混沌多步控制在地月軌道轉(zhuǎn)移中的應(yīng)用

鄭越, 泮斌峰, 唐碩, 王洋

(1.西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院, 陜西 西安 710072; 2.陜西省空天飛行器設(shè)計(jì)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 陜西 西安 710072)

低能耗是地月軌道轉(zhuǎn)移中需要考慮的重要問題。航天器在地月三體系統(tǒng)的混沌區(qū)域可以不耗費(fèi)任何能量到達(dá)月球附近,但同時(shí)也導(dǎo)致地月軌道轉(zhuǎn)移耗時(shí)過長。因此,在利用混沌運(yùn)動低能量特性的同時(shí),如何有效減少軌道轉(zhuǎn)移時(shí)間是實(shí)現(xiàn)大規(guī)模、低成本探月活動的迫切需求,對我國探月工程的發(fā)展具有非常重要的意義。

目前采用混沌控制理論設(shè)計(jì)軌道的研究尚處于起步階段。Bollt等[1]通過搜索得到軌道在龐加萊截面圖上投影距離小于預(yù)定約束值的2個點(diǎn),將2點(diǎn)之間的軌跡從軌道中截?cái)?并根據(jù)截?cái)帱c(diǎn)的穩(wěn)定方向和不穩(wěn)定方向,拼接出轉(zhuǎn)移軌道。Salazar等[2]增大了約束值,縮短了轉(zhuǎn)移時(shí)間,代價(jià)是轉(zhuǎn)移過程中需要非常大的能量。Macau[3]搜索分別從地球和月球附近出發(fā)的軌道,通過找出一組在龐加萊截面圖上投影距離非常接近的投影點(diǎn),利用Bollt拼接穩(wěn)定方向與不穩(wěn)定方向的方法完成地月軌道轉(zhuǎn)移。Schroer等[4]將不穩(wěn)定周期軌道與向前-向后法相結(jié)合,實(shí)現(xiàn)地月軌道轉(zhuǎn)移。

為了減小地月轉(zhuǎn)移過程中所需要的能量,現(xiàn)有的混沌控制方法[1-4]都利用了軌道在龐加萊截面圖上的投影點(diǎn)的穩(wěn)定方向與不穩(wěn)定方向的交點(diǎn),通過迭代減小實(shí)現(xiàn)軌道拼接所需要的能量。不足之處是這些方法都要求在龐加萊截面圖中存在軌道投影位置非常接近的點(diǎn),然而采用同一軌道截?cái)郲1-2]方法或不同軌道拼接[3-4]都不易滿足上述要求。對于同一軌道截?cái)嗟姆椒?需要軌道本身存在位置接近的投影點(diǎn);而對于不同軌道拼接的方法,則需要在隨機(jī)搜索的基礎(chǔ)上找到投影點(diǎn)位置接近的點(diǎn)。此外,這種依靠投影點(diǎn)的穩(wěn)定方向與不穩(wěn)定方向交點(diǎn)的方法在兩投影點(diǎn)距離不足夠小的情況下成功率很低[5]。盡管利用周期軌道作為中間軌道[4]可以提高算法的成功率,但是需要完全依賴于周期軌道來實(shí)現(xiàn)地月軌道轉(zhuǎn)移。

針對現(xiàn)有混沌控制方法存在的依賴隨機(jī)搜索、周期軌道實(shí)現(xiàn)地月軌道轉(zhuǎn)移、成功率低等缺點(diǎn),本文提出一種混沌多步控制方法來實(shí)現(xiàn)低能地月軌道轉(zhuǎn)移。該方法在總結(jié)地月快速轉(zhuǎn)移規(guī)律的基礎(chǔ)上,采用多步控制方法以盡可能減少航天器在混沌區(qū)域滑行時(shí)間,同時(shí)利用自適應(yīng)粒子群優(yōu)化算法計(jì)算出每次對軌道進(jìn)行控制時(shí)所需要的擾動。仿真結(jié)果表明,本文提出的方法在節(jié)省轉(zhuǎn)移時(shí)間的前提下,能夠有效地實(shí)現(xiàn)低能地月軌道轉(zhuǎn)移。

1 圓形限制性三體系統(tǒng)

1.1 動力學(xué)模型

航天器在地月系統(tǒng)中的飛行軌跡通常在圓型限制性三體問題(circular restricted three-body problem,CRTBP)動力學(xué)模型中模擬,CRTBP描述了質(zhì)量可以忽略的航天器在地球和月球2個主天體的引力作用下的運(yùn)動,其中主天體繞其公共質(zhì)心做勻速圓周運(yùn)動[6-8]。歸一化地球質(zhì)量m1和月球質(zhì)量m2之和為單位質(zhì)量,則:

(1)

(2)

式中,Ω為旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的等效勢能:

(3)

設(shè)矢量r1,r2為航天器到2個主天體的距離,有:

(4)

CRTBP系統(tǒng)中,存在雅可比積分如下:

(5)

在地月三體系統(tǒng)中,單位長度為地月之間的距離,L=3.844×105km,單位時(shí)間為T=104 h,單位速度為V=1 024 m/s。

1.2 常用坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換

地月三體系統(tǒng)中常用的坐標(biāo)系有地月質(zhì)心旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系、地月質(zhì)心慣性坐標(biāo)系和地心慣性坐標(biāo)系。圖1描述了常用坐標(biāo)系之間的關(guān)系,圖1a)為地月質(zhì)心慣性坐標(biāo)系(下標(biāo)為I)與地月質(zhì)心旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系(下標(biāo)為R)之間的關(guān)系,θ為慣性坐標(biāo)系與旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的夾角;圖1b)為地月質(zhì)心慣性坐標(biāo)系(下標(biāo)為I)與地心慣性坐標(biāo)系(下標(biāo)為EI)之間的關(guān)系。

圖1 坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換

從地月質(zhì)心旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系到地月質(zhì)心慣性坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系為[9]:

(6)

(7)

(8)

(9)

所以從地月質(zhì)心旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系到地心慣性坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系為:

(10)

2 地月低能軌道轉(zhuǎn)移方法

航天器在三體系統(tǒng)下常常呈現(xiàn)混沌運(yùn)動狀態(tài),使航天器能夠在不耗能的情況下僅僅通過彈道捕獲至月球附近,但航天器在混沌區(qū)域的滑行時(shí)間也往往過長。由于混沌系統(tǒng)具有內(nèi)在敏感性[10-12],表現(xiàn)為對系統(tǒng)施加小的擾動,會使系統(tǒng)偏離固有軌跡而運(yùn)動。而混沌運(yùn)動本身具有的內(nèi)在隨機(jī)性和長期趨勢不可預(yù)見性增加了對其進(jìn)行控制的難度,所以何時(shí)以及如何施加擾動,盡可能減少航天器在混沌區(qū)域的飛行時(shí)間是實(shí)現(xiàn)低能地月軌道轉(zhuǎn)移需要解決的問題。

本文通過航天器軌跡在地月質(zhì)心旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系和地心慣性坐標(biāo)系的對比分析,找出通過月球的彈道捕獲[13-14]減少航天器在混沌區(qū)域滑行時(shí)間的規(guī)律;根據(jù)這個規(guī)律將航天器每次與月球接近的點(diǎn)作為控制點(diǎn),設(shè)計(jì)出一種通過多步控制來實(shí)現(xiàn)的地月低能軌道轉(zhuǎn)移方法;最后利用自適應(yīng)粒子群優(yōu)化算法計(jì)算每一步控制所需要的擾動。

2.1 軌跡分析

航天器能夠在不耗能的情況下僅僅通過彈道捕獲到達(dá)月球附近。航天器在地月三體系統(tǒng)下不耗費(fèi)任何能量的滑行過程可以認(rèn)為是在地球和月球共同作用下的結(jié)果,地月軌道轉(zhuǎn)移則是航天器每次靠近月球時(shí)通過月球的彈道捕獲最終滑行至月球附近的過程,而如何有效利用月球的彈道捕獲是實(shí)現(xiàn)低能地月軌道轉(zhuǎn)移首先要考慮的問題。

地月低能轉(zhuǎn)移是航天器從近地周期軌道出發(fā)飛行至近月周期軌道的過程。為了減少轉(zhuǎn)移中所消耗的能量,一般選擇雅可比能量略大于CL1=3.188 3的能量。圖2為雅可比能量C=3.179 48下的龐加萊截面圖[15],龐加萊截面圖中存在由環(huán)狀結(jié)構(gòu)組成的KAM環(huán)區(qū)域和由雜亂點(diǎn)組成的混沌區(qū)域。平動點(diǎn)L1[16]將地月系統(tǒng)分為地球引力區(qū)和月球引力區(qū),航天器在混沌區(qū)域能夠不消耗任何能量從地球引力區(qū)通過平動點(diǎn)L1滑行至月球引力區(qū)進(jìn)而到達(dá)月球附近,但同時(shí)導(dǎo)致航天器在地球引力區(qū)的混沌區(qū)域滑行時(shí)間過長。航天器在地月系統(tǒng)的地球引力區(qū)的滑行過程是一個在動力作用下遠(yuǎn)離地球,而在地球引力作用下速度逐漸變小而再向地球附近滑行的一個往復(fù)過程。分別定義初始點(diǎn)在地月連線上(離地球 距 離 遞 增, 分 別 為 0.135 106 485 040 224,

0.161 974 247 434 113,0.184 885 116 403 981),初始速度垂直上穿橫軸的一組軌道為軌道a、軌道b、軌道c。如圖3所示,圖3a)～圖3c)分別為軌道a、軌道b、軌道c在地月質(zhì)心旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系和地心慣性坐標(biāo)系下的對比圖?？梢钥闯?隨著軌道初始位置從地球附近向月球方向靠近,航天器一個往復(fù)過程的軌跡在地月質(zhì)心旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系和地心慣性坐標(biāo)系下的形狀也隨之改變?？梢园l(fā)現(xiàn),航天器遠(yuǎn)離和靠近地球的一個往復(fù)過程在慣性坐標(biāo)系下的運(yùn)行軌跡近似于一個橢圓。圖3d)為軌道a、軌道b、軌道c在地心慣性坐標(biāo)系的軌跡對比,當(dāng)航天器近地點(diǎn)離地球較近時(shí),其橢圓軌跡具有較大的偏心率,當(dāng)航天器軌跡近地點(diǎn)離地球較遠(yuǎn)時(shí),其橢圓軌跡具有較小的偏心率,而隨著橢圓軌跡偏心率增大到一定程度,航天器可以克服地球引力穿過L1瓶頸區(qū)域受月球引力作用而到達(dá)月球附近。

基于分析可知,航天器在地月系統(tǒng)滑行的過程中, 每次接近月球時(shí)受到月球的影響最大,可以改變其運(yùn)行軌跡。當(dāng)航天器所受到的影響使其飛行軌跡的近地距離減小時(shí),會造成飛行時(shí)間的增加,而當(dāng)航天器所受到的影響使其飛行軌跡的近地距離增大時(shí),航天器可能在下一次脫離地球引力而滑行至月球附近。

圖2 地月系統(tǒng)龐加萊截面圖

圖3 航天器位于不同初始值的軌道

2.2 算法流程

在對地月系統(tǒng)下航天器軌跡的分析的基礎(chǔ)上,本文設(shè)計(jì)了一種低能軌道轉(zhuǎn)移方法,其算法流程如圖4所示。

圖4 地月軌道轉(zhuǎn)移方法

該方法通過多步控制,對每次航天器接近月球時(shí)的控制點(diǎn)施加速度方向的小擾動。擾動的大小選擇在預(yù)設(shè)最大擾動范圍內(nèi),能夠在施加控制后使軌跡最優(yōu)的速度增量。判斷最優(yōu)軌跡的標(biāo)準(zhǔn)是當(dāng)航天器下一次與月球接近時(shí)如果能到達(dá)月球附近,則選擇在龐加萊截面圖上最靠近月球附近的KAM環(huán)的軌跡作為最優(yōu)軌跡;當(dāng)航天器下一次與月球接近時(shí)如果不能到達(dá)月球附近,則選擇近地點(diǎn)離地球最遠(yuǎn)的軌跡作為最優(yōu)軌跡。本文方法通過對航天器在混沌區(qū)域的軌道實(shí)施多次控制找出每次的最優(yōu)擾動量,直到軌跡可以運(yùn)行至月球附近。而航天器軌跡近地距離的增大可以使其在混沌區(qū)域的滑行時(shí)間減少,所以為了盡量減少地月低能轉(zhuǎn)移時(shí)間,本方法要求航天器到達(dá)月球附近前每次與月球接近時(shí)的近地點(diǎn)呈遞增趨勢。

2.3 擾動計(jì)算

通過每次航天器運(yùn)行軌道與月球轉(zhuǎn)動位置非常接近時(shí),施加小的擾動可以使軌道運(yùn)行狀態(tài)發(fā)生很大改變已達(dá)到減少航天器在混沌區(qū)域的滑行時(shí)間而盡快飛行至月球附近的目的,而擾動的大小可以由自適應(yīng)粒子群優(yōu)化算法(adaptive particle swarm optimization,APSO)計(jì)算得到。

粒子群優(yōu)化算法(particle swarm optimization,PSO)是一種通過觀察鳥類覓食行為啟發(fā)而得到的進(jìn)化算法[17-18]。PSO算法保留了基于種群的全局搜索策略,只是采用簡單的速度位移模式,通過對個體最優(yōu)和全局最優(yōu)的記憶使其可以動態(tài)追蹤當(dāng)前的搜索情況以調(diào)整其搜索策略,具有較強(qiáng)的全局收斂能力和魯棒性。APSO算法通過對慣性權(quán)值的自適應(yīng)調(diào)整,能夠保證粒子具有很好的全局搜索能力和較快的收斂速度。

APSO算法的流程如圖5所示。

圖5 自適應(yīng)粒子群優(yōu)化算法

設(shè)在一個S維的目標(biāo)搜索空間中,有m個粒子組成一個群體,每個粒子表示為一個n維的向量,APSO算法的2個主要操作是速度和位移方程,在粒子尋優(yōu)過程中,第i個粒子第s維向量的運(yùn)動軌跡描述如下:

(11)

式中,c1和c2為學(xué)習(xí)因子,是非負(fù)常數(shù),r1s和r2s服從[0,1]上的均勻分布的隨機(jī)數(shù),vis是粒子的速度,vis∈[vmin,vmax],vmin和vmax分別表示粒子速度的下限和上限。pis為局部最優(yōu)位置,是第i個粒子迄今為止搜索到的最優(yōu)位置,pgs為全局最優(yōu)位置,ω是慣性權(quán)值,滿足:

(12)

式中，f為粒子的適應(yīng)度值,由每個粒子的位置決定,根據(jù)適應(yīng)度值的大小衡量解的優(yōu)劣。favg為平均適應(yīng)度值,fmin為最優(yōu)適應(yīng)度值(最優(yōu)適應(yīng)度值的選擇根據(jù)具體問題調(diào)整)。最后通過每個粒子的適應(yīng)度值調(diào)整局部和全局最優(yōu)位置直到滿足終止條件。

APSO算法的終止條件根據(jù)具體問題取最大迭代次數(shù)或粒子群搜索到的最優(yōu)位置滿足的預(yù)定最小適應(yīng)閾值。本文方法利用最大迭代次數(shù),在軌道未到達(dá)月球附近時(shí),選擇導(dǎo)致軌道近地點(diǎn)離地球最遠(yuǎn)的擾動為最佳擾動,而當(dāng)軌道可以到達(dá)月球附近時(shí),選擇能夠使軌道到達(dá)離與月球附近擬周期軌道最近的擾動作為最優(yōu)擾動。

3 數(shù)值驗(yàn)證

地月軌道轉(zhuǎn)移就是對地球附近的周期軌道上的航天器施加沖量,使其飛行至月球附近,然后再對其施加沖量使其繞月飛行。在地月三體系統(tǒng)中,選擇圖2中距離地心59 669 km的圍繞著地球旋轉(zhuǎn)的周期軌道上的點(diǎn)P作為地月轉(zhuǎn)移軌道的初始點(diǎn),在雅可比能量C=7.172 18時(shí)航天器通過P點(diǎn)圍繞著地球做周期運(yùn)動(由于參數(shù)精度選擇有差異,本文所得到的周期軌道雅可比能量與文獻(xiàn)[1-4]中的C=7.173 8不一致),施加一個平行的推力使航天器進(jìn)入混沌區(qū)域。此時(shí)系統(tǒng)雅可比能量為C=3.179 48,這要求速度的改變ΔVP=748 m/s(文獻(xiàn)[1-4]中ΔVP=744.4 m/s)。如圖3所示,點(diǎn)P包圍在混沌區(qū)域內(nèi),當(dāng)軌道轉(zhuǎn)移到月球附近并距離月球附近的KAM環(huán)很近時(shí),便可以通過一個很小的推力使軌道流形進(jìn)入KAM環(huán)的邊緣而繞月運(yùn)動。

當(dāng)系統(tǒng)雅可比能量C=3.179 48,航天器在不施加外力的情況下從龐加萊截面圖上的P點(diǎn)滑行到月球附近需約27年的時(shí)間。在數(shù)年的滑行過程中,航天器并未長時(shí)間停留在月球附近,而是在月球附近飛行數(shù)圈后便很快遠(yuǎn)離。圖6為航天器在系統(tǒng)雅可比能量C=3.179 48下從P點(diǎn)自由滑行的軌跡。

圖6 P點(diǎn)出發(fā)到月球附近的軌道流形

根據(jù)圖2的龐加萊截面圖,本文計(jì)算了在不同擾動值下,從P點(diǎn)出發(fā)飛行至離月球附近KAM環(huán)極近、距離月心13 970 km的T點(diǎn)的地月轉(zhuǎn)移軌跡。設(shè)置APSO算法中的學(xué)習(xí)因子c1=c2=2, 慣性權(quán)值ωmax=0.9,ωmin=0.6。設(shè)置控制軌跡能夠到達(dá)距離T點(diǎn)的精度為0.01,則通過4 m/s的速度增量便可以使軌道流形進(jìn)入KAM環(huán)的邊緣而繞月運(yùn)動。圖7為本文方法所完成的地月軌道轉(zhuǎn)移,圖7a)～d)對控制點(diǎn)施加速度方向的擾動量的最大值分別設(shè)置為0.006 3,0.07,0.16,0.2。表1分別列出軌道轉(zhuǎn)移所需的擾動次數(shù)、轉(zhuǎn)移時(shí)間、以及軌道轉(zhuǎn)移過程中所需要的總的速度增量。

表1 地月軌道轉(zhuǎn)移的需用擾動、速度增量和飛行時(shí)間

圖7 地月轉(zhuǎn)移軌道

由仿真結(jié)果可見,擾動窗口較大時(shí),地月軌道轉(zhuǎn)移所需要的擾動次數(shù)相對較少,轉(zhuǎn)移時(shí)間較短;而擾動窗口較小時(shí),地月軌道轉(zhuǎn)移所需要的擾動次數(shù)相對較多,轉(zhuǎn)移時(shí)間也較長。文獻(xiàn)[1-4]中,所需要的轉(zhuǎn)移時(shí)間最短為284 d,所需要的速度增量為ΔV=767.8 m/s(見文獻(xiàn)[3]),本文所得到的轉(zhuǎn)移軌道均比284 d短,其中,圖7a)所需要的速度增量僅略大于文獻(xiàn)[3]在轉(zhuǎn)移過程中所需要的速度增量,在耗能較小的前提下顯著縮短了地月軌道轉(zhuǎn)移時(shí)間。

4 結(jié) 論

本文通過對航天器在地月三體模型下軌跡運(yùn)行規(guī)律的分析,利用APSO算法計(jì)算航天器每次接近月球時(shí)的擾動,通過多步控制,在有效減少航天器在混沌區(qū)域游蕩時(shí)間的基礎(chǔ)上完成地月低能軌道轉(zhuǎn)移。該方法避免了隨機(jī)大量的搜索,也不需要依靠周期軌道等中間軌道,能夠在保證用時(shí)短,耗能小的前提下得出地月轉(zhuǎn)移軌道。本文方法是通過對每次航天器與月球接近時(shí)施加擾動,通過在預(yù)先設(shè)定的擾動范圍內(nèi)找出每次施加擾動后的局部最優(yōu)軌跡,進(jìn)而在盡可能節(jié)省時(shí)間的前提下完成地月低能軌道轉(zhuǎn)移。下一步的工作是如何在綜合用時(shí)短和耗能小的前提下確定全局最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌道的標(biāo)準(zhǔn),并通過相應(yīng)的擾動值完成最優(yōu)地月軌道轉(zhuǎn)移。

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