凸輪式恒力機構的設計

黃春強，趙 勇，劉 洋，姚 進

（四川大學 制造科學與工程學院 四川 成都 610065）

1 引言

恒力機構是一種在載荷產(chǎn)生位移時仍輸出近似恒力的裝置，因其不滿足胡克定理，與傳統(tǒng)的圓柱彈簧或其他彈性體有著本質(zhì)的區(qū)別[1]，現(xiàn)已廣泛用于機械、核工業(yè)、國防軍事、儀器儀表等諸多需要恒力輸出的領域，如電火花線切割機床、核電站管道、印刷機遞紙機構等[2-4]。目前，獲取恒力的方式主要包括通過恒力彈簧和恒力機構獲取。文獻[5]介紹了恒力彈簧的特性，并用大變形理論和橢圓積分工具對其進行設計分析，但恒力彈簧復雜的設計理論，限制了其使用范圍，使得在實際應用中，通過恒力機構獲取恒力的方式得到了更加廣泛的應用。文獻[6]設計了一種由曲柄滑塊機構和彈簧組成的恒力機構，建立了該機構的恒力優(yōu)化數(shù)學模型，對凸輪式恒力機構進行了優(yōu)化以減小體積。文獻[7]研究了軟式操縱系統(tǒng)中的鋼索張力調(diào)節(jié)器，通過合理選擇張力調(diào)節(jié)器的參數(shù)，使得鋼索張力的恒力范圍盡可能地大。文獻[8]研究了大尺度重型構件夾持機構的夾持力，建立了該機構的大尺度近恒力目標，利用循環(huán)程序與MATLAB軟件對夾持機構進行了優(yōu)化，使其盡可能大的范圍保持恒力輸出。文獻[9]設計了一種基于彈簧-凸輪-轉(zhuǎn)輪的恒力機構，通過彈簧-凸輪生成恒定力矩，恒定力矩通過轉(zhuǎn)輪輸出恒定力，通過數(shù)值求解的方法，求解出了凸輪的輪廓線。文獻[10]設計了一種恒力彈性機構，其原理是通過設計傳力構件的廓形，控制構件接觸點法向，使機構內(nèi)部力的傳遞方向與位移之間呈一定的函數(shù)關系，從而可以輸出不隨著位移變化的恒力，并通過數(shù)值解法，求解出內(nèi)環(huán)截面的廓形曲線。如上所述的恒力機構，或者是結(jié)構不緊湊，或者是恒力范圍小，或者是無法求得輪廓線方程的解析解。

針對以上不足，設計了一種凸輪式恒力機構，推導出了凸輪輪廓線的方程，并利用ADAMS進行動力學仿真，驗證了該機構能在較大的范圍內(nèi)輸出較精確的恒力。

2 結(jié)構設計與工作原理

凸輪式恒力機構的結(jié)構，如圖1所示。凸輪式恒力機構的核心是凸輪機構，主要由凸輪、滾子、推桿、彈簧、螺釘和多個軸承組成。凸輪位于初始位置時，調(diào)節(jié)螺釘對彈簧施加一定的預緊力（預緊力的大小根據(jù)凸輪初始位置確定），彈簧通過推桿和滾子對凸輪施加壓力，而壓力作用線不經(jīng)過凸輪中心，壓力便會對凸輪中心產(chǎn)生力矩。凸輪轉(zhuǎn)動時，彈簧的彈力隨壓縮量變化而變化，通過設計合理的凸輪輪廓線，讓凸輪中心到壓力作用線的力臂相應發(fā)生變化，使力與力臂的乘積保持恒定，從而獲得恒力矩，恒定的力矩通過凸輪軸-轉(zhuǎn)盤-鋼絲繩對外輸出恒定拉力。鋼絲繩一端纏繞在轉(zhuǎn)盤上，另一端連接需要牽引的外界物體上。為了減小摩擦力作用，推桿通過軸承進行約束。在外殼的下方設置一個底盤，一方面用來容納螺釘，另一方面可以通過該底盤將整個機構固定在其他裝置上。

圖1 凸輪式恒力機構結(jié)構圖Fig.1 The Structure of the Cam Constant Force Mechanism

3 凸輪輪廓線的確定

3.1 凸輪輪廓線計算的分析與說明

如圖2（a）所示，為了減小摩擦，凸輪式恒力機構使用的是滾子凸輪機構。由凸輪的相關理論可知，設計滾子凸輪機構的凸輪輪廓線時，為了方便分析和計算，可先將滾子中心A視為尖頂凸輪的頂尖，先計算出尖頂凸輪的頂尖的輪廓線（也就是滾子凸輪的理論輪廓線p-p），然后再以理論輪廓線p-p上一系列點為圓心，以滾子半徑為半徑，作一系列圓，再作此圓族的包絡線便得到滾子凸輪的實際輪廓線q-q[11]。如圖2（b）所示，凸輪式恒力機構實質(zhì)是恒力矩機構，通過凸輪機構在凸輪軸上產(chǎn)生恒定的力矩T后，再通過半徑為R的轉(zhuǎn)盤輸出恒力F，為了方便分析和計算，可以直接依據(jù)力矩恒定的約束推導出凸輪輪廓線的方程。

圖2 凸輪的理論輪廓線與實際輪廓線和凸輪式恒力機構的恒力與恒力矩Fig.2 The Theoretical Profile Line and Actual Profile Line of the Camand the Constant Force and Constant Torque of the Cam Constant Force Mechanism

3.2 凸輪理論輪廓線的計算

如圖3（a）所示，凸輪轉(zhuǎn)到某一位置時，推桿頂尖A和凸輪的接觸點切線為t-t，法線為n-n，此時，凸輪的受力情況，如圖3（b）所示。推桿的受力情況，如圖3（c）所示。在圖3（b）中，對于凸輪，由凸輪中心點O力矩平衡，如式（1）所示。

圖3 凸輪式恒力機構的受力分析Fig.3 The Force Analysis of the Cam Constant Force Mechanism

式中：T—凸輪受到的外力矩，也是凸輪式恒力機構的輸出力矩；F—推桿對凸輪的作用力；l—推桿對凸輪作用力的力臂；凸輪α—推桿中軸線與凸輪對推桿的力之間的夾角；r0—凸輪的基圓半徑；s—推桿的位移，等于彈簧的壓縮量。

由瞬心知識可知，B點為凸輪與推桿的相對速度瞬心，則：

式中：θ—凸輪轉(zhuǎn)過的角度。

在圖 3（c）中，對于推桿，由ΣFy=0，得 ：F3cos（α）-Fk＝0（4）

式中：F3—凸輪對推桿的作用力；Fk—彈簧對推桿的作用力。

式中：k—彈簧的剛度系數(shù)。

式中：C—常數(shù)。

為了簡化計算，可令凸輪在轉(zhuǎn)角為0時，推桿的位移為0，即θ＝0 時，s＝0，則有 C＝0。那么式（9）簡化為：

根據(jù)凸輪相關知識，該凸輪理論輪廓線的極坐標方程為：

3.3 凸輪理論輪廓線范圍的計算

由式（10）可知，該凸輪的理論輪廓線呈螺旋線形式，由里向外延伸。為使凸輪能夠正常工作，還須確定出凸輪理論輪廓線的范圍，也就是確定該螺旋線對應的角度θ的取值范圍（θmin，θmax）。如圖4所示，因為該凸輪為平面凸輪，θmax可直接取值為360°，而θmin與凸輪結(jié)構有關，需進行詳細計算θmin。在Rt△AOB中，有：

式中：e的值根據(jù)凸輪機構的結(jié)構設定，為已知。

聯(lián)立式（12）～式（15），應用迭代法，可以求解出 θmin的值。進而有凸輪式恒力機構的恒力范圍為S=r·（θmin-θmax）。

圖4 凸輪理論輪廓線的范圍Fig.4 The Range of the Theoretical Profile Line of the Cam

3.4 凸輪實際輪廓線的計算

如圖5（a）所示，對于凸輪理論輪廓線上的任意一點A，如圖式（16）所示。有式（16）即為凸輪理論輪廓線的直角坐標系方程。

由凸輪相關知識可知，凸輪實際輪廓線與理論輪廓線在法線方向的距離等于滾子半徑r，故對于凸輪理論輪廓線上的任意一點A（x，y），只要沿理論輪廓線在該點的法向距離為r，即得實際輪廓線上的對應點A′（x′，y′），如圖5（b）所示，A′（x′，y′）的坐標為：

由高等數(shù)學知識可知，理論輪廓線A點處法線n-n的斜率（與切線斜率t-t互為負倒數(shù)）為：

聯(lián)立（18）（19）式，解得：

將式（21）代入式（20），可得：

將式（22）代入式（17），可得：

式（23）即為凸輪實際輪廓線的直角坐標系方程。

4 動力學仿真

為了驗證上述理論計算，需建立仿真模型，并應用ADAMS軟件來對其進行動力學仿真。根據(jù)上述的分析和計算可知，凸輪機構輸出的恒力矩和整個恒力機構輸出的恒力滿足關系T=F·l，為了方便建模與仿真，可以通過驗證凸輪機構能輸出恒力矩來間接驗證凸輪式恒力機構能輸出恒力。

4.1 仿真模型的建立

將如圖1所示的凸輪式恒力機構簡化的仿真模型，如圖6所示。為確定仿真模型結(jié)構尺寸，需給定相關的設計參數(shù)：設定所需的恒定力矩T為4000N·mm，彈簧的剛度系數(shù)k為24N/mm，基圓半徑r0為18mm，滾子半徑r取r0=9mm。將上述設計參數(shù)代入式（11）～式（16），式（23），最終得到凸輪的實際輪廓線，如圖7所示。

圖6 凸輪式恒力機構的仿真模型Fig.6 Simulation Model of the Cam Constant Force Mechanism

圖7 凸輪的實際輪廓線Fig.7 The Actual Profile Line of the Cam

因為凸輪式恒力機構在實際使用時，載荷運動的速度較為緩慢，并且該恒力機構中凸輪的運動可以是與載荷作用的方向相同（順時針方向），也可以是與載荷作用的方向相反（逆時針方向），為了使仿真與凸輪式恒力機構的實際工況相一致，仿真設置的凸輪轉(zhuǎn)動速度為1d/s，對凸輪的驅(qū)動分為順時針方向和逆時針方向兩種情況。仿真模型的運動約束，如表1所示。力約束，如表2所示。當凸輪式恒力機構位于如圖6（a）所示的初始位置時，推桿位于最高點，凸輪的角度θ為19.1°，由式（9）得彈簧的壓縮量為s=10.5mm，則彈簧對應施加的預緊力為Fk=K·s=252.0N，對凸輪的施加順時針方向的驅(qū)動，仿真時推桿向下運動。當凸輪式恒力機構位于如圖6（b）所示的初始位置時，推桿位于最低點，凸輪的角度θ為360°時，由式（10）得彈簧的壓縮量為s=45.8mm，則彈簧對應施加的預緊力為Fk=K·s=1099.2N，對凸輪的施加逆時針方向的驅(qū)動，仿真時推桿向上運動。對凸輪的轉(zhuǎn)動副施加驅(qū)動進行仿真，具體的仿真參數(shù)如341°。

表1 模型的運動約束Tab.1 Kinematic Constraints of the Model

表2 模型的力約束Tab.2 Force Constraints of the Model

表3 模型的仿真參數(shù)Tab.3 Simulation Parameters of the Model

4.2 仿真結(jié)果分析

仿真后，測量到該仿真模型的輸出力矩曲線，如圖8所示。

圖8 模型的輸出力矩曲線Fig.8 The Curve of Output Torque Curve of the Model

從圖8可以得到：（1）無論凸輪順時針轉(zhuǎn)動還是逆時針轉(zhuǎn)動，在較大的轉(zhuǎn)角范圍內(nèi)（0～341）°，仿真模型的輸出力矩的平均值均與所需的力矩近似相等；（2）仿真模型的輸出力矩存在鋸齒狀的波動，這是因為在ADAMS中，仿真模型的凸輪輪廓曲線與滾子圓周線均是呈多段線的形式，而不是圓滑的曲線，同時由于凸輪與滾子在ADAMS中是呈剛體形式接觸，兩者接觸時發(fā)生碰撞造成的；（3）仿真模型的輸出力矩再某些時刻突然急劇增大或者減小，這是因為：根據(jù)輸出力矩，由于凸輪受到的力與力臂在凸輪轉(zhuǎn)動時因碰撞而不停地波動，當兩者同時增大（或者減小）時，輸出力矩便會突然急劇增大（或者減?。?；（4）對比圖 8（a）與圖 8（b），仿真模型的輸出力矩曲線存在較為明顯的差異，這是因為在ADAMS中，凸輪輪廓的多段線節(jié)點密集度與輪廓的曲率相關，曲率越小，節(jié)點越密集，輪廓越圓滑，多段線越接近實際輪廓線，反之亦然。圖8（a）中凸輪順時針轉(zhuǎn)動，隨著轉(zhuǎn)動角度的增大，凸輪輪廓的曲率增大，節(jié)點變稀疏，凸輪與滾子發(fā)生剛體碰撞的程度加重，輸出力矩的波動增大。圖8（b）中凸輪逆時針轉(zhuǎn)動，隨著轉(zhuǎn)動角度的增大，凸輪輪廓的曲率減小，節(jié)點變密集，凸輪與滾子發(fā)生剛體碰撞的程度減輕，輸出力矩的波動減小。綜上所述，轉(zhuǎn)盤半徑一定時，該恒力機構能在較大的行程范圍內(nèi)輸出較精確的恒力，進而驗證了理論計算的正確性。

5 結(jié)論

基于力矩恒定原理，設計了一種主要由凸輪機構和轉(zhuǎn)盤組成的凸輪式恒力機構，利用凸輪機構中的滾子對凸輪的壓力與其力臂乘積保持恒定產(chǎn)生恒力矩，進而通過轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)化為恒力輸出。該恒力機構設計原理簡單，結(jié)構緊湊；建立了凸輪式恒力機構的仿真模型，并利用ADAMS中進行動力學仿真，仿真結(jié)果表明，在誤差允許的范圍內(nèi)，凸輪式恒力機構能在較大的范圍內(nèi)輸出較精確的恒力，同時驗證了理論計算的正確性；為今后研究恒力機構提供了有益的參考。

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