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    一道函數(shù)題的衍生與延展

    2023-05-05 11:25:50姜鴻雁
    初中生世界 2023年15期
    關(guān)鍵詞:坐標(biāo)軸反比例表達(dá)式

    文/姜鴻雁

    再?gòu)?fù)雜的問(wèn)題都是由簡(jiǎn)單的、基本的問(wèn)題演變而來(lái)的。同學(xué)們只要立足基本知識(shí)和基本技能,把握基本數(shù)學(xué)思想,注意積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),便可以“以不變應(yīng)萬(wàn)變”,下面以一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明。

    【題根】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,有A(2,-3)、B(-1,0)、C(0,-3),分析并解決下面的系列問(wèn)題。

    一、三個(gè)定點(diǎn)完成“基本框架”

    【要求1】提一個(gè)關(guān)于反比例函數(shù)的問(wèn)題,并解決它。

    【問(wèn)題1】求過(guò)點(diǎn)A的反比例函數(shù)表達(dá)式。

    【解析】反比例函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸沒有公共點(diǎn),只能通過(guò)點(diǎn)A提相關(guān)問(wèn)題。運(yùn)用待定系數(shù)法,可得反比例函數(shù)的表達(dá)式為y1=-(為了后續(xù)研究的方便,記作函數(shù)“y1”)。

    【要求2】運(yùn)用其中兩個(gè)點(diǎn)提出關(guān)于一次函數(shù)的問(wèn)題,并解決它。

    【問(wèn)題2】求過(guò)A、B兩點(diǎn)的一次函數(shù)表達(dá)式。

    【解析】根據(jù)一次函數(shù)的概念,可以選擇點(diǎn)A和點(diǎn)B或點(diǎn)B和點(diǎn)C,我們這里選擇求過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)B的一次函數(shù)表達(dá)式。運(yùn)用待定系數(shù)法,不難求得y2=-x-1。

    【問(wèn)題3】結(jié)合問(wèn)題1、2的結(jié)論,試寫出當(dāng)y1<y2時(shí)自變量x的取值范圍。

    【解析】聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式,求出兩個(gè)函數(shù)圖像的另一個(gè)公共點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,2),結(jié)合函數(shù)圖像的相對(duì)位置(如圖1),可得當(dāng)x<-3或0<x<2時(shí),y1<y2。

    圖1

    【說(shuō)明】同學(xué)們?cè)趩?wèn)題2 中,如果選擇過(guò)點(diǎn)B、C的一次函數(shù)表達(dá)式,除了可以提出類似的問(wèn)題3,還可以提出與面積有關(guān)的問(wèn)題,試試看吧!

    【要求3】根據(jù)A、B、C三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),提出一個(gè)關(guān)于二次函數(shù)的問(wèn)題,解決之后,說(shuō)說(shuō)你對(duì)這個(gè)二次函數(shù)及其圖像的認(rèn)識(shí)。

    【問(wèn)題4】求過(guò)A、B、C三點(diǎn)的二次函數(shù)表達(dá)式,并說(shuō)明該二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)。

    【解析】我們可以設(shè)一般式:y=ax2+bx+c(其中a、b、c是常數(shù),a≠0),代入三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),解關(guān)于a、b、c的方程組,即可求得函數(shù)表達(dá)式。仔細(xì)觀察三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)特征,由A(2,-3)、C(0,-3)不難發(fā)現(xiàn),此二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸是直線x=1,所以可以設(shè)頂點(diǎn)式:y=a(x-1)2+k,將點(diǎn)B、點(diǎn)C坐標(biāo)代入即求得a=1,k=-4,所以二次函數(shù)的表達(dá)式是y=(x-1)2-4,即y=x2-2x-3。如圖2,二次函數(shù)圖像開口方向向上,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-4),對(duì)稱軸是直線x=1。當(dāng)x<1 時(shí),函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小;x>1 時(shí),函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大;當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)y有最小值為-4。進(jìn)一步觀察圖像,我們還發(fā)現(xiàn),方程x2-2x-3=0 的兩個(gè)根分別為x1=-1,x2=3;當(dāng)-1<x<3 時(shí),y<0,當(dāng)x>3或x<-1時(shí),y>0;等等。

    圖2

    【歸納】待定系數(shù)法是求函數(shù)表達(dá)式最基本、最重要的方法。求二次函數(shù)的表達(dá)式時(shí),根據(jù)已知條件,選擇最合適的表達(dá)形式,可以達(dá)到事半功倍的效果。利用函數(shù)圖像分析函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)與函數(shù)、函數(shù)與方程、函數(shù)與不等式等之間的關(guān)系,可以讓這些相對(duì)抽象的數(shù)量關(guān)系在函數(shù)圖像的表征下,變得直觀而又具象。

    二、一個(gè)動(dòng)點(diǎn)猶如“源頭活水”

    如圖3,若問(wèn)題4 中的二次函數(shù)y=x2-2x-3與x軸的另一個(gè)公共點(diǎn)為點(diǎn)D,設(shè)點(diǎn)M是第四象限圖像上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M作y軸的平行線,交直線CD于點(diǎn)N,連接DM、CM。

    圖3

    【要求4】在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,圖3中有哪些量隨之發(fā)生變化,由此,能提出什么問(wèn)題并解決它?

    【問(wèn)題5】線段MN的長(zhǎng)隨M點(diǎn)位置的變化而變化,求它的最大值。

    【解析】揭示MN的長(zhǎng)與點(diǎn)M位置之間的變化規(guī)律是解決問(wèn)題的根本。首先,不難求得直線CD的函數(shù)表達(dá)式為y=x-3;其次,設(shè)點(diǎn)M(m,m2-2m-3),則點(diǎn)N(m,m-3),得MN=-m2+3m(0<m<3)。MN的長(zhǎng)與m之間是二次函數(shù)關(guān)系,配方,得,當(dāng)m=時(shí),MN取最大值,最大值為。

    【問(wèn)題6】△DMC的面積隨M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)變化而變化,求△DMC面積的最大值。

    【變式1】以MN為直徑的圓與CD相交于點(diǎn)P,求弦NP的最大值。

    圖4

    【變式2】如圖5,連接BM,交直線CD于點(diǎn)Q,求的最大值。

    圖5

    【解析】因?yàn)椤鰿QM與△CQB同高,所以。在平面直角坐標(biāo)系中,常常將不平行或不垂直于坐標(biāo)軸的線段向平行或垂直于坐標(biāo)軸的方向轉(zhuǎn)化(不妨稱為“化斜為直”)。點(diǎn)B、直線CD分別為確定的點(diǎn)、確定的直線,則過(guò)點(diǎn)B作y軸的平行線交直線CD于G(如圖6),不難有BG=4。易證△QNM∽△QGB,則,所以當(dāng)MN取

    圖6

    【歸納】點(diǎn)M位置的變化,導(dǎo)致線段MN的長(zhǎng)、△DMC的面積、弦NP的長(zhǎng)、等的變化,由此可以分別建立點(diǎn)M的橫坐標(biāo)與這些量之間的二次函數(shù)關(guān)系,這就是建模的過(guò)程。隨著解決問(wèn)題的深入,結(jié)合相似三角形、三角函數(shù)等知識(shí),我們不難發(fā)現(xiàn),當(dāng)MN取最大值時(shí),相關(guān)的量隨之取得最大值,這是化陌生為熟悉的過(guò)程,更是“會(huì)一題、通一片”的狀態(tài)。

    掌握扎實(shí)的基本知識(shí)(待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式、相似三角形、三角形函數(shù)等)和過(guò)硬的基本技能(識(shí)圖、構(gòu)造、運(yùn)算等),靈活運(yùn)用基本思想(建模、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化等),注意積累基本經(jīng)驗(yàn)(求MN的最大值的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是本題系列變式的基礎(chǔ))是我們學(xué)好數(shù)學(xué)的強(qiáng)大后盾。同學(xué)們,本題還可以提出若干問(wèn)題,去試試吧!

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