基于全局靈敏度分析方法的氣動設(shè)計研究

夏露, 楊梅花, 李朗, 張欣

(西北工業(yè)大學 航空學院, 陜西 西安 710072)

隨著計算機技術(shù)的發(fā)展,基于智能優(yōu)化算法與CFD技術(shù)相結(jié)合的氣動優(yōu)化設(shè)計方法已經(jīng)獲得了大量的研究與應用,其優(yōu)點是具有良好的全局性、適應性和魯棒性,且使用方便靈活[1]。但對于復雜氣動布局而言,設(shè)計變量對輸出目標的影響差異明顯,若不加以區(qū)分處理,會對全局優(yōu)化搜索造成一定的影響,同時,對于機翼、全機等具有大規(guī)模設(shè)計變量的優(yōu)化問題,優(yōu)化設(shè)計的復雜程度以及計算量的需求會隨著設(shè)計變量的增加而急劇上升,對于一般的優(yōu)化框架在優(yōu)化效果與優(yōu)化效率上構(gòu)成了很大的挑戰(zhàn)。針對以上問題,許多學者對全局靈敏度分析方法在氣動設(shè)計中的應用展開了研究,如:國外學者Sobieski等[2]闡明了靈敏度分析方法在多學科優(yōu)化設(shè)計領(lǐng)域的重要性;Peter等[3]總結(jié)了靈敏度分析在氣動優(yōu)化設(shè)計中的一些應用方法。國內(nèi)學者顏力等研究了復變量、自動微分等靈敏度分析方法在多學科設(shè)計中的應用[4];姜亞楠等則研究了靈敏度分析方法在飛行器穩(wěn)健優(yōu)化優(yōu)化設(shè)計中的應用[5]。由于靈敏度方法在分析和處理輸入變量對輸出值的影響上具有強大優(yōu)勢,在氣動優(yōu)化設(shè)計中也具有明顯的優(yōu)點,本文在前面學者研究的基礎(chǔ)上,著力研究靈敏度分析方法在氣動優(yōu)化設(shè)計中的應用,以此豐富氣動設(shè)計手段,提升氣動優(yōu)化效率與優(yōu)化結(jié)果。

本文將全局靈敏度分析方法與氣動優(yōu)化設(shè)計相結(jié)合,根據(jù)設(shè)計變量對目標函數(shù)的靈敏度信息對設(shè)計變量進行分層,然后建立基于全局靈敏度分析方法的分層優(yōu)化設(shè)計系統(tǒng),對翼型以及機翼進行分層優(yōu)化設(shè)計,并與普通的全參數(shù)優(yōu)化系統(tǒng)對比分析。計算結(jié)果表明分層優(yōu)化系統(tǒng)可以有效減少單次優(yōu)化時的設(shè)計變量數(shù)目,減少優(yōu)化搜索難度,加快優(yōu)化收斂速度,同時獲得較好的優(yōu)化結(jié)果。

1 靈敏度分析方法研究

全局靈敏度分析方法是在可行域內(nèi)研究輸入變量對系統(tǒng)輸出的影響,其特點是不僅能分析出單個輸入變量對輸出的影響效果,同時也能分析輸入變量之間的相互作用對輸出的影響效果,并且其分析過程具有全局性,能較準確地反應系統(tǒng)特征,因而被廣泛應用于各個領(lǐng)域。全局靈敏度分析方法主要分為3類,蒙特卡羅類方法、篩選法和基于方差的方法。蒙特卡羅類方法大多是使用統(tǒng)計學的方法,其計算方法較為簡單,但對非線性、非單調(diào)問題的靈敏度分析精度并不高。在篩選法中OAT方法計算原理簡單,計算效率高,應用范圍較為廣泛。在方差法中Sobol方法在靈敏度的定量分析方面具有較強的優(yōu)勢,不過存在計算量偏大的問題。下面重點介紹OAT方法和Sobol方法,并利用這2種靈敏度分析方法對相關(guān)函數(shù)進行靈敏度測試分析,以研究這2種靈敏度分析方法的性能與特點。

1.1 M-OAT方法

篩選法中最簡單的一種方法是OAT方法,這種方法的特點是每次只能分析一個因素對輸出的影響。OAT方法有很多種,其中Morris于1991年提出的OAT方法使用更為廣泛,以下簡稱為M-OAT方法[6]。

假設(shè)設(shè)計變量x=[x1,x2,…,xn],共有n個分量。對于某個樣本點,xi對輸出值的初步靈敏度值可用下式計算:

di(x)=[y(x1,…,xi-1,xi+Δ,xi+1,…,xn)-y(x)]/Δ

(1)

式中，Δ為設(shè)計變量的變化量。先將設(shè)計變量x的每個分量xi的取值范圍歸一化與離散化,每個分量從{0,1/(k-1),2/(k-2),…,1}中取值。其中,k為參數(shù)的取樣點個數(shù)。經(jīng)過以上劃分,n維的取值空間Ω就擁有了n×k個取樣點,xi便可從這些取樣點中隨機取樣。取樣矩陣方程如下:

(2)

矩陣方程中每相鄰2行只有一個參數(shù)的取值不同, 且其變化量為Δ,把這2行作為模型的參數(shù)輸入, 分別獲得模型的輸出結(jié)果yi和yi+1然后利用公式di(x)=(yi+1-yi)/Δ就能求出這個樣本點中xi的靈敏度值。進行n+1運算就可以得到x1,x2,…,xn的靈敏度值,重復上述的方式計算r次,求取平均值即可得到xi的靈敏度信息Si,即:

(3)

1.2 Sobol方法

Sobol方法是Sobieski在1990年提出的一種基于Monte Carlo積分靈敏度分析方法[7],是一種基于方差分解(analysis of variance,ANOVA)的方法。設(shè)所研究的計算模型的輸入輸出關(guān)系是由函數(shù)Y=f(X)表示,其中X=(X1,X2,…,Xn)表示n維輸入變量,Y表示一維輸出變量,設(shè)模型Y=f(X)可以分解為如下形式:

(4)

式中:

f0=E(Y)

fi=E(Y/Xi)-f0

fij=E(Y/Xi,Xj)-fi-fj-f0

模型函數(shù)Y=f(X)可以分解為維數(shù)遞增的2n個子函數(shù)項。若輸入變量之間是相互獨立的,則(4)式右端各項相互正交(即協(xié)方差為0),因此,可對左右兩端求方差得到:

(5)

令Si=Vi/V(Y),則:

(6)

同理:

(7)

以此類推,并對(5)兩端同除以V(Y),得到如下公式:

(8)

式中Si表示單個變量Xi對輸出方差的貢獻效果,也被稱為主效應,是Sobol法中的一階靈敏度指標;Sij表示變量Xi與Xj的交叉影響效果,即二階靈敏度指標;同理對于S12…m(其中m≤n)表示的是一組輸入變量X(X1,X2,…Xs)對輸出的交叉影響。

2 算例測試

由于M-OAT和Sobol方法都依賴于樣本數(shù)據(jù),不同的樣本數(shù)量會對結(jié)果產(chǎn)生重要影響,因此在具體計算過程中,逐漸增加樣本數(shù)量,根據(jù)不同樣本數(shù)量下的計算結(jié)果來判斷靈敏度分析方法的分析效率和分析精度。算例中將會用到2個測試函數(shù),如表1所示。2個測試函數(shù)中n均代表矢量x的維數(shù),xi為[0,1]之間均勻分布的輸入變量,參數(shù)ai影響著xi的靈敏度大小,且ai越小,靈敏度值則越大。

表1 測試函數(shù)

2.1 函數(shù)測試1

選擇G1函數(shù)作為測試函數(shù),算例中,設(shè)n=6,Si為xi對函數(shù)的靈敏度值,a=[8,2,0.5,1,4,16], 研究6個輸入變量對輸出的影響。由參數(shù)a的設(shè)置可知xi的靈敏度值大小排序理論上應為:

S3>S4>S2>S5>S1>S6

分別使用M-OAT方法和Sobol方法對函數(shù)進行設(shè)計變量的靈敏度計算,以檢驗各靈敏度分析方法性能。

圖1是M-OAT方法的計算結(jié)果顯示圖,樣本數(shù)以28為基礎(chǔ),每次增加14個樣本。由圖1可知,大約在56個樣本的時候,MOAT方法就已獲得不錯的結(jié)果,且隨著樣本數(shù)的增加,靈敏度信息變化并不大。由此可知,MOAT方法對樣本數(shù)量的要求較低,且收斂速度較快。

圖2是Sobol方法的計算結(jié)果顯示圖,樣本數(shù)以32為基礎(chǔ),每次增加16個樣本。由圖2可知,大約在120個樣本的時候,Sobol方法才獲得較不錯的結(jié)果,之后隨著樣本數(shù)的增加,靈敏度信息還有一定的波動。由此可知,Sobol方法對樣本數(shù)的依賴性較強,當樣本數(shù)量很少時,計算結(jié)果有一定的誤差,收斂速度較慢。

圖1 M-OAT對G1函數(shù)計算靈敏度情況 圖2 Sobol方法對G1函數(shù)計算靈敏度情況

2.2 函數(shù)測試2

本算例選擇的測試函數(shù)為G2函數(shù)。xi為[0,1]之間均勻分布的輸入變量。本算例中設(shè)n=10,a=[16,8,4,2,1.2,0.7,0.5,0.25,0.1,0],即研究10個設(shè)計變量對輸出的影響。由參數(shù)a的設(shè)置可知,輸入變量的靈敏度信息排序理論上應為:

S1

圖3是M-OAT方法的計算結(jié)果顯示圖,樣本數(shù)以330個為基礎(chǔ),每次增加330個樣本。由圖可知,1 650個樣本的時候就能獲得很好的結(jié)果。通過分析1 650個樣本和1 980個樣本的數(shù)據(jù)可知,對于同一輸入變量,其誤差大約在5%左右。說明即使大幅增加樣本數(shù)量,其分析精度的提升也不明顯。

圖4是Sobol方法靈敏度分析結(jié)果顯示圖。Sobol方法對樣本數(shù)的依賴較大,所以本算例中分別取1 980、12 000、16 008、18 000個樣本再次進行驗證。由圖4可知,對于10個輸入變量的問題,Sobol方法大約在16 008個樣本的時候才獲得較好的結(jié)果,然而M-OAT在1 650個樣本時就獲得了不錯的結(jié)果。通過分析16 008個樣本和18 000個樣本的數(shù)據(jù)可知,對于同一輸入變量,其誤差大約在1%左右,其計算精度達到了相當高的水平。

由以上分析可知,M-OAT方法的特點是當樣本數(shù)量較少時,其已有相對不錯的分析精度,即對樣本依賴性較小;而Sobol方法的特點是當樣本數(shù)量較少時,其計算精度較差,只有當樣本數(shù)量很大時,其計算精度較高, 即對樣本依賴性較大。且根據(jù)計算耗時可知,M-OAT方法計算效率較高,而Sobol方法計算效率較低。

圖3 M-OAT對G2函數(shù)計算靈敏度情況 圖4 Sobol方法對G2函數(shù)計算靈敏度情況

3 基于全局靈敏度分析的分層優(yōu)化設(shè)計

考慮到氣動優(yōu)化設(shè)計較為復雜,計算量偏大,且不需要太高的靈敏度分析精度,本文選用M-OAT方法建立分層優(yōu)化設(shè)計系統(tǒng)。具體方法如下:先利用M-OAT方法對設(shè)計變量進行靈敏度分析,再根據(jù)設(shè)計變量靈敏度大小對其進行分層,然后分別對每一層設(shè)計變量進行優(yōu)化。在對某一層設(shè)計變量進行優(yōu)化時,其余層內(nèi)的設(shè)計變量設(shè)為最優(yōu)定值,當所有層次設(shè)計變量優(yōu)化完畢之后,其最優(yōu)結(jié)果可作為一輪優(yōu)化的結(jié)果。若要充分考慮到高低靈敏度設(shè)計變量間的耦合效果,可在一輪優(yōu)化完成后,更新當前最優(yōu)解進行下一輪優(yōu)化,直到優(yōu)化收斂為止。

3.1 分層優(yōu)化設(shè)計框架

基于以上分析,本文建立的基于全局靈敏度分析的分層優(yōu)化設(shè)計系統(tǒng)把一個復雜的優(yōu)化問題簡化為n個相對簡單的子優(yōu)化問題,其框架如圖5所示:

圖5 分層優(yōu)化設(shè)計框架

3.2 翼型分層優(yōu)化設(shè)計

本節(jié)將使用分層優(yōu)化設(shè)計框架對翼型進行優(yōu)化設(shè)計,并與普通全參數(shù)優(yōu)化框架的結(jié)果進行對比,為盡量減小計算復雜程度,分層優(yōu)化框架和普通全參數(shù)框架的算法均使用普通粒子群算法,種群規(guī)模為25[8]。對RAE2822翼型進行單個設(shè)計點的減阻優(yōu)化設(shè)計。

設(shè)計狀態(tài):Ma=0.73,α=2.28°,Re=5.51×106

優(yōu)化目標為最小化翼型阻力系數(shù),約束條件為保持升力系數(shù)上下浮動2%,翼型的力矩系數(shù)不減小,翼型最大厚度及面積不減小。

約束如下:

式中，CD為阻力系數(shù)，CL0為原始升力系數(shù)，CL為升力系數(shù)，A為翼型面積，A0為原始翼型面積，t為翼型最大厚度，t0為原始翼型最大厚度，CM為力矩系數(shù)，CM0為原始翼型力矩系數(shù)。

采用CST參數(shù)化方法對翼型進行參數(shù)化,上下表面各6個控制參數(shù),即設(shè)計變量總數(shù)為12個。使用雷諾平均N-S方程進行流場計算,湍流模型選k-ωSST模型,采用結(jié)構(gòu)網(wǎng)格,并利用調(diào)用腳本文件方式自動生成網(wǎng)格。

3.2.1 靈敏度分析結(jié)果

設(shè)計變量靈敏度分析結(jié)果,如圖6所示,其中X1～X12代表翼型的12個設(shè)計變量,且以從翼型上表面到下表面,從前緣到后緣的順序。

圖6 各設(shè)計變量靈敏度分析情況

由圖6可以看出,104個樣本之后的靈敏度信息變化不大。根據(jù)靈敏度信息值可知第2～4設(shè)計變量對阻力系數(shù)的靈敏度值較大,而這幾個設(shè)計變量主要影響著激波的強弱與發(fā)展,與實際情況較為符合。綜合設(shè)計變量數(shù)及靈敏度信息,考慮對其進行2層1輪優(yōu)化,即將靈敏度最大的前5個設(shè)計變量分類為第1層,而其余7個設(shè)計變量分類為第2層,然后對第1層、第2層設(shè)計變量進行一輪優(yōu)化設(shè)計。

3.2.2 翼型優(yōu)化結(jié)果對比

根據(jù)上面的靈敏度分析結(jié)果,對RAE2822翼型進行分層優(yōu)化設(shè)計。第1層的迭代次數(shù)取為19代,CFD調(diào)用次數(shù)為500次(25+25×19=500),第2層的迭代次數(shù)取為20代,CFD調(diào)用次數(shù)為500次(25×20=500),并與迭代次數(shù)為39代的普通全參數(shù)優(yōu)化框架下的結(jié)果進行對比,如表2所示。其中Opt1和Opt2分別是第1層和第2層優(yōu)化結(jié)果,OptN是普通全參數(shù)優(yōu)化結(jié)果。

表2 普通優(yōu)化與分層優(yōu)化氣動數(shù)據(jù)對比

由表2可知,Opt1的阻力系數(shù)比OptN的稍大,而Opt2的阻力系數(shù)與OptN的結(jié)果卻非常接近,表明本文建立的分層優(yōu)化框架可以在單次優(yōu)化過程中減小設(shè)計變量數(shù)目的同時獲得相對不錯的優(yōu)化結(jié)果。圖7為分層優(yōu)化框架與普通優(yōu)化框架收斂歷史對比情況。由圖可知,分層優(yōu)化框架中第1層優(yōu)化迭代12次接近收斂,第2層優(yōu)化迭代6次接近收斂,而普通優(yōu)化需35次才接近收斂。與普通全參數(shù)優(yōu)化設(shè)計相比,分層優(yōu)化框架第1層和第2層優(yōu)化收斂速度均較快,說明將高低靈敏度設(shè)計變量分開優(yōu)化之后,可以有效減小設(shè)計變量之間的干擾,使得優(yōu)化收斂速度變快。

圖8和圖9是Opt1、Opt2和OptN的壓力系數(shù)對比,從壓力系數(shù)分布對比圖可以看出,初始翼型上表面存在一個較強的激波,經(jīng)過Opt1優(yōu)化之后,強激波得到削弱,但仍存在一個弱激波;經(jīng)過Opt2優(yōu)化之后,弱激波也得到消除;OptN通過39代的優(yōu)化后,激波同樣得到消除,Opt2與OptN相比,壓力系數(shù)差別不大。

圖7 分層優(yōu)化與普通優(yōu)化的阻力系數(shù)優(yōu)化歷程比較 圖8 Opt1與Opt2翼型壓力系數(shù)對比 圖9 Opt2與OptN翼型壓力系數(shù)對比

圖10和圖11為原始翼型與各優(yōu)化翼型對比圖。從翼型形狀來看,Opt1的變化主要體現(xiàn)在頭部有所增大,Opt2在Opt1基礎(chǔ)上減小了下表面的頭部,前加載有所增強。OptN與Opt2的翼型有所類似,都是在RAE2822基礎(chǔ)上增大頭部,下表面頭部有所減小。

圖10 Opt1與Opt2翼型對比 圖11 Opt2與OptN翼型對比

由以上分析可知,在單次優(yōu)化過程中減小了設(shè)計變量數(shù)目的情況下,分層優(yōu)化框架依然能獲得與普通全參數(shù)優(yōu)化相近的結(jié)果。并且與普通全參數(shù)優(yōu)化框架相比,分層優(yōu)化框架的第1層與第2層優(yōu)化均能在較快的速度下達到收斂結(jié)果,即說明本文建立的分層策略是有效的。由于本算例是針對翼型的優(yōu)化設(shè)計,變量數(shù)較少,因此,還需對具有更多設(shè)計變量的優(yōu)化問題進行分析驗證。

3.3 機翼分層優(yōu)化設(shè)計

為了檢驗基于全局靈敏度分析方法的分層優(yōu)化框架在擁有大量設(shè)計變量的氣動優(yōu)化設(shè)計中的特性,對機翼進行分層優(yōu)化設(shè)計,并與普通全參數(shù)優(yōu)化進行對比。本算例使用3個翼型剖面來控制整個機翼,取翼根,拐折,翼尖處為控制面,且3個初始剖面選用NACA0012翼型[9]。采用Hicks-Henne參數(shù)化方法對翼型進行參數(shù)化,上下翼面各6個參數(shù),即1個翼型剖面設(shè)計變量為12個,3個控制翼型設(shè)計變量總數(shù)為36個。并以機翼半展長、前緣后掠角、翼根弦長、拐折處弦長、拐折處展向位置、拐折處翼型扭轉(zhuǎn)角、翼尖弦長和翼尖扭轉(zhuǎn)角8個參數(shù)作為設(shè)計變量,則設(shè)計變量總數(shù)為44個。設(shè)計狀態(tài)如下:

Ma=0.78,α=3°,Re=5.89×106

約束狀態(tài)如下:

式中，troot-max為翼根最大厚度，tbreak-max為拐插處最大厚度，ttip-max為翼尖最大厚度，S為機翼面積。

使用N-S方程進行流場計算,湍流模型選k-ωSST模型,優(yōu)化算法采用粒子群算法,種群規(guī)模為30。

3.3.1 靈敏度分析結(jié)果

先使用普通的全參數(shù)優(yōu)化框架對機翼進行優(yōu)化,粒子群迭代次數(shù)取為19。首先對所有設(shè)計變量按從翼根到翼尖、從上表面到下表面、從前緣到后緣,再加上機翼半展長等8個參數(shù)的順序依次編號為1～44,使用M-OAT方法對設(shè)計變量進行靈敏度分析。分別選取180,360個樣本進行靈敏度分析,其靈敏度分析結(jié)果如圖12所示。

圖12 各設(shè)計變量靈敏度分析情況

將所有設(shè)計變量按照靈敏度值從大到小排序,綜合設(shè)計變量數(shù)目和靈敏度信息,本文考慮對其進行2層2輪優(yōu)化設(shè)計,即將靈敏度最大的前23個設(shè)計變量分類為第1層,而其余21個設(shè)計變量分類第2層,隨后對第1層、第2層設(shè)計變量進行2輪優(yōu)化設(shè)計。

3.3.2 機翼優(yōu)化結(jié)果對比與分析

根據(jù)上面的靈敏度分層結(jié)果,對機翼進行分層優(yōu)化設(shè)計。在第1輪優(yōu)化設(shè)計中,第1層與第2層的迭代次數(shù)均取為5代,在第2輪優(yōu)化設(shè)計中,第1層的迭代次數(shù)取為5代,第2層的迭代次數(shù)取為4代,則CFD總調(diào)用次數(shù)為600次,并與迭代次數(shù)為19次(CFD調(diào)用次數(shù)為600次)的普通全參數(shù)優(yōu)化框架結(jié)果進行對比,其優(yōu)化結(jié)果分別如表3和圖13所示。其中1-Opt1和1-Opt2分別是第1輪優(yōu)化中的第1層和第2層優(yōu)化結(jié)果,而2-Opt1和2-Opt2分別是第2輪優(yōu)化中的第1層和第2層優(yōu)化結(jié)果,OptN是普通全參數(shù)優(yōu)化結(jié)果,Original為原始機翼的數(shù)據(jù)。

表3 優(yōu)化前后機翼的部分氣動參數(shù)比較

圖13 分層優(yōu)化與普通優(yōu)化框架收斂歷程對比

從表3的氣動參數(shù)數(shù)據(jù)來看,經(jīng)過2輪分層優(yōu)化之后,2-Opt2的阻力系數(shù)比OptN的小,表明分層優(yōu)化框架在單次優(yōu)化過程中有效減小設(shè)計變量數(shù)目的同時,由于高低靈敏度設(shè)計變量間的信息得到共享,使得分層優(yōu)化系統(tǒng)能夠獲得較好的優(yōu)化結(jié)果。

由圖13阻力系數(shù)收斂歷程對比可知,分層優(yōu)化框架在第1輪優(yōu)化前期和第2輪優(yōu)化前期均有較快的收斂速度,說明將高低設(shè)計變量分開優(yōu)化,可以有效減小設(shè)計變量間的相互干擾,從而加快優(yōu)化收斂速度。

圖14為優(yōu)化前后機翼3個翼型控制面歸一化形狀對比圖。

圖14 3個翼型控制面歸一化形狀對比圖

通過對翼型和機翼的優(yōu)化算例分析可知,與普通的全參數(shù)優(yōu)化框架相比,本文建立的分層優(yōu)化設(shè)計系統(tǒng)在單次優(yōu)化設(shè)計過程中能有效減小設(shè)計變量數(shù)目的情況下,依然能獲得較好的優(yōu)化結(jié)果,這大大降低了優(yōu)化設(shè)計的難度。同時由于將具有不同靈敏度的設(shè)計變量進行分層優(yōu)化,可以有效減弱設(shè)計變量間的相互干擾問題,從而加快優(yōu)化收斂速度。

4 結(jié) 論

1) 針對氣動設(shè)計中遇到的具有大規(guī)模設(shè)計變量的優(yōu)化設(shè)計問題,本文建立了基于全局靈敏度分析方法的分層優(yōu)化設(shè)計系統(tǒng),與普通全參數(shù)優(yōu)化設(shè)計系統(tǒng)相比,分層優(yōu)化系統(tǒng)可以有效減少單次優(yōu)化時的設(shè)計變量數(shù)目,減少了優(yōu)化搜索難度,加快優(yōu)化收斂速度,同時獲得較好的優(yōu)化結(jié)果。對于擁有大規(guī)模設(shè)計變量優(yōu)化設(shè)計而言,本文建立的基于全局靈敏度分析方法的分層優(yōu)化設(shè)計方法是一種有效的設(shè)計手段。

2) 本文建立的分層優(yōu)化系統(tǒng)主要針對具有大規(guī)模設(shè)計變量的優(yōu)化設(shè)計問題,但由于時間、篇幅等因素限制,本文所選算例設(shè)計變量數(shù)較少,后續(xù)工作中考慮大量增加設(shè)計變量以檢驗分層優(yōu)化系統(tǒng)性能。同時,可以在引入靈敏度分析方法的同時引入代理模型,可以有效提高計算效率。

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