溝曲率半徑系數(shù)對(duì)高速陶瓷球軸承潤(rùn)滑狀態(tài)影響的研究

向北平，付 康，倪 磊 ，王文升

（1.西南科技大學(xué) 制造過(guò)程測(cè)試技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 綿陽(yáng) 621010；2.中國(guó)工程物理研究院機(jī)械制造工藝研究所，四川 綿陽(yáng) 621000）

1 引言

高速深溝陶瓷球軸承被廣泛用于航空航天、航海、核工業(yè)等軍民高端領(lǐng)域中，隨之而來(lái)的問(wèn)題是如何優(yōu)化軸承參數(shù)，使其處于最佳潤(rùn)滑工況條件下工作，提高工作穩(wěn)定性和使用壽命。在深溝球軸承工作過(guò)程中，內(nèi)外溝曲率半徑系數(shù)對(duì)軸承潤(rùn)滑狀態(tài)的影響非常大。當(dāng)內(nèi)、外曲率半徑系數(shù)過(guò)小時(shí)，滾動(dòng)體與內(nèi)外圈嵌合度較大，滾動(dòng)體和內(nèi)外滾道之間由于摩擦產(chǎn)生大量的熱量，導(dǎo)致潤(rùn)滑油溫度迅速升高，影響潤(rùn)滑油的性能，進(jìn)而導(dǎo)致軸承潤(rùn)滑效果大打折扣甚至失效；同時(shí)產(chǎn)生大量的熱量導(dǎo)致內(nèi)外圈發(fā)生變形，不利于軸承穩(wěn)定性工作，降低了軸承壽命。當(dāng)內(nèi)外曲率半徑系數(shù)過(guò)大時(shí)，不利于軸承實(shí)現(xiàn)定位作用，也使?jié)L動(dòng)體與內(nèi)外圈的嵌合度較小，在同樣載荷的情況下，受到的接觸應(yīng)力增大，接觸區(qū)油膜厚度減小，導(dǎo)致軸承壽命減小。因此關(guān)于溝內(nèi)外曲率半徑系數(shù)的研究對(duì)軸承的工作穩(wěn)定性和壽命至關(guān)重要。目前，我國(guó)大部分研究者研究溝曲率半徑系數(shù)對(duì)軸承的影響主要停留在對(duì)軸承接觸區(qū)應(yīng)力和應(yīng)變的影響。文獻(xiàn)[1]運(yùn)用擬動(dòng)力學(xué)法得出了溝曲率半徑系數(shù)對(duì)軸承最大載荷的影響；文獻(xiàn)[2]運(yùn)用三維有限元仿真模型，通過(guò)NASTRAN有限分析軟件得出溝曲率半徑系數(shù)對(duì)軸承載荷能力的影響；文獻(xiàn)[3]利用第一類和第二類完全橢圓積分推導(dǎo)出內(nèi)外圈和滾動(dòng)體接觸應(yīng)力近似解，并用MATLAB仿真得出接觸力影響最小時(shí)候的最優(yōu)曲率參數(shù)。

2 軸承計(jì)算模型的推導(dǎo)

2.1 接觸幾何關(guān)系

球軸承利用滾動(dòng)體和滾道之間的接觸實(shí)現(xiàn)對(duì)載荷的支承，若無(wú)載荷，兩者的接觸為點(diǎn)接觸，若施加一定的載荷，接觸區(qū)由一個(gè)點(diǎn)擴(kuò)展為一個(gè)接觸面，接觸面與接觸法線垂直平面內(nèi)的投影為一橢圓，即為橢圓接觸區(qū)，如圖1所示。圖中：a—接觸區(qū)域的長(zhǎng)半軸；b—接觸區(qū)域的短半軸；σmax—最大接觸應(yīng)力。

圖1 點(diǎn)接觸壓應(yīng)力分布Fig.1 Point Contact Pressure Stress Distribution

2.2 軸承主曲率與曲率差

深溝球軸承幾何參數(shù)，如圖2所示。圖中：ri，ro—內(nèi)外溝道曲率半徑；Do和Di—軸承外圈和內(nèi)圈直徑；dm—軸承節(jié)圓直徑；D—滾動(dòng)體直徑；do，di—外內(nèi)環(huán)溝道直徑。滾動(dòng)體為接觸體Ⅰ內(nèi)外圈為接觸體Ⅱ，凸面為正，凹面為負(fù)。

圖2 深溝球軸承幾何示意圖Fig.2 Deep Groove Ball Bearing Parameters

本算例所采用的軸承，外圈外徑13mm；外圈內(nèi)徑10.1mm；內(nèi)圈外徑6.27mm；內(nèi)圈內(nèi)徑4mm；寬度5mm；滾動(dòng)體直徑2.381mm。滾動(dòng)體直徑、接觸角和軸承節(jié)圓直徑的相互之間[4]的關(guān)系為：

內(nèi)、外圈滾道主曲率和分別為：

內(nèi)、外圈滾道主曲率差：

式中：fi和fo—內(nèi)、外溝曲率半徑系數(shù)。

滾動(dòng)體與內(nèi)外圈滾道接觸面積S、So分別為：

外圈接觸橢圓區(qū)域長(zhǎng)、短半軸：

2.3 Hertz接觸分析

式中：Γ和Σ—全橢圓積分；Σρi和Σρo—軸承幾何參數(shù)確定。

根據(jù)深溝球軸承的接觸幾何關(guān)系，有：

式中：Rx—第一（x向）主平面內(nèi)有效半徑mm；Ry—第二（y向）主平面內(nèi)有效半徑，mm；f—內(nèi)、外溝曲率半徑系數(shù)，以上公式上面的符號(hào)用于內(nèi)圈，下面的符號(hào)用于外圈；γ—溝曲率變形系數(shù)γ=D/dm。

溝曲率半徑系數(shù)與第一主平面有效半徑的關(guān)系，如圖3所示。

圖3 溝曲率半徑系數(shù)與Rx關(guān)系Fig.3 Curvature Radius Coefficients with Rx

3 點(diǎn)接觸彈流潤(rùn)滑數(shù)學(xué)模型

3.1 彈流潤(rùn)滑等效模型

圖4 橢圓接觸彈流潤(rùn)滑等效模型Fig.4 Elliptical Contact Elastohydrodynamic Lubrication Equivalent Model

在載荷作用下，任意狀態(tài)的兩個(gè)剛性體相互擠壓，必然產(chǎn)生變形，由于物體的彈性，接觸區(qū)由一個(gè)點(diǎn)擴(kuò)展成一個(gè)橢圓，所以點(diǎn)接觸彈流潤(rùn)滑其實(shí)就是橢圓接觸問(wèn)題。潤(rùn)滑[6]對(duì)疲勞壽命的影響主要體現(xiàn)在潤(rùn)滑油膜的有效性，而潤(rùn)滑油膜的有效性取決于油膜厚度與滾動(dòng)體和滾道接觸表面形貌的相對(duì)值。去除軸承的保持架和內(nèi)外圈上的安裝孔，對(duì)滾動(dòng)體進(jìn)行適當(dāng)?shù)牟鸱痔幚韀7]。潤(rùn)滑油速度和載荷同時(shí)作用，形成油膜，x為卷吸速度方向，如圖4所示。

3.2 彈流潤(rùn)滑基本方程

3.2.1 Reynolds方程

式中：P—潤(rùn)滑油的壓力（Pa）；h—油膜的厚度（m）；ρ—潤(rùn)滑油的密度（kg/m3）；η 位潤(rùn)滑油的粘度（Pa·s）；x、y、z—坐標(biāo)變量。

3.2.2 膜厚方程

式中：E′—兩固體綜合彈性模量；Rx、Ry—第一和第二主平面有效半徑。

3.2.3 變形方程

3.2.4 粘壓方程

3.2.5 密壓方程

式中：P的單位為GPa。

3.3 參數(shù)的量綱一化

在點(diǎn)接觸彈流潤(rùn)滑問(wèn)題解決的過(guò)程中，采用量綱一化可以大量的減少所研究的變量的個(gè)數(shù)，計(jì)算得到的結(jié)果在應(yīng)用時(shí)完全不受單位的限制，適用于更廣的參數(shù)范圍。經(jīng)量綱一化后的彈流潤(rùn)滑點(diǎn)接觸問(wèn)題的Reynolds方程為：

式中：Rx—（x向）主平面內(nèi)有效半徑；Kex—表面在x方向上的橢圓系數(shù)；X—量綱一化坐標(biāo)，X=x/a；a—接觸區(qū)在x方向上橢圓半軸長(zhǎng)；Y—量綱一化坐標(biāo)，Y=y/b；b—接觸區(qū)在y方向上的橢圓半軸長(zhǎng)；α=a/b；P—量綱一化壓力，P=P/PH；H—量綱一化膜厚，H=hRx/a2。

3.4 雷諾方程求解域

X軸與接觸橢圓的短軸一致，其中AB是入口邊，CD為出口邊，如圖5所示。而AD和BC為端泄邊，α、β和γ來(lái)確定求解域邊界的位置。通常取α=2、β=4；γ與出口邊界有關(guān)，在求解過(guò)程中確定。入口和端泄邊界上壓力為0，在出口邊界采用Reynolds邊界條件，即 P=0 和 ?p/?x=0。

圖5 點(diǎn)接觸求解域Fig.5 Contacts Solution Domain

4 溝曲率半徑系數(shù)對(duì)軸承接觸區(qū)油膜厚度和壓力的影響

4.1 數(shù)值計(jì)算方法的選用

本次計(jì)算方法采用迭代法[10]，在低壓區(qū)采用Gauss-Seidel迭代法，在高壓區(qū)采用Jacobi雙極子迭代法，在迭代過(guò)程中修正壓力時(shí)，上述兩種方法在不同區(qū)域使用。松弛因子關(guān)系到計(jì)算是否收斂，通常選用Gauss-Seidel、Jacobic雙極子迭代松弛因子和剛體位移修正松弛因子。第一個(gè)松弛因子范圍為（0.1～0.3），第二個(gè)松弛因子對(duì)收斂影響較大，為（0.1～0.6），對(duì)輕載工況應(yīng)該采用較小，選用0.15。剛體位移修正松弛因子[11]C3根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式：

式中：c1—松弛因子；ξi—壓力修正量、Pi—迭代修正前后的壓力。

點(diǎn)接觸Reynolds方程運(yùn)用差分方程進(jìn)行離散，接觸區(qū)要修正的壓力分為兩部分，壓力影響部分和膜厚影響部分分別為：

當(dāng)A1較大時(shí)在壓力區(qū)采用Gauss-Seidel修正法，當(dāng)A2較大時(shí)在壓力區(qū)采用Jacobic雙極子迭代法。賦值參數(shù)：徑向載荷為5N，綜合彈性模量E=2.7431195×1011，根據(jù)實(shí)際工況，轉(zhuǎn)速采用72000r/min，潤(rùn)滑油初始粘度0.012325Pa·s。程序計(jì)算框圖，如圖6所示。

圖6 計(jì)算流程圖Fig.6 Calculation Flow Chart

4.2 數(shù)值仿真計(jì)算

分別選取內(nèi)外溝曲率半徑系數(shù)，0.505、0.510、0.515、0.520、0.525、0.530、0.535、0.540，節(jié)點(diǎn)數(shù)為 65，粘壓方程系數(shù)取 0.68，軸承轉(zhuǎn)速為72000r/min，潤(rùn)滑油粘度為0.012325Pa·s，程序進(jìn)行數(shù)值仿真計(jì)算。0.515時(shí)壓力與膜厚云圖，如圖7、圖8所示。由圖7和圖8可知，當(dāng)內(nèi)外溝曲率半徑系數(shù)在0.5145735和0.5196584時(shí)軸承內(nèi)外圈與滾動(dòng)體接觸區(qū)最小膜厚相同，在這個(gè)區(qū)域內(nèi)，內(nèi)外圈與滾動(dòng)體接觸區(qū)最小膜厚較為相近。隨著溝曲率半徑系數(shù)的增加，內(nèi)外圈與滾動(dòng)體接觸區(qū)最大壓力隨之增加。通過(guò)比對(duì)仿真結(jié)果與傳統(tǒng)理論計(jì)算結(jié)果對(duì)比，兩種計(jì)算方法膜厚結(jié)果差別在0.01μm，壓力計(jì)算結(jié)果差別在0.01MPa，可知從模型的建立到計(jì)算方法的選用具有很好的可行性。

圖8 軸承壓力俯視圖Fig.8 The Vertical Pressure

圖7 軸承壓力云圖Fig.7 Stress Nephogram

圖9 膜厚與溝曲率半徑系數(shù)關(guān)系Fig.9 Relationship Between Film Thickness and Curvature Radius Coefficient

圖10 壓力與溝曲率半徑系數(shù)關(guān)系Fig.10 Pressure Relationship with Curvature Radius Coefficient

5 結(jié)論

（1）建立了高速深溝球軸承點(diǎn)接觸彈流潤(rùn)滑數(shù)值計(jì)算模型，通過(guò)量綱一化減少變量，并利用差分法對(duì)Reynolds方程進(jìn)行離散，推導(dǎo)出迭代計(jì)算得松弛方程。（2）對(duì)在高壓和低壓區(qū)的接觸進(jìn)行劃分，分別對(duì)兩個(gè)壓力區(qū)進(jìn)行分別修正，采用不同的迭代方法進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，求得內(nèi)外圈接觸區(qū)最大壓力和最小膜厚。（3）通過(guò)仿真多組數(shù)據(jù)，計(jì)算出內(nèi)外圈溝曲率半徑系數(shù)與軸承內(nèi)外圈接觸區(qū)最大壓力以及最小油膜厚度的關(guān)系，得出在0.5145735和0.5196584時(shí)軸承內(nèi)外圈與滾動(dòng)體接觸區(qū)油膜厚度較為相近，在這個(gè)范圍內(nèi)內(nèi)外圈潤(rùn)滑狀態(tài)都較為充分.對(duì)高速小型深溝球軸承的設(shè)計(jì)和優(yōu)化及其延壽提供了依據(jù)。

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