柔性石墨紙軋機動剛度薄弱部位辨識與優(yōu)化

王宏旭，楊金堂，劉 爽，李存學

（1.武漢科技大學 機械自動化學院，湖北 武漢 430081；2.宜昌市聚益新型材料科技有限公司，湖北 宜昌 443300）

1 引言

柔性石墨紙因其優(yōu)良的密封、散熱、耐腐蝕特性而被廣泛應用于各行業(yè)。對柔性石墨紙軋機的動態(tài)特性進行研究對其結構優(yōu)化和提高生產(chǎn)具有重要意義。柔性石墨紙軋機實際生產(chǎn)過程當中會受到多種頻率的激勵，找到其在動態(tài)激勵下的薄弱環(huán)節(jié)，并對該環(huán)節(jié)進行有針對性的結構優(yōu)化設計，這樣做可以避免盲目優(yōu)化提高優(yōu)化效率。

優(yōu)化設計有多種方法。文獻[1]運用靈敏度法對一種臥式加工中心的整體靜剛度進行了優(yōu)化設計。文獻[2]通過靈敏度計算，對機床立柱進行了輕量化設計。文獻[3]利用靈敏度方法對為五面加工中心的床身進行了優(yōu)化設計，提高了其動態(tài)特性。傳統(tǒng)優(yōu)化設計只考慮靜剛度，僅對單個構件進行靜態(tài)優(yōu)化，缺乏對整機動態(tài)性能的考慮[4]。

通過對一種柔性石墨紙軋機進行動態(tài)分析，發(fā)現(xiàn)引起柔性石墨紙軋機Y向位移的共振頻率最低，且共振位移幅值較大，此即為整機動剛度的薄弱環(huán)節(jié)。利用有限元模態(tài)分析方法得出底座對整體固有頻率影響最大，則底座即整機動剛度薄弱部位。以提升薄弱環(huán)節(jié)為優(yōu)化目標，薄弱部位為優(yōu)化對象，利用靈敏度分析方法建立優(yōu)化數(shù)學模型并求得最優(yōu)解。最后通過諧響應分析驗證了在質量不增加的情況下柔性石墨紙軋機的動剛度得到提升。

2 動態(tài)分析與優(yōu)化目標

2.1 柔性石墨紙軋機整機等效模型

柔性石墨紙軋機可等效為如下串聯(lián)系統(tǒng)：軋輥軸-軸承-支撐-立柱-底座-絲杠升降機-頂板。由于在進行裝配體的有限元動態(tài)特性分析時會取消各構件之間的接觸。因而在上支承與立柱之間設置間隙，間隙處使用彈簧連接，通過合理的布置與剛度設置使上支承只能發(fā)生上下移動；上支承與頂板之間亦通過彈簧連接，用以模擬絲杠升降機對上支承的升降作用；軸承亦通過彈簧模擬，分別布置于軋輥軸的軸頸與軸肩，剛度分別取軸承的徑向和軸向剛度。立柱與立柱之間的連接也通過在實際位置布置彈簧模擬。柔性石墨紙軋機的等效模型，如圖1所示。

圖1 柔性石墨紙軋機等效模型Fig.1 Equivalent Model of the Rolling Machine

設柔性石墨紙軋機的整機質量為m，K為整機的剛度，F(xiàn)為系統(tǒng)受到的載荷，x為系統(tǒng)受到載荷發(fā)生的位移，則整機的固有角頻率為：

當柔性石墨紙軋機受到F=F0sinωt的諧振力時，其振幅為：

根據(jù)式（2）可知：在其他條件不變的情況下，增加系統(tǒng)的剛度可以降低共振幅值。在柔性石墨紙軋機的等效串聯(lián)系統(tǒng)當中，系統(tǒng)總的剛度為：

式中：K—系統(tǒng)整體剛度；k1、k2、…kn—串聯(lián)系統(tǒng)當中各個環(huán)節(jié)的剛度。

可以發(fā)現(xiàn)，提升整體剛度最有效的方法是提升最薄弱部位的剛度。當串聯(lián)系統(tǒng)受到激勵力時，共振幅值最大、頻率最低處即其最薄弱環(huán)節(jié)。通過對系統(tǒng)進行諧響應分析可得到各個共振點的振動幅值，通過幅值對比即可找到最薄弱共振點。通過模態(tài)分析可得到其固有頻率，對固有頻率影響最大的部位為其薄弱部位。

2.2 簡化模型動態(tài)分析與薄弱部位辨識

2.2.1 諧響應分析

在ANSYS Workbench當中設置底座、支承、立柱和頂板的材料為結構鋼，設置軋輥軸的材料為40Cr。各等效結合部位的彈簧參數(shù)[5-6]，如表1所示。

表1 各彈簧等效部位彈簧剛度與阻尼Tab.1 Stiffness and Damping of Equivalent Parts

圖2 整體Y向諧響應曲線Fig.2 Harmonic Response Curve in Y Direction

將底座底部設置為Fix Support，在上下軋輥軸的工作面上各施加大小為1000N，頻率為（0～500）Hz的激勵力，得到整體在Y向振幅與頻率的關系，如圖2所示。

從圖2可以看出，柔性石墨紙軋機在Y向的最大共振峰為出現(xiàn)在126.65Hz處，共振幅值為0.0194mm。該頻率即整體的薄弱環(huán)節(jié)，而薄弱部位需要通過模態(tài)分析辨識。

2.2.2 薄弱部位辨識與優(yōu)化目標

通過對柔性石墨紙軋機的簡化模型進行模態(tài)分析得到其前三階振型，如表2、圖3所示。

表2 柔性石墨紙軋機前三階振型描述Tab.2 Description of the First Three Vibration Models

由式（1）、式（2）、式（3）以及文獻[7]可知，在系統(tǒng)的質量不變的情況下，系統(tǒng)的固有頻率與系統(tǒng)的各環(huán)節(jié)的剛度成正比。分別改變各部件和各模擬結合部位的剛度，找出影響最大的部件或結合部位，則薄弱部位就是該處。

輥子、支承等部件可在ANSYS Workbench當中通過增大其楊氏模量的方法提升其剛度[8]；各模擬結合部位可通過增加彈簧剛度提升剛度。將各部位的楊氏模量依次提升十倍，各模擬結合部位彈簧剛度依次提升十倍，分別進行模態(tài)分析，得到剛度提升后柔性石墨紙軋機的一階固有頻率，如表3所示。

表3 各部位依次提升剛度后一階固有頻率Tab.3 First Natural Frequency After Stiffness Increased

從表3可看出，對柔性石墨紙軋機一階固有頻率影響最大的為底座，則底座為薄弱部位。對底座進行優(yōu)化設計是提升整體動剛度最有效的方案。

圖3 柔性石墨紙軋機前三階振型Fig.3 First Three Vibration Models of the Machine

3 底座的優(yōu)化設計

3.1 靈敏度方法

對于一個函數(shù) g=g（x1，x2…xn），函數(shù)值 g對變量xi的靈敏度可表達為：Si=?g/?xii＝1，2，3，…n （4）

在靈敏度分析的過程當中，函數(shù)g可以是結構的質量、固有頻率、剛度等特性，變量xi則可以為結構尺寸參數(shù)等。靈敏度的大小可以得出優(yōu)化參數(shù)的變化對性能參數(shù)變化的影響程度[9]。

結構的固有頻率和質量會與尺寸參數(shù)的關系可表達成如下形式：f=gfx（x1，x2，…，xn） （5）

則尺寸參數(shù)對結構的固有頻率和質量的靈敏度可表示如下。

在對底座的優(yōu)化設計過程當中，根據(jù)各尺寸參數(shù)對質量和頻率的靈敏度的大小，通過適當改變尺寸參數(shù)即可做到在質量不增加的情況下整體的固有頻率得到提升。

3.2 底座靈敏度分析和優(yōu)化設計

3.2.1 優(yōu)化參數(shù)的選取

底座的幾何參數(shù)，如圖4所示。

圖4 底座尺寸參數(shù)Fig.4 Size Parameters of the Base

其中，為保證支承的裝配，x6的值為定值，則x7的值隨著x2的改變而改變，可以不參與優(yōu)化，因而需要進行靈敏度求解與優(yōu)化的幾何參數(shù)共5個。暫時將五個結構參數(shù)的優(yōu)化范圍設置為（-20～20）mm。進行靈敏度的求解。然后根據(jù)實際情況對優(yōu)化范圍進行適當調整。

3.2.2 靈敏度分析與目標函數(shù)的建立

由于底座同立柱和頂板構成的牌坊是整個柔性石墨紙軋機的重要組成部分，牌坊的動態(tài)性能在很大程度上反映整機的動態(tài)性能，因此取牌坊進行模態(tài)分析，得到其發(fā)生Y向共振位移的振型圖，如圖5所示。以該頻率為優(yōu)化目標對底座進行優(yōu)化設計。

圖5 牌坊Y向共振振型Fig.5 Vibration Model of Mill Housing in Y Direction

由于f與尺寸變量之間的數(shù)學方程較復雜，因而利用ANSYS Workbench分別求出待優(yōu)化的五個尺寸的變化量△x1、△x2、△x3、△x4、△x5為不同的數(shù)值時 f的值，對這些數(shù)值進行數(shù)值擬合可以得到f與尺寸變化量之間的關系；繪制出△xi與f的圖形可以看出各尺寸參數(shù)對f的影響程度。對該函數(shù)求偏導可得到靈敏度，進而建立相應的數(shù)學方程。

定義待優(yōu)化頻率f為牌坊發(fā)生Y向共振位移時的頻率，取尺寸變化量△xi為（-20～20）mm，計算出各尺寸發(fā)生變化時的f值，繪制出f對底座尺寸變化量△xi的靈敏度曲線，如圖6所示。

圖6 待優(yōu)化頻率對底座尺寸變量的靈敏度Fig.6 Sensitivity of the Frequency to the Size Parameters

將圖6當中的靈敏度曲線進行二次擬合，得到待優(yōu)化頻率與底座尺寸變化量之間的關系為：

式中：a、b、c—二次函數(shù)的系數(shù)。

根據(jù)式（7）和式（9）可得，待優(yōu)化頻率對底座尺寸的靈敏度如下：Sfi=2a△xi+b （10）

用矩陣形式表示為：Sfi=B△xi+c （11）

牌坊質量對底座尺寸的靈敏度為：

待優(yōu)化頻率以及牌坊質量與底座尺寸變化量之間的關系為：

根據(jù)實際情況，選取 x1、x2、x4、x5的優(yōu)化范圍為（-30～30）mm，由于x3是柔性石墨紙軋機固定螺栓的放置部位，因而其厚度不能減小，否則可能導致支撐強度不足，因而取其優(yōu)化范圍為（0～30）mm。以待優(yōu)化頻率為優(yōu)化目標，單側牌坊質量和尺寸變化范圍為約束函數(shù)，建立優(yōu)化方程：

求解此二次規(guī)劃問題[10]，得到最優(yōu)解并適當取整后得到尺寸變化量的數(shù)值為：△x=［14 10 9-30 20］ （16）

優(yōu)化前后質量與頻率的對比，如表4所示。

表4 牌坊優(yōu)化前后對比Tab.4 Comparison of Mill Housing Before and After Optimization

從表4可以看到，在質量降低了1.37%的情況下，牌坊的Y向共振位移頻率得到提升，提升幅度為4.55%。

4 整機優(yōu)化結果驗證

對優(yōu)化后的柔性石墨紙軋機進行諧響應分析，提取出其Y向的共振位移頻率以及位移幅值，并與優(yōu)化前的進行對比，結果如圖7、表5所示。

圖7 優(yōu)化前后整體Y向諧響應對比Fig.7 Harmonic Response Comparison of the Machine Before and After Optimization

表5 整體優(yōu)化結果對比Tab.5 Comparison of the MachineAfter Optimization

通過圖7和表5可以發(fā)現(xiàn)，在質量不增加的情況下，優(yōu)化后柔性石墨紙軋機整體的Y向共振位移頻率提升了24.1%，振幅降低了15.9%。

5 結論

（1）通過對柔性石墨紙軋機進行諧響應分析，發(fā)現(xiàn)在激勵頻率為126.65Hz時，整機Y向共振位移最大，位移幅值為0.0194mm。而引起整機X向和Z向出現(xiàn)較大共振位移的頻率較高。則整機薄弱頻率為126.65Hz。

（2）對各部件剛度提升前后的柔性石墨紙軋機進行模態(tài)分析，并對比各部件對整機固有頻率的影響，辨識出整機的薄弱部位為底座，故以底座為優(yōu)化對象，避免了優(yōu)化設計的盲目性。

（3）利用靈敏度分析法并求解二次規(guī)劃，使柔性石墨紙軋機在質量不增加的情況下動剛度得到提升，具體為：整機薄弱頻率由126.65Hz提升至157.21Hz，提升幅度為24.1%；整機Y向共振幅值由0.0194mm降低至0.0165mm，降低幅度為15.9%。為提高優(yōu)化效率提供了理論依據(jù)和參考。

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