二維直線運(yùn)動平臺幾何誤差建模與數(shù)字化分析

王斐然 ，廖有用 ，羅 均 ，陳進(jìn)華

（1.上海大學(xué) 機(jī)電工程與自動化學(xué)院，上海 200072；2.中國科學(xué)院寧波材料技術(shù)與工程研究所 浙江省機(jī)器人與智能制造裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，浙江 寧波 315201）

1 引言

近年來，二維直線運(yùn)動平臺越來越多地在各個工業(yè)領(lǐng)域內(nèi)展示出應(yīng)用價值，例如電子元件的封裝就是二維直線運(yùn)動平臺的重要應(yīng)用領(lǐng)域之一[1]。而隨著技術(shù)的進(jìn)步，對二維運(yùn)動平臺精度和速度、加速度的要求也越來越高，研發(fā)具有高速高精度的二維直線運(yùn)動平臺逐漸成為更多學(xué)者的研究熱點(diǎn)。與機(jī)床類似，二維直線運(yùn)動平臺在運(yùn)動過程中，由于各部件的制造和安裝誤差等原因，會產(chǎn)生各種平動誤差和轉(zhuǎn)動誤差等，這些誤差會影響二維運(yùn)動平臺的精度[2-3]。目前，針對二維直線運(yùn)動平臺的誤差研究還較少。

用一種針對二維直線運(yùn)動平臺幾何誤差的數(shù)字化分析方法，用計(jì)算機(jī)技術(shù)建立二維直線運(yùn)動平臺的三維幾何模型，基于三維模型中的尺寸數(shù)據(jù)對二維運(yùn)動平臺的各項(xiàng)幾何誤差進(jìn)行分配、計(jì)算與合成。通過上述方法在二維運(yùn)動平臺的3D模型設(shè)計(jì)階段對方案在各個方向上可能產(chǎn)生的幾何誤差進(jìn)行分析。并針對一定的角位移大小，根據(jù)二維運(yùn)動平臺導(dǎo)軌的運(yùn)動和受力實(shí)際情況，對運(yùn)動平臺導(dǎo)軌的平面度、垂直度公差提出要求。從而在物理樣機(jī)制造出之前對設(shè)計(jì)方案的誤差量值做出預(yù)評估，提前發(fā)現(xiàn)設(shè)計(jì)缺陷或錯誤，并做出及時有效的調(diào)整，提前發(fā)現(xiàn)設(shè)計(jì)缺陷或錯誤，提高設(shè)計(jì)效率[4]。

2 二維運(yùn)動平臺幾何誤差建模

2.1 二維運(yùn)動平臺幾何誤差

假定運(yùn)動體做剛體運(yùn)動，有六個自由度，即三個平動自由度，三個轉(zhuǎn)動自由度。對于導(dǎo)軌運(yùn)動而言，由于制造誤差存在，在軸向存在定位誤差，在其余五個自由度，也有微量位移（線位移與角位移），這些位移就是運(yùn)動平臺的原始誤差源，將其分為平動誤差和轉(zhuǎn)動誤差兩類。以圖1為例，三個位移誤差函數(shù)分別記為沿X軸向的運(yùn)動誤差Δx（x）、沿Y軸向的運(yùn)動誤差（為形象起見，簡稱為Y向的直線度誤差）Δy（x），沿Z向的運(yùn)動誤差（簡稱為Z向的直線度誤差）Δz（x）；三個轉(zhuǎn)動誤差分別記為繞X軸的滾轉(zhuǎn)誤差δx（x）、繞Y軸的俯仰誤差δy（x）、繞Z軸的偏擺誤差δz（x），對于其它方向的導(dǎo)軌也同樣定義[5]。對于二維運(yùn)動，則在X、Y兩個方向分別存在六項(xiàng)誤差，即X軸方向的運(yùn)動誤差Δx（x），直線度誤差Δy（x）、Δz（x），滾轉(zhuǎn)（roll）誤差δx（x），俯仰（pitch）誤差δy（x）、偏擺（yaw）誤差δz（x）；Y軸方向的運(yùn)動誤差Δy（y），直線度誤差Δx（y）、Δz（y），滾轉(zhuǎn)誤差δy（y），俯仰誤差δx（y），偏擺誤差δz（y）。

圖1 導(dǎo)軌X軸方向的六項(xiàng)誤差Fig.1 Six Errors Along Axis X of the Guideway

2.2 二維運(yùn)動平臺幾何誤差建模與計(jì)算

采用建立參考坐標(biāo)系和齊次變換矩陣運(yùn)算推導(dǎo)的方式對二維運(yùn)動機(jī)構(gòu)進(jìn)行幾何誤差建模[6]。如圖2所示的二維運(yùn)動機(jī)構(gòu)，軸1沿著X方向做直線運(yùn)動，軸2位于軸1上，可沿著Z方向做直線運(yùn)動。在軸1上建立1坐標(biāo)系，在軸2上建立2坐標(biāo)系，建立固定基礎(chǔ)坐標(biāo)系R，工具作用點(diǎn)在坐標(biāo)系2中的坐標(biāo)為（tx，ty，tz），坐標(biāo)系2的原點(diǎn)在坐標(biāo)系1中的坐標(biāo)為（a2，b2，c2），坐標(biāo)系1的原點(diǎn)在坐標(biāo)系 R 中的坐標(biāo)為（a1，b1，c1）。

圖2 二維運(yùn)動機(jī)構(gòu)參考坐標(biāo)系Fig.2 Coordinate System of the 2D Motion Stage

1軸沿著X方向運(yùn)動時產(chǎn)生X軸方向的運(yùn)動誤差δx1，Z軸方向的直線度誤差δz1，Y軸方向的直線度誤差δy1，繞X軸轉(zhuǎn)動的滾轉(zhuǎn)角εx1，繞Y軸轉(zhuǎn)動的偏擺角εy1，繞Z軸轉(zhuǎn)動的俯仰角εz1。2軸沿著Z方向運(yùn)動時產(chǎn)生Z軸方向的運(yùn)動誤差δz2，X軸方向的直線度誤差δx2，Y軸方向的直線度誤差δy2，繞X軸轉(zhuǎn)動的俯仰角εx2，繞Y軸轉(zhuǎn)動的偏擺角εy2，繞Z軸轉(zhuǎn)動的滾轉(zhuǎn)角εz2。則從R坐標(biāo)系到1坐標(biāo)系的齊次變換矩陣為：

從1坐標(biāo)系到2坐標(biāo)系的齊次變換矩陣為：

工具作用點(diǎn)相對于R坐標(biāo)系的位置為：

而工具點(diǎn)相對于R坐標(biāo)系的理想位置為：

則工具作用點(diǎn)的位置誤差為：

由此可得1軸和2軸的誤差分配方案：

表1 誤差分配方案Tab.1 Error Assignment Scheme

2.3 誤差綜合

用2.2中方法計(jì)算出因1、2兩軸轉(zhuǎn)動誤差和平動誤差而導(dǎo)致的在X、Y、Z三個方向的誤差后，需將這些誤差合成。在實(shí)際運(yùn)動中，各個轉(zhuǎn)動誤差和平動誤差同時達(dá)到所分配的數(shù)值的可能性是很小的，因而若直接將X、Y、Z三個方向的各項(xiàng)計(jì)算誤差值直接累加得到的算術(shù)和得到的數(shù)值一般是偏大的[7]：

針對這種情況，用兩種方法來處理累加誤差和Earith。方法一是取Earith的0.6倍作為最終合成的誤差[8]：Erule1=0.6Earith（8）

方法二是將累加和Earith作為合成誤差的上限，取各誤差項(xiàng)的均方根和ERMS作為合成誤差的下限：

再計(jì)算二者平均值作為最終各個方向合成的誤差[9]：

3 二維運(yùn)動平臺幾何誤差分析實(shí)例

采用前述的誤差建模、計(jì)算方法，對一臺直線電機(jī)驅(qū)動的二維運(yùn)動平臺進(jìn)行誤差分析。

3.1 二維運(yùn)動平臺結(jié)構(gòu)簡介

誤差分析所基于的二維直線運(yùn)動平臺模型，由X方向直線電機(jī)組件2、Y方向直線電機(jī)組件3、運(yùn)動連接體組件和底座1四部分組成，如圖3所示。X軸直線電機(jī)動子驅(qū)動X軸運(yùn)動連接架和負(fù)載4沿著X軸交叉滾子導(dǎo)軌在X方向運(yùn)動，Y軸直線電機(jī)動子驅(qū)動Y軸運(yùn)動連接架、X軸運(yùn)動連接架和負(fù)載沿著Y軸交叉滾子導(dǎo)軌在Y方向運(yùn)動。

圖3 二維運(yùn)動平臺Fig.3 Configuration of the 2D Motion Stage

3.2 二維運(yùn)動平臺誤差分析

根據(jù)前文所述方法對本二維直線運(yùn)動平臺進(jìn)行誤差分析。首先，在運(yùn)動平臺上建立若干參考坐標(biāo)系，即在Y連接件質(zhì)心上建立1坐標(biāo)系，X連接件質(zhì)心上建立2坐標(biāo)系，在任意位置上建立基坐標(biāo)系R。根據(jù)本二維運(yùn)動平臺擬實(shí)現(xiàn)的功能，選擇X方向上位于負(fù)載質(zhì)心200mm處一點(diǎn)作為工具作用點(diǎn)。在三維模型中測得相應(yīng)臂長，選取轉(zhuǎn)動誤差為5″，平動誤差為0.5μm，得到的誤差分析方案，如表2所示。臂長L單位為mm，角度ε單位為角秒時，計(jì)算誤差（以微米為單位）為：

具作用點(diǎn)在X方向的合成誤差約為2μm，Y方向的合成誤差約為7.9μm，在Z方向的合成誤差約為6.8μm，如表2所示。如果選取轉(zhuǎn)角誤差為4″，平動誤差為0.5μm，得到的誤差分析方案，如表3所示。工具作用點(diǎn)在X方向的合成誤差約為1.7μm，Y方向的合成誤差約為6.45μm，在Z方向的合成誤差約5.5μm。如果選取角誤差為3″，平動誤差為0.5μm，得到的誤差分析方案如表4所示。從表中可知，工具作用點(diǎn)在X方向的合成誤差約為1.45μm，Y方向的合成誤差約為5μm，在Z方向的合成誤差約為4.3μm。

表2 角位移為5″時的誤差分布Tab.2 Geometric Errors@5″Angular Displacement

表3 角位移為4″時的誤差分布Tab.3 Geometric Errors@4″Angular Displacement

表4 角位移為3″時的誤差分配方案Tab.4 Geometric Errors@3″Angular Displacement

4 導(dǎo)軌誤差

導(dǎo)軌是二維運(yùn)動平臺中的導(dǎo)向與支撐部件，作為導(dǎo)向部件它決定了導(dǎo)向精度的大小，因此導(dǎo)軌是二維運(yùn)動平臺中很重要的部件。滾動導(dǎo)軌相對于滑動導(dǎo)軌具有導(dǎo)向精度高、摩擦系數(shù)小、使用壽命長、重量輕等優(yōu)點(diǎn)。選用交叉滾子導(dǎo)軌作為導(dǎo)向部件，如圖4所示。由于導(dǎo)軌制造和裝配等造成導(dǎo)軌的表面缺陷會導(dǎo)致導(dǎo)軌表面的平面度誤差以及不同表面之間的垂直度誤差，這些誤差會引起運(yùn)動平臺運(yùn)動過程中的顛擺，影響運(yùn)動平臺的精度。因此針對導(dǎo)軌表面尺寸，在模型設(shè)計(jì)階段對導(dǎo)軌各表面制造誤差提出定量要求。在三維模型中測得導(dǎo)軌尺寸：X軸導(dǎo)軌橫向尺寸為12mm，軸向尺寸為150mm，縱向尺寸為12mm；Y軸導(dǎo)軌橫向尺寸為12mm，軸向尺寸為200mm，縱向尺寸為12mm。

圖4 交叉滾子導(dǎo)軌示意圖Fig.4 Cross Roller Way（CRW）

4.1 俯仰、偏航引起的導(dǎo)軌表面平面度誤差

根據(jù)形位誤差的定義[10]，結(jié)合二維運(yùn)動平臺中交叉滾子導(dǎo)軌運(yùn)動與受力實(shí)際情況，選定一定的角位移，對X、Y方向上導(dǎo)軌相關(guān)安裝面的平面度誤差、垂直度誤差進(jìn)行計(jì)算，并根據(jù)公差標(biāo)準(zhǔn)提出公差要求。當(dāng)俯仰、偏航角大小為5″時，所引起X方向?qū)к壒潭ㄜ壍钠矫娑日`差為

所引起Y方向?qū)к壒潭ㄜ壍钠矫娑日`差為：

運(yùn)動平臺X導(dǎo)軌長150mm，Y導(dǎo)軌長200mm，依照GB/T1184-1996標(biāo)準(zhǔn)[10]，對于X、Y導(dǎo)軌，當(dāng)公差等級不高于4級時，俯仰、偏航角所引起的導(dǎo)軌平面度誤差都在平面度公差值范圍內(nèi)。因此，對于導(dǎo)軌的下表面和側(cè)面的平面度公差，選擇公差等級為4級。同樣，當(dāng)俯仰、偏航角為 4″時，Δx=2.907μm，Δy=3.876μm。查表，選擇公差等級為3級。當(dāng)俯仰、偏航角大小為3″時，Δx=2.182μm，Δy=2.907μm，公差等級為3級。

4.2 導(dǎo)軌側(cè)面與底面之間垂直度誤差

導(dǎo)軌側(cè)面與底面在運(yùn)動方向上尺寸都為12mm，則當(dāng)垂直度誤差角為5″時，所引起的垂直度誤差為：

按GB/T 1184-1996，當(dāng)垂直度誤差角取5″時，對于X、Y導(dǎo)軌，導(dǎo)軌側(cè)面與底面之間垂直度誤差都在垂直度公差范圍內(nèi)，垂直度公差等級應(yīng)達(dá)到1級精度。從二維直線運(yùn)動平臺預(yù)實(shí)現(xiàn)精度和工程上所能實(shí)現(xiàn)的精度綜合考慮，取滾轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角roll、俯仰轉(zhuǎn)角pitch、偏擺轉(zhuǎn)角yaw大小為5″，得到導(dǎo)軌的初步公差要求，如圖5所示。

圖5 導(dǎo)軌公差要求Fig.5 Tolerance Requirement of CRW

5 結(jié)論

（1）用一種數(shù)字化分析方法，基于三維模型對二維直線運(yùn)動平臺的幾何誤差進(jìn)行了建模、分配以及合成。（2）根據(jù)形位公差定義，通過計(jì)算分析對運(yùn)動平臺使用的導(dǎo)軌提出了初步的形位公差要求。通過上述工作，在虛擬樣機(jī)設(shè)計(jì)階段就能對擬采用設(shè)計(jì)方案的結(jié)構(gòu)特性、性能參數(shù)、工藝可行性等形成預(yù)評估，能有效提高設(shè)計(jì)效率、降低設(shè)計(jì)成本，并為后期精密運(yùn)動的設(shè)計(jì)提供可靠的參考。

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