常見住宅公共樓梯參數(shù)為高度（150～175）mm，寬度（260～300）mm。用MATLAB作函數(shù)f（b，h）和g（b，h）圖像，為了方便劃分網(wǎng)格，使運(yùn)算的矩陣維數(shù)匹配，圖中寬度b采用范圍（250～300）mm。結(jié)果，如圖3所示。

圖3中間平面為z=0的平面，上側(cè)曲面表示函數(shù)f（b，h），下側(cè)曲面表示函數(shù)g（b，h）。在b，h的取值范圍內(nèi)，兩個(gè)函數(shù)曲面和z=0平面都沒有交點(diǎn)，兩個(gè)不等式都成立，即現(xiàn)有結(jié)構(gòu)參數(shù)的履帶變構(gòu)式爬樓輪椅在常見樓梯上都能夠滿足平穩(wěn)性要求。

圖3 f（b，h）和g（b，h）函數(shù)圖Fig.3 Plots of f（b，h）and g（b，h）

為了增加爬樓輪椅安全系數(shù)方面的保障，需要進(jìn)一步確定該爬樓輪椅在現(xiàn)有結(jié)構(gòu)參數(shù)下的爬樓平穩(wěn)性裕度[7]。所謂爬樓平穩(wěn)性裕度定義為：履帶爬樓處于圖2所示兩個(gè)最不穩(wěn)定的臨界狀態(tài)時(shí)，爬樓輪椅和乘坐者整體重心位置分別到相近臺(tái)階沿的水平距離與臺(tái)階寬度的比值，平穩(wěn)性裕度大于0，說明爬樓平穩(wěn)。平穩(wěn)性裕度表達(dá)式如下：后平穩(wěn)性裕度

代入數(shù)值化簡得到關(guān)于b、h的函數(shù)，并用MATLAB作函數(shù)圖像，如圖4所示。圖中λ1曲面為后平穩(wěn)性裕度函數(shù)圖，λ2曲面為前平穩(wěn)性裕度函數(shù)圖。由圖可知在常見尺寸的樓梯上后平穩(wěn)性裕度λ1＞0.044，前平穩(wěn)性裕度λ2＞0.025，說明爬樓輪椅爬樓平穩(wěn)。

圖 4 λ1和 λ2函數(shù)圖Fig.4 Plots of λ1and λ2

3.2 非均勻樓梯上的爬樓平穩(wěn)性分析

實(shí)際生活中的樓梯基本都是不均勻的，存在某一臺(tái)階突高、突低、突寬和突窄等情況。爬樓輪椅在非均勻樓梯上的爬樓過程肯定不是完全平穩(wěn)的，但是在樓梯參數(shù)合適時(shí)，爬樓輪椅的爬樓過程能夠波動(dòng)最少，爬樓最平穩(wěn)。因此非均勻樓梯時(shí)的爬樓平穩(wěn)性要求為爬樓過程最平穩(wěn)。下面分別根據(jù)幾個(gè)不均勻因素單獨(dú)存在時(shí)該爬樓輪椅的爬樓過程，通過數(shù)學(xué)建模，分析該爬樓輪椅的爬樓平穩(wěn)性。當(dāng)存在某一臺(tái)階突高時(shí)爬樓輪椅的上樓過程，如圖5所示。部分參數(shù)參照?qǐng)D2。圖中D、E、F、H為臺(tái)階沿，臺(tái)階沿F處的臺(tái)階突高，高為

圖5 越過突高臺(tái)階的上樓過程Fig.5 The Process of Climbing up a Higher Step

圖5（a）中履帶底平面后端點(diǎn)（線）C和F臺(tái)階沿所在臺(tái)階的立面處于接觸臨界狀態(tài)，為了保證爬樓輪椅不會(huì)在C點(diǎn)接觸該臺(tái)階立面之前就發(fā)生后仰，此時(shí)重心B在水平面上投影的位置必須位于臺(tái)階沿 E 的左側(cè)，即有：L2cos（δ-γ）＞b （6）

圖5（b）中履帶底平面前端點(diǎn)（線）A和D臺(tái)階沿所在臺(tái)階的水平面處于臨界接觸狀態(tài)，為了保證爬樓輪椅不會(huì)在A點(diǎn)離開該臺(tái)階水平面之后發(fā)生前傾，此時(shí)重心B在水平面上投影的位置必須位于臺(tái)階沿 E 的右側(cè)，即有：L1cos（β+γ1）＞s1（7）

圖5（c）中爬樓輪椅和乘坐者整體的重心恰好位于F臺(tái)階沿的正上方，爬樓輪椅即將繞F臺(tái)階沿后仰。若履帶底平面后端點(diǎn)（線）C與臺(tái)階沿F的距離小于臺(tái)階沿F和臺(tái)階沿H的距離，即FC＜FH，此時(shí)發(fā)生后仰，履帶會(huì)先支撐在H臺(tái)階沿所在臺(tái)階的臺(tái)階立面上，繼續(xù)上行后履帶再由臺(tái)階沿H支撐，此過程中爬樓輪椅俯仰波動(dòng)較大，平穩(wěn)性較差；若履帶底平面后端點(diǎn)（線）C與臺(tái)階沿F的距離大于臺(tái)階沿F和臺(tái)階沿H的距離，即FC＞FH，此時(shí)發(fā)生后仰，履帶底平面就能夠直接支撐在臺(tái)階沿H上，爬樓輪椅爬樓平穩(wěn)性最好。所以為了保證爬樓輪椅在爬樓過程中平穩(wěn)性最好，要使 FC＞FH，即有：

圖5（d）中履帶底平面前端點(diǎn)（線）A和E臺(tái)階沿處于臨界接觸狀態(tài)，為了保證此狀態(tài)之后爬樓輪椅能夠由臺(tái)階沿A和臺(tái)階沿F支撐變成臺(tái)階沿F和臺(tái)階沿H支撐，此狀態(tài)時(shí)重心B在水平面上投影的位置必須位于臺(tái)階沿F的右側(cè)，即有：

式（6）至式（9）聯(lián)立化簡之后得：

當(dāng)存在某一臺(tái)階突高時(shí)爬樓輪椅的下樓過程，如圖6所示。部分參數(shù)參照?qǐng)D2和圖5。

圖6 越過突高臺(tái)階的下樓過程Fig.6 The Process of Climbing down a Higher Step

圖6（a）中爬樓輪椅和乘坐者整體的重心恰好位于F臺(tái)階沿的正上方，爬樓輪椅即將繞F臺(tái)階沿前傾。若履帶底平面前端點(diǎn)（線）A與臺(tái)階沿F的距離小于臺(tái)階沿F和臺(tái)階沿E的距離，即FA＜FE，此時(shí)發(fā)生前傾，履帶會(huì)先支撐在E臺(tái)階沿所在臺(tái)階的水平面上，繼續(xù)下行后履帶再由臺(tái)階沿E支撐，此過程中爬樓輪椅俯仰波動(dòng)較大，平穩(wěn)性較差；若履帶底平面的前端點(diǎn)（線）C與臺(tái)階沿F的距離大于臺(tái)階沿F和臺(tái)階沿E的距離，即FA＞FE，此時(shí)發(fā)生前傾，履帶底平面就能夠直接支撐在臺(tái)階沿E上，爬樓輪椅爬樓平穩(wěn)性最好。所以為了保證爬樓輪椅在爬樓過程中平穩(wěn)性最好，要使 FA＞FE，即有：

圖6（b）中履帶底平面后端點(diǎn)（線）C和H臺(tái)階沿處于臨界接觸狀態(tài)，為了保證此狀態(tài)之后爬樓輪椅能夠由臺(tái)階沿F和臺(tái)階沿H支撐變成臺(tái)階沿E和臺(tái)階沿F支撐，此狀態(tài)時(shí)重心B在水平面上投影的位置必須位于臺(tái)階沿F的左側(cè)，即有：L2cos（δ-γ）＞b （12）

圖6（c）中履帶底平面前端點(diǎn)（線）A和D臺(tái)階沿的水平面處于臨界接觸狀態(tài)，為了保證爬樓輪椅不會(huì)在A點(diǎn)接觸D臺(tái)階沿水平面之前發(fā)生前傾，此時(shí)重心B在水平面上投影的位置必須位于臺(tái)階沿 E 的右側(cè)，即有：L1cos（β+γ1）＞s1（13）

圖6（d）中履帶底平面后端點(diǎn)（線）C和F臺(tái)階沿的立面處于接觸臨界狀態(tài)，為了保證爬樓輪椅不會(huì)在C點(diǎn)離開F臺(tái)階沿立面之后發(fā)生后仰，此時(shí)重心B在水平面上投影的位置必須位于臺(tái)階沿 E 的左側(cè)，即有：L2cos（δ-γ）＞b （14）

式（11）至式（14）聯(lián)立化簡之后得：

存在突高臺(tái)階的樓梯上需要滿足均勻樓梯平穩(wěn)性的要求，即滿足式（1）和式（2），又要滿足非均勻樓梯上樓過程和下樓過程中爬樓最平穩(wěn)的平穩(wěn)性要求，即滿足式（10）和式（15），聯(lián)立之后化簡得：

由分析結(jié)果得：存在臺(tái)階突高時(shí)，將樓梯臺(tái)階的寬度、正常高度以及突高臺(tái)階高度參數(shù)代入式（16），若關(guān)系式成立，則該爬樓輪椅能夠在此存在突高的非均勻樓梯上最平穩(wěn)地上下樓。與臺(tái)階突高情況類似，臺(tái)階突低、突寬、突窄三種情況可以用相同的方法進(jìn)行分析，可以分別得到一個(gè)參數(shù)代入式，將各項(xiàng)參數(shù)代入，若關(guān)系式成立，則該爬樓輪椅能夠在非均勻樓梯上最平穩(wěn)地上下樓。

4 樣機(jī)試驗(yàn)

為了驗(yàn)證該基于行走輪擺動(dòng)的履帶變構(gòu)式輪履復(fù)合爬樓輪椅在常見參數(shù)的住宅公共樓梯上能夠滿足爬樓平穩(wěn)性要求，對(duì)爬樓輪椅在多個(gè)不同規(guī)格樓梯上進(jìn)行樣機(jī)試驗(yàn)[3]，如圖7所示，樣機(jī)試驗(yàn)數(shù)據(jù)記錄，如表1所示。采用在實(shí)驗(yàn)樓梯臺(tái)階上疊加木板的方法制造非均勻樓梯的實(shí)驗(yàn)條件，進(jìn)行非均勻樓梯上平穩(wěn)性樣機(jī)試驗(yàn)，驗(yàn)證判斷方法的可行性。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)記錄，如表2所示。

圖7 爬樓平穩(wěn)性樣機(jī)試驗(yàn)Fig.7 Prototype Test of Climbing Stability

表1 均勻樓梯上爬樓平穩(wěn)性樣機(jī)試驗(yàn)數(shù)據(jù)Tab.1 Stability Prototype Test Data on Stairs with Uniform Step Size

表2 非均勻樓梯上爬樓平穩(wěn)性樣機(jī)試驗(yàn)數(shù)據(jù)Tab.2 Stability Prototype Test Data on Stairs with Nonuniform Step Size

均勻樓梯上的樣機(jī)試驗(yàn)結(jié)果表明，在常見臺(tái)階尺寸范圍內(nèi)的樓梯上，該爬樓輪椅樓能夠平穩(wěn)、安全地上下樓。爬樓輪椅爬樓過程中的平穩(wěn)性受樓梯傾角的影響：當(dāng)樓梯傾角γ＜33.9°時(shí)，爬樓輪椅能夠在乘坐者自操作下平穩(wěn)、安全地上下樓；當(dāng)樓梯傾角γ=33.9°時(shí)，爬樓輪椅略有波動(dòng)。非均勻樓梯上的樣機(jī)試驗(yàn)結(jié)果表明，爬樓輪椅在常見臺(tái)階尺寸參數(shù)范圍內(nèi)突變的臺(tái)階上，能夠滿足最平穩(wěn)爬越某一突變臺(tái)階的平穩(wěn)性要求；非均勻樓梯上平穩(wěn)性分析得到的平穩(wěn)性預(yù)判關(guān)系式，能夠根據(jù)臺(tái)階參數(shù)進(jìn)行爬樓輪椅平穩(wěn)性預(yù)判，判斷方法可行。

5 結(jié)論

對(duì)爬樓輪椅在均勻樓梯和存在某一臺(tái)階突高、突低、突寬或突窄的非均勻樓梯等幾種不同樓梯上的履帶爬樓過程進(jìn)行爬樓平穩(wěn)性分析，提供了一種在均勻樓梯以及非均勻樓梯上爬樓輪椅爬樓平穩(wěn)性的分析方法。通過分析計(jì)算驗(yàn)證了該爬樓輪椅在現(xiàn)有的結(jié)構(gòu)參數(shù)下對(duì)于常見尺寸的樓梯能夠滿足平穩(wěn)性的要求，且總結(jié)出了非均勻樓梯上該爬樓輪椅的平穩(wěn)性分析的一般規(guī)律。通過樣機(jī)試驗(yàn)進(jìn)一步驗(yàn)證了該爬樓輪椅能夠滿足常見臺(tái)階尺寸樓梯上的平穩(wěn)性要求和非均勻樓梯上平穩(wěn)性預(yù)判方法的可行性。

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