三電機(jī)振動(dòng)篩轉(zhuǎn)子對(duì)其運(yùn)動(dòng)的影響分析及應(yīng)用

侯勇俊，張麗萍，方 潘，吳先進(jìn)

（1.西南石油大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，四川 成都 610500；2.四川寶石機(jī)械專用車有限公司，四川 廣漢 618300）

1 引言

早在1665年發(fā)現(xiàn)了鐘擺反相同步現(xiàn)象，并詳細(xì)解釋說(shuō)明兩鐘擺的同步運(yùn)動(dòng)。19世紀(jì)50年代文獻(xiàn)[1-2]分別在某些機(jī)電耦合系統(tǒng)及其他聲學(xué)系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)了交互振蕩系統(tǒng)中的協(xié)調(diào)行為。與此同時(shí)，在天體力學(xué)應(yīng)用的推動(dòng)下，法國(guó)數(shù)學(xué)家Poincare引入了小參數(shù)法求解非線性系統(tǒng)的周期解。文獻(xiàn)[3]于20世紀(jì)末期，出版了第一本關(guān)于機(jī)械振動(dòng)、鐘擺、旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)等技術(shù)裝備的英文著作，提出了將Poincare法應(yīng)用于同步狀態(tài)和穩(wěn)定性問(wèn)題研究。此后，許多學(xué)者紛紛提出了其他方法。文獻(xiàn)[4-6]提出了小參數(shù)修正法，研究了多轉(zhuǎn)子耦合振動(dòng)系統(tǒng)在超共振狀態(tài)下的同步性和穩(wěn)定性問(wèn)題；文獻(xiàn)[7-8]利用哈密頓原理分析了基于運(yùn)動(dòng)合成原理的三電機(jī)自同步平動(dòng)橢圓振動(dòng)篩同步性能；文獻(xiàn)[9-10]引入龐加萊法和能量法研究了轉(zhuǎn)子耦合擺自同步振動(dòng)系統(tǒng)在前共振和超共振區(qū)的自同步行為。

盡管上述研究中對(duì)多轉(zhuǎn)子耦合振動(dòng)系統(tǒng)的同步性和穩(wěn)定性問(wèn)題已經(jīng)做出闡述，但在實(shí)際工程應(yīng)用中，通過(guò)調(diào)節(jié)電機(jī)參數(shù)來(lái)獲得理想的運(yùn)動(dòng)軌跡并未給出詳細(xì)的理論解釋和實(shí)驗(yàn)說(shuō)明。基于這一工程背景，采用數(shù)值分析方法定性分析了電機(jī)安裝參數(shù)以及質(zhì)量參數(shù)對(duì)系統(tǒng)同步行為的影響；建立了機(jī)電耦合仿真模型，獲得振動(dòng)系統(tǒng)穩(wěn)定的同步相位差及于xoy平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)；最后對(duì)比分析了試驗(yàn)結(jié)果與仿真和理論結(jié)果，給出了通過(guò)減小偏心塊質(zhì)量比可以獲得理想的橢圓軌跡且不改變自同步子系統(tǒng)的同步行為的結(jié)論。

2 振動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)分析

三電機(jī)自同步振動(dòng)系統(tǒng)力學(xué)簡(jiǎn)化模型，如圖1所示。該系統(tǒng)主要由剛性振動(dòng)體、偏心轉(zhuǎn)子、對(duì)稱布置的線性支撐彈簧及隔震基座等構(gòu)成。其中剛性振動(dòng)體的質(zhì)量為m，上方安裝有三個(gè)由異步電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)的偏心轉(zhuǎn)子，偏心轉(zhuǎn)子的質(zhì)量分別為m1、m2、m3；振動(dòng)體通過(guò)四個(gè)對(duì)稱布置安裝的線性彈簧與隔振基座相連成一整體，固定彈簧的彈簧于水平x方向、豎直y方向以及擺角ψ方向上的彈性系數(shù)分別為kx，ky，kψ，阻尼系數(shù)分別為fx，fy，fψ。o′（o）是振動(dòng)體與激振器的合成質(zhì)心，o″是振動(dòng)體的質(zhì)心，oxy 為系統(tǒng)固定坐標(biāo)，o′x′y′為系統(tǒng)動(dòng)坐標(biāo)，o′x″y″為系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)。偏心電機(jī)的安裝參數(shù)分別記為 li、βi（i=1，2，3），li代表各個(gè)偏心快質(zhì)心 oi到系統(tǒng)合成質(zhì)心間的距離，βi表示o′oi與x軸正向夾角。r為各轉(zhuǎn)子偏心半徑，φi（i=1，2，3）表示各偏心轉(zhuǎn)子的相位角。偏心轉(zhuǎn)子在異步電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)下開(kāi)始工作，各偏心轉(zhuǎn)子按圖1方向等速旋轉(zhuǎn)，逐漸實(shí)現(xiàn)同步。

圖1 三電機(jī)自同步振動(dòng)篩力學(xué)模型Fig.1 Physical Model of Tri-Motor Self-Synchronous Vibrating Screen

利用拉格朗日方程推導(dǎo)出系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)微分方程：

設(shè)轉(zhuǎn)子1與轉(zhuǎn)子2的相位差角為α12，轉(zhuǎn)子2與轉(zhuǎn)子3的相位差角為α23，則時(shí)刻t時(shí)系統(tǒng)各轉(zhuǎn)子的相位角分別表示為：

利用龐加萊法[9]獲得振動(dòng)系統(tǒng)的平衡方程和自同步條件分別為式（5）和不等式（6）：

由系統(tǒng)的平衡方程和同步條件可知振動(dòng)系統(tǒng)同步性能的影響因素較多。當(dāng)系統(tǒng)的參振質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一定時(shí)，振動(dòng)系統(tǒng)的同步性不僅取決于振動(dòng)系統(tǒng)彈性系數(shù)μx和激振電機(jī)安裝角βi，還取決于偏心轉(zhuǎn)子質(zhì)量比 ηi=mi/m0（i=1，2，3）以及激振電機(jī)的安裝位置 rli。

3 振動(dòng)系統(tǒng)同步運(yùn)動(dòng)數(shù)值分析

為了進(jìn)一步探討三電機(jī)偏心轉(zhuǎn)子耦合振動(dòng)系統(tǒng)的同步行為，基于上節(jié)對(duì)系統(tǒng)的同步理論分析，采用數(shù)值分析方法求得系統(tǒng)穩(wěn)定同步相位差角近似解。由系統(tǒng)穩(wěn)定性準(zhǔn)則式（5）可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)彈簧參數(shù)μx等系統(tǒng)參數(shù)一定時(shí)，轉(zhuǎn)子間的同步性取決于其安裝參數(shù)βi、rli以及其質(zhì)量比ηi。鑒于影響因素較為復(fù)雜，在此以偏心轉(zhuǎn)子質(zhì)量之比為變量，電機(jī)1、2安裝角為參考變量，對(duì)轉(zhuǎn)子質(zhì)量比對(duì)系統(tǒng)同步行為的影響進(jìn)行定性分析。振動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)和無(wú)量綱參數(shù)分別，如表1、表2所示。

表1 系統(tǒng)參數(shù)，式（1）Tab.1 System Parameter Values for Eq（1）

表中：在此引入安裝參數(shù)γ，為電機(jī)1、2中心連線的垂線與x軸正向夾角，且有 β1+β2=2γ。

表2 無(wú)量綱參數(shù)，式（3）Tab.2 Dimensionless Parameter Values for Eq（3）

對(duì)于β1分別取π/12，5π/36時(shí)，轉(zhuǎn)子質(zhì)量比η3對(duì)穩(wěn)定性的影響，如圖2所示。安裝角β1取不同值時(shí)，相位差值的變化規(guī)律不變，說(shuō)明當(dāng)機(jī)械系統(tǒng)參數(shù)一定時(shí)，轉(zhuǎn)子間的同步性取決質(zhì)量比η3的取值。隨著質(zhì)量比η3增加，系統(tǒng)的穩(wěn)定同步相位差角的值在一定范圍內(nèi)發(fā)生變化，轉(zhuǎn)子1與轉(zhuǎn)子2的相位差α12以及轉(zhuǎn)子2與轉(zhuǎn)子3的相位差α23在πrad附近波動(dòng)，且波動(dòng)范圍為［π/2，3π/2］rad，即轉(zhuǎn)子1、2和轉(zhuǎn)子2、3反相同步穩(wěn)定，而同相行為不穩(wěn)定；而轉(zhuǎn)子1與轉(zhuǎn)子3的穩(wěn)定相位差值在2πrad附近波動(dòng)，波動(dòng)范圍為［3π/2，5π/2］rad，即轉(zhuǎn)子1、3 在反相同步不穩(wěn)定，而將實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定的同相同步行為。在η3≈1處，轉(zhuǎn)子2、3相位差α23≈πrad，故在此處由偏心轉(zhuǎn)子2和轉(zhuǎn)子3產(chǎn)生的激振力幾乎被完全抵消；而遠(yuǎn)離該點(diǎn)相位差值α23有所增加或減小，從而激振力抵消程度減小，由此說(shuō)明改變轉(zhuǎn)子3的質(zhì)量可以產(chǎn)生橢圓形運(yùn)動(dòng)軌跡，且一定程度上增大橢圓長(zhǎng)軸幅度。

圖2 振動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)定相位差值Fig.2 Stable Synchronization Phase Difference of System

4 計(jì)算機(jī)模擬仿真驗(yàn)證

同步相位差是影響該類自同步振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)的直接因素，轉(zhuǎn)子質(zhì)量比的改變一定程度上會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)產(chǎn)生相應(yīng)的變化。本節(jié)根據(jù)振動(dòng)微分方程式（1）在Matlab/simulink中建立機(jī)電耦合模型，三個(gè)轉(zhuǎn)子由三個(gè)參數(shù)相同的三相異步電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)，模擬仿真獲得振動(dòng)系統(tǒng)的同步相位差角及相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)輸出。在本章節(jié)針對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)為β1=5π/36，其余參數(shù)取值的模型，如表1所示。對(duì)于η3取0.496、0.338、0.258不同值進(jìn)行仿真，結(jié)果如圖3～圖5所示。

圖3 η3=0.496時(shí)，振動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)響應(yīng)Fig.3 The Dynamic Response of Vibrating Screen for η3=0.496

圖4 η3=0.338時(shí)，振動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)響應(yīng)Fig.4 The Dynamic Response of Vibrating Screen for η3=0.338

圖5 η3=0.258時(shí)，振動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)響應(yīng)Fig.5 The Dynamic Response of Vibrating Screen for η3=0.258

取不同值時(shí)，系統(tǒng)啟動(dòng)約1.5s后，轉(zhuǎn)子相位差均能平衡在某一個(gè)相位點(diǎn)，如圖5（a）所示。計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果與理論分析結(jié)果誤差對(duì)比，如表3所示。從表3中可以知道質(zhì)量比η3的改變不影響轉(zhuǎn)子的同步狀態(tài)，但同步相位差值有所浮動(dòng)，且與理論分析結(jié)果基本吻合。η3取不同值時(shí)，振動(dòng)系統(tǒng)于x水平方向和y垂直方向上運(yùn)動(dòng)響應(yīng)合成，如圖5（b）所示。振動(dòng)體運(yùn)動(dòng)軌跡的橢圓度（（最大外徑-最小外徑）/標(biāo)稱外徑×100%）隨質(zhì)量比減小而增大，而長(zhǎng)軸傾角基本不變（約為45°）。

表3 振動(dòng)系統(tǒng)的理論同步相位差值與仿真同步相位差值對(duì)比Tab.3 Comparison Table of Synchronous Phase Value for Different

5 樣機(jī)動(dòng)態(tài)測(cè)試實(shí)驗(yàn)研究驗(yàn)證

本節(jié)針對(duì)以上分析的機(jī)械系統(tǒng)參數(shù)設(shè)計(jì)了三電機(jī)自同步振動(dòng)篩實(shí)驗(yàn)樣機(jī)，通過(guò)模型分析找出系統(tǒng)質(zhì)心位置，并進(jìn)行系統(tǒng)動(dòng)態(tài)實(shí)驗(yàn)測(cè)試。η3=0.496，0.338，0.258試驗(yàn)樣機(jī)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖6所示。橢圓運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)軸隨質(zhì)量比η3減小有所增大，而短軸明顯減小。實(shí)驗(yàn)研究結(jié)果與仿真結(jié)果一致，從而間接地映證了理論分析。

圖6 實(shí)驗(yàn)樣機(jī)質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)Fig.6 The Centroid’s Motion Response of Experimental Prototype

6 結(jié)論

以三電機(jī)自同步振動(dòng)篩為研究對(duì)象，通過(guò)引入小參數(shù)利用龐加萊法推導(dǎo)出了系統(tǒng)同步平衡方程和穩(wěn)定條件，利用數(shù)值方法定性分析了安裝角β1與質(zhì)量η3比對(duì)系統(tǒng)同步行為的影響，計(jì)算機(jī)模擬仿真模型證明了理論分析的正確性，最后通過(guò)實(shí)驗(yàn)研究手段映證理論與仿真結(jié)果。

（1）數(shù)值分析結(jié)果顯示，當(dāng)振動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)一定且同時(shí)滿足系統(tǒng)同步平衡方程和穩(wěn)定條件時(shí)，能夠得到穩(wěn)定的相位差角，即系統(tǒng)各轉(zhuǎn)子能實(shí)現(xiàn)同步運(yùn)轉(zhuǎn)。安裝角β1與質(zhì)量比η3值的變化使轉(zhuǎn)子間的同步相位差值在一定范圍內(nèi)變化，但并未改變各轉(zhuǎn)子間的同步狀態(tài)，轉(zhuǎn)子 1、2 以及轉(zhuǎn)子 2、3 始終處于反相同步狀態(tài)；而相位差，轉(zhuǎn)子 1、3 保持同相同步的狀態(tài)；（2）雖然轉(zhuǎn)子3質(zhì)量比η3不改變轉(zhuǎn)子間的同步狀態(tài)，但系統(tǒng)的同步相位差值α12、α23和α13隨質(zhì)量比趨近1分別逼近π［rad］和2π［rad］，轉(zhuǎn)子2、3產(chǎn)生的激振力抵消程度也就越大，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)軌跡越接近圓；當(dāng)η3＜1時(shí)，振動(dòng)體運(yùn)動(dòng)軌跡的橢圓度隨質(zhì)量比η3減小而增大，而長(zhǎng)軸傾角基本不變，且振動(dòng)傾角主要取決于電機(jī)安裝參數(shù)γ；（3）動(dòng)態(tài)測(cè)試實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在三電機(jī)自同步橢圓振動(dòng)篩的工程應(yīng)用中可以通過(guò)調(diào)節(jié)電機(jī)參數(shù)η3來(lái)獲得滿足篩分效率所需的橢圓軌跡，而不改變系統(tǒng)的同步狀態(tài)，可為目前雙軌跡振動(dòng)篩的參數(shù)設(shè)計(jì)提供參考以及理論支撐。

［1］Pol V.d.Theory of the amplitude of free and forced triode vibrations［J］.Radio Review，1920（1）：701-710.

［2］Rayleigh.Theory of Sound［M］.New York：Dover Publications，1945.

［3］I.I.Blekhman.Synchronization in Science and Technology［M］.New York：ASME Press，1988.

［4］Zhang Xue-liang，Wen Bang-chun，Zhao Chun-yu.Synchronization of three non-identical coupled exciters with the same rotating directions in a far-resonantvibratingsystem［J］.Journal ofSoundandVibration，2013，332（9）：2300-2317.

［5］聞邦椿，范儉，趙春雨.工程中的振動(dòng)同步與控制同步［M］.北京：科學(xué)出版社，2009.（Wen Bang-chun，F(xiàn)an Jian，Zhao Chun-yu.Vibratory Synchronization andControlledSynchronizationinEngineering［M］.Beijing：SciencePress，2009.）

［6］Zhang Xue-liang，Wen Bang-chun，Zhao Chun-yu.Synchronization of three homodromy coupled exciters in a non-resonant vibrating system of plane motion［J］.Acta Mechanica Sinica，2012，28（5）：1424-1435.

［7］侯勇俊，申永強(qiáng)，田英.基于運(yùn)動(dòng)合成原理的三電機(jī)自同步橢圓振動(dòng)篩同步穩(wěn)定性研究［J］.石油礦場(chǎng)機(jī)械，2010，39（6）：1-5.（Hou Yong-jun，Shen Yong-qiang，Tian Ying.Study of Synchronization and stability of tri-motor self-synchronization balanced on elliptical motion shale shaker on movement synthesize［J］.Oil Field Equipment，2010，39（6）：1-5.）

［8］侯勇俊.三振動(dòng)電機(jī)自同步橢圓振動(dòng)篩的同步理論［J］.西南石油大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，29（3）：168-172.（Hou Yong-jun.The synchronism theory of three motor self-synchronization exciting elliptical motion shaker［J］.Journal of Southwest Petroleum，2007，29（3）：168-172.）

［9］方潘，侯勇俊，張麗萍.轉(zhuǎn)子耦合擺振動(dòng)系統(tǒng)的同步行為理論研究［J］.物理學(xué)報(bào)，2016，65（1）：254-265.（Fang Pan，Hou Yong-jun，Zhang Li-ping.Synchronous behavior of a rotor-pendulum system.Acta Phys.Sin，2016，65（1）：254-265.）

［10］Hou Yong-jun，F(xiàn)ang Pan，Nan Hai-yang.Synchronization investigation of vibration system of two co-rotating rotor with energy balance method［J］.AdvancesinMechanicalEngineering，2016，8（1）：1687814015626023.