美妙實(shí)用的分形幾何

何玲

分形幾何是美籍法國(guó)數(shù)學(xué)家伯努瓦·曼德布羅特在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門(mén)數(shù)學(xué)新分支，它研究的是廣泛存在于自然界和人類(lèi)社會(huì)中一類(lèi)沒(méi)有特征尺度卻有自相似結(jié)構(gòu)的復(fù)雜形狀和現(xiàn)象，它與歐氏幾何不同。歐氏幾何是由古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》一書(shū)中創(chuàng)立的，它是關(guān)于直覺(jué)空間形體關(guān)系分析的一門(mén)學(xué)科，它研究的是直線、圓、正方體等規(guī)則的幾何形體，這些形體都是人為的。

但是，“云彩不是球體、山嶺不是錐體、海岸線不是圓周”。自然界的眾多形狀都是如此的不規(guī)則和支離破碎。對(duì)這些形狀的認(rèn)識(shí)，歐幾里得并未能給后人留下更多的啟示，傳統(tǒng)的歐氏幾何在它們面前顯得那樣的蒼白無(wú)力、對(duì)大自然的這種挑戰(zhàn)，兩千多年來(lái)，激勵(lì)著一代又一代的數(shù)學(xué)家上下求索，探尋從歐氏幾何體系中解放出來(lái)的道路。終于在1975年，曼德布羅特發(fā)表了被視為分形幾何創(chuàng)立標(biāo)志的專(zhuān)著《分形：形、機(jī)遇和維數(shù)》。從此，一門(mén)嶄新的數(shù)學(xué)分支一一分形幾何學(xué)躋身于現(xiàn)代數(shù)學(xué)之林。

何為分形幾何學(xué)？

分形幾何學(xué)是一門(mén)以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對(duì)象的新幾何學(xué)，但其本質(zhì)卻是一種新的世界觀和方法論。相對(duì)于傳統(tǒng)幾何學(xué)的研究對(duì)象為整數(shù)維數(shù)，如零維的點(diǎn)、一維的線、二維的面、三維的立體乃至四維的時(shí)空，分形幾何學(xué)的研究對(duì)象為分?jǐn)?shù)維數(shù)，如0.54、1.26、2.78等等;分?jǐn)?shù)維數(shù)反映了復(fù)雜形體占有空間的有效性，它是復(fù)雜形體不規(guī)則性的量度。事實(shí)上，分形幾何更加趨近復(fù)雜系統(tǒng)的真實(shí)屬性和狀態(tài)描述，更加符合客觀事物的多樣性和復(fù)雜性。

分形幾何學(xué)的基本思想是：客觀事物具有自相似的層次結(jié)構(gòu)，局部與整體在形態(tài)、功能、信息、時(shí)間、空間等方面具有統(tǒng)計(jì)意義的相似性，成為自相似性。例如，一塊磁鐵中的每一部分都像整體一樣具有南北兩極，不斷分割下去，每一部分都具有和整體磁鐵相同的磁場(chǎng)。這種自相似的層次結(jié)構(gòu)，適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小幾何尺寸，整個(gè)結(jié)構(gòu)不變。這有點(diǎn)像我們平時(shí)所說(shuō)的“窺一斑而知全豹”。分形幾何學(xué)作為當(dāng)今世界十分風(fēng)靡和活躍的新理論、新學(xué)科，它的出現(xiàn)，使人們重新審視這個(gè)世界：世界是非線性的，分形無(wú)處不在。分形幾何學(xué)不僅讓人們感悟到科學(xué)與藝術(shù)的融合，數(shù)學(xué)與藝術(shù)審美的統(tǒng)一，而且還有其深刻的科學(xué)方法論意義。

不規(guī)則現(xiàn)象普遍存在

經(jīng)過(guò)四十多年的開(kāi)拓和發(fā)展，分形研究現(xiàn)已深入到各個(gè)科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域，在數(shù)學(xué)、哲學(xué)、地學(xué)、醫(yī)學(xué)、物理學(xué)、語(yǔ)言學(xué)、材料科學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)等眾多領(lǐng)域，甚至在電影、美術(shù)和書(shū)法等藝術(shù)領(lǐng)域都得到了廣泛的應(yīng)用，對(duì)現(xiàn)代科學(xué)產(chǎn)生了至為深遠(yuǎn)的影響，所以美國(guó)物理學(xué)大師約翰·惠勒說(shuō)：“可以相信，明天誰(shuí)不熟悉分形，誰(shuí)就不能被認(rèn)為是科學(xué)上的文化人！”由于不規(guī)則現(xiàn)象在自然界是普遍存在的，因此分形幾何是描述大自然較普遍現(xiàn)象的一門(mén)幾何學(xué)。正如中國(guó)知名學(xué)者周海中所言：“分形幾何不僅展示了數(shù)學(xué)之美，也揭示了世界的本質(zhì)，從而改變了人們理解自然奧秘的方式;可以說(shuō)分形幾何是真正描述大自然的幾何學(xué)，對(duì)它的研究也極大地拓展了人類(lèi)的認(rèn)知疆域?！?h3>向文化、藝術(shù)領(lǐng)域滲透

分形幾何除對(duì)科學(xué)產(chǎn)生深刻影響外，還對(duì)文化領(lǐng)域產(chǎn)生了重要影響，如在上世紀(jì)70年代后期分形藝術(shù)十分流行，尤其曼德?tīng)柌剂_特的集合圖形成了一種文化符號(hào)，被大量印制在文化衫、棒球帽和帆布包上。英國(guó)《自然》雜志曾經(jīng)評(píng)選出“2009年度十大科學(xué)圖片”，由數(shù)學(xué)“極客”丹尼爾·懷特運(yùn)用計(jì)算機(jī)繪制出來(lái)的曼德?tīng)柌剂_特集合三維圖位居第三。

另外，分形藝術(shù)中優(yōu)美豐富的圖形可以應(yīng)用到各種布局設(shè)計(jì)中，如舞臺(tái)設(shè)計(jì)、園林設(shè)計(jì)、建筑設(shè)計(jì)、器型設(shè)計(jì)等。分形藝術(shù)以一種全新的藝術(shù)風(fēng)格展示給人們，使人們認(rèn)識(shí)到該藝術(shù)和傳統(tǒng)藝術(shù)一樣具有和諧、對(duì)稱(chēng)等特征的美學(xué)標(biāo)準(zhǔn)?？梢哉f(shuō)，分形幾何搭起了科學(xué)與藝術(shù)的橋梁，也展示了當(dāng)代文化藝術(shù)的風(fēng)貌。（編輯/任偉）