隨機結(jié)構(gòu)TMD系統(tǒng)風(fēng)振響應(yīng)的概率密度演化分析

周全+趙卿卿

摘要：本文采用概率密度演化方法，對比了隨機結(jié)構(gòu)在無控和TMD控制時結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)和概率密度。結(jié)果表明，設(shè)置TMD后結(jié)構(gòu)的安全性與舒適性大大改善，TMD對結(jié)構(gòu)參數(shù)隨機性具有一定的容錯性。概率密度演化方法計算量小，精度高，與其他方法相比可獲得更為精細(xì)的結(jié)構(gòu)反應(yīng)概率信息。

關(guān)鍵詞：調(diào)諧阻尼器；概率密度演化法；風(fēng)振響應(yīng)；隨機結(jié)構(gòu)

0引言

工程結(jié)構(gòu)在許多方面都包含著若干不確定因素，如材料參數(shù)、邊界條件、阻尼與剛度等均存在隨機性。這些隨機因素會對結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)分析結(jié)果帶來不容忽略的影響，因此考慮結(jié)構(gòu)參數(shù)的隨機性非常重要。調(diào)諧質(zhì)量阻尼器的概念是1909年由Ormondroyd和Den Hartog首先提出（Ormondroyd J，et al，1928），最早于1977年應(yīng)用于美國244m高的Hancock大廈。調(diào)諧質(zhì)量阻尼器一般由附加慣性質(zhì)量，彈簧和阻尼元件組成，因其構(gòu)造簡單，易于安裝，維護方便，經(jīng)濟適用，且無需外部能源，有著其他減震技術(shù)無可比擬的優(yōu)點，廣泛受到科研工作者和工程界的青睞（Rohman A，1984；王肇民，1994；李春祥，1999）。

目前對TMD的研究多為TMD的優(yōu)化設(shè)計以及工程應(yīng)用，主要關(guān)注確定性結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)對比；即便考慮隨機性，也大都限于激勵的隨機性，對結(jié)構(gòu)及減震裝置的隨機性分析不多。李杰提出的隨機結(jié)構(gòu)分析的概率密度演化方法可給出結(jié)構(gòu)概率密度的時變過程，有助于深入了解結(jié)構(gòu)的隨機性（李杰等，2003；J.Li，et al，2004）。目前有關(guān)使用概率密度演化方法對結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)研究的文獻(xiàn)尚未見諸于隨機結(jié)構(gòu)TMD系統(tǒng)。本文采用線性濾波法中的自回歸模型模擬作用在結(jié)構(gòu)上的脈動風(fēng)激勵時程，將概率密度演化方法應(yīng)用于隨機結(jié)構(gòu)—TMD系統(tǒng)，并考慮結(jié)構(gòu)剛度與阻尼的隨機性，以及TMD對結(jié)構(gòu)概率密度的影響規(guī)律。

1 運動方程

脈動風(fēng)荷載作用在結(jié)構(gòu)上引起的振動，可視為是多點平穩(wěn)隨機激勵下結(jié)構(gòu)的隨機振動問題。當(dāng)結(jié)構(gòu)在任意第j層安裝一套TMD裝置，假定TMD質(zhì)量為md、剛度為kd、阻尼為Cd。結(jié)構(gòu)在風(fēng)荷載作用下的運動微分方程為： （1）

式中 為TMD對結(jié)構(gòu)的作用力，表達(dá)式為：

（2）

TMD的運動方程為： （3）

式中xd和xj分別為TMD與結(jié)構(gòu)第j層質(zhì)量相對于地面的位移。

2脈動風(fēng)模擬

線性濾波法中的自回歸模型因計算量小、速度快，廣泛用于隨機振動和時間系列分析中（胡廣書，1997；P M Mignolet，et al，1987；S H Jeong，et al，1997；J S Owen，et al，2001）。本節(jié)采用線性濾波法中的自回歸模型模擬作用在結(jié)構(gòu)上的脈動風(fēng)激勵時程。

模型階次估計方法多基于估計預(yù)測誤差功率。通常估計的預(yù)測誤差功率隨階次的增加而減小，但單純追求最小預(yù)測誤差求得的階次往往偏高，出現(xiàn)過擬合現(xiàn)象，這雖然提高了譜估計的分辨率，但會產(chǎn)生虛假譜峰，并且估計方差也會增大，同時階數(shù)過高也會增加計算量，影響運算速度；反之，如果選取的階次過低會導(dǎo)致譜估計平滑，不能達(dá)到精度要求。根據(jù)試算，本文AR模型階數(shù)取為p=5。

脈動風(fēng)荷載P的功率譜密度函數(shù)可用矩陣表示為： （4）

式中 為n×n階常量矩陣，其元素為： （5）

式中AiAj為i，j點的迎風(fēng)面積。

由于脈動風(fēng)壓均值為零，其協(xié)方差矩陣等于互相關(guān)矩陣，對R進(jìn)行Cholesky分解可得：

（6）

式中矩陣C為一下三角矩陣。

順風(fēng)向脈動風(fēng)壓向量T可表達(dá)為：

（7）

式中，u（t）為n個互不相關(guān)的高斯隨機過程組成的向量。

利用脈動風(fēng)壓乘以迎風(fēng)面積，就可以得到式（1）中的脈動風(fēng)激勵時程 P（t）。根據(jù)我國規(guī)范，一般取Davenport脈動風(fēng)速譜作為激勵譜Sij。當(dāng)已知結(jié)構(gòu)各點高度處的平均風(fēng)速Vj風(fēng)荷載體型系數(shù)Us及迎風(fēng)面積Aj后，就可以得出自荷載譜：

（8）

如果考慮各個隨機激勵之間的相關(guān)性，則引入相關(guān)系數(shù)，便可形成荷載功率譜矩陣。

3隨機結(jié)構(gòu)風(fēng)振響應(yīng)

一旦自荷載譜（8）已知，在構(gòu)造的虛擬隨機過程激勵下，可很方便得到TMD相對于結(jié)構(gòu)的位移為：

（9）

TMD相對于結(jié)構(gòu)的位移均方差為：

（10）

式中， （11）

通過求解模態(tài)響應(yīng)矢量z的協(xié)方差矩陣，可以得到結(jié)構(gòu)每一質(zhì)點的加速度響應(yīng)方差為：

（12）

即可求出加速度均方差響應(yīng)及TMD相對于第j質(zhì)量層加速度均方差 。式中L為對角元素均為1的下三角矩陣，rj第i振型參與系數(shù)；

分別為第j振型向量； 為結(jié)構(gòu)的阻尼比； 為TMD的阻尼比； μ為TMD與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量比。q為所取振型數(shù)，當(dāng)只考慮第一振型時，取q=1。

4概率密度演化方程

方程（1）及其初始條件構(gòu)成的結(jié)構(gòu)動力學(xué)正分析問題一般是適定的問題，其解存在、唯一且與隨機量有關(guān)。因此由方程（1）及其初始條件可得到結(jié)構(gòu)的位移反應(yīng)。當(dāng)求出了隨機結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)，隨機結(jié)構(gòu)反應(yīng)的概率密度演化方程

（13）

可利用確定性結(jié)構(gòu)動力分析與有限差分的TVD格式進(jìn)行數(shù)值求解，從而可以得到下式：

（14）

式中 為結(jié)構(gòu)的隨機參數(shù)，本文選取剛度和阻尼作為結(jié)構(gòu)的隨機參數(shù)， 為與 有關(guān)

（15）

式（15）是為給定 時結(jié)構(gòu)的速度反應(yīng)。根據(jù)式（13）即可給出任意時刻的概率密度函數(shù)。

同樣，可以根據(jù)下式

（16）

求解任意時刻速度反應(yīng)的概率密度函數(shù)。同理可得任意時刻加速度反應(yīng)的概率密度函數(shù)。

5仿真分析

本文選取某10層框架結(jié)構(gòu)模型作為算例，該框架結(jié)構(gòu)層高為3m，迎風(fēng)面長度是32m。結(jié)構(gòu)每層質(zhì)量為4.0×105kg，剛度為2.0×108N/m。阻尼采用Rayleigh阻尼假定，其比例常數(shù)由結(jié)構(gòu)前2階振型阻尼比（均為0.05）確定。該結(jié)構(gòu)位于某市江口，其10年的基本風(fēng)壓取0.45kN/m2，考慮結(jié)構(gòu)剛度服從正態(tài)分布，結(jié)構(gòu)自振頻率均值μf和和剛度均值μk分別為0.5319Hz和2.0×108N/m，變異系數(shù)為δ=10%。在結(jié)構(gòu)頂層設(shè)置TMD以控制結(jié)構(gòu)風(fēng)振響應(yīng)。TMD慣性質(zhì)量為md=1.3×105kg，彈簧剛度kd=1.452×106N/m，阻尼系數(shù)為cd=9.4405×104Ns/m。

圖3-4為無控和TMD控制時結(jié)構(gòu)減振效果對比圖。圖3中當(dāng)設(shè)置TMD后，結(jié)構(gòu)各層層間位移減小約1/3，首層位移從0.5764mm減至0.3567mm。圖4中設(shè)置TMD后結(jié)構(gòu)各層的最大加速度反應(yīng)從三角形分布變?yōu)榻凭匦畏植?，結(jié)構(gòu)頂層的加速度反應(yīng)降低了56.4%。設(shè)置TMD后結(jié)構(gòu)的動力反應(yīng)減小明顯。

計算隨機結(jié)構(gòu)的概率密度時須對隨機源選擇有代表性的離散點。本文根據(jù) 法則，即在均值左右兩側(cè) 范圍內(nèi)等間距選取15個點，試算表明計算的概率密度選點曲線與理論曲線基本吻合，理論上涵蓋了98.76%的隨機源概率密度，具有很高的精度，從而可作為下文數(shù)值計算的代表點。為了檢驗概率密度演化分析方法的有效性，本文還采用Monte Carlo法作為對比。由兩種方法得到的無控和TMD控制時結(jié)構(gòu)首層位移和頂層加速度的最大響應(yīng)均值對比見表1，其相應(yīng)的響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差時程對比見圖5-6。

表1和圖6～7表明，使用概率密度演化方法得到的結(jié)構(gòu)最大響應(yīng)均值和Monte Carlo模擬的結(jié)果非常接近，這表明概率密度演化方法具有很高的計算精度。此外，Monte Carlo模擬需要計算時長94s，而概率密度演化模擬僅需8s，這充分體現(xiàn)了概率密度演化方法的高效性。

圖7-8反映了隨機結(jié)構(gòu)無控和TMD控制時其響應(yīng)的概率密度對比。從圖中可以看出無控時概率密度曲線分布較寬，概率密度較小，結(jié)構(gòu)在風(fēng)載激勵下的安全性也因此降低；而TMD控制下結(jié)構(gòu)反應(yīng)的概率密度曲線分布較窄，概率密度較大，這表明TMD的減振效果明顯。圖9中在結(jié)構(gòu)自振頻率隨機的情況下，TMD控制時結(jié)構(gòu)隨機位移響應(yīng)最大值落在均值響應(yīng)附近的概率較無控時大為增加，隨機結(jié)構(gòu)反應(yīng)呈現(xiàn)典型的概率密度演化性質(zhì)。雖然在本例中假定結(jié)構(gòu)的隨機參數(shù)符合正態(tài)分布，但是結(jié)構(gòu)反應(yīng)的概率密度曲線與正態(tài)分布相去甚遠(yuǎn)，無控時多峰現(xiàn)象比較嚴(yán)重，這表明無控時概率密度演化比較頻繁。

從圖10-13可以看出，當(dāng)結(jié)構(gòu)具有隨機剛度與隨機阻尼參數(shù)時的位移響應(yīng)極值概率密度曲線是一樣的，這也驗證了采用Rayleigh阻尼假定時，結(jié)構(gòu)阻尼隨機和剛度隨機時結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)具有同樣的統(tǒng)計規(guī)律， TMD控制下結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)均值有一定程度減小，但并不明顯，這體現(xiàn)了TMD對結(jié)構(gòu)參數(shù)隨機具有一定的容錯性能。

對比圖8和圖10、12可看出，當(dāng)結(jié)構(gòu)自振頻率隨機時，其概率密度函數(shù)曲線較結(jié)構(gòu)自振剛度隨機時變得窄和尖，因而此時結(jié)構(gòu)頂層的最大加速度響應(yīng)落在均值加速度響應(yīng)的概率增加，這也證明，TMD對于結(jié)構(gòu)自振頻率的敏感度比對結(jié)構(gòu)剛度的敏感度要低，因此在實際設(shè)計TMD的時候應(yīng)該嚴(yán)格控制結(jié)構(gòu)主體在施工中出現(xiàn)的剛度變化。

6結(jié)論

本文采用概率密度演化方法，對隨機結(jié)構(gòu)TMD系統(tǒng)在隨機脈動風(fēng)荷載下的動力響應(yīng)進(jìn)行了研究，并與Monte Carlo方法作了對比，得出如下結(jié)論：由于結(jié)構(gòu)的隨機性以及TMD只能較好控制某一具有特定參數(shù)的結(jié)構(gòu)，所以在結(jié)構(gòu)設(shè)計中，TMD參數(shù)選取很重要；TMD對結(jié)構(gòu)參數(shù)隨機具有一定的容錯性能，為以后TMD應(yīng)用范圍拓展提供了理論支持；與Monte Carlo方法相比，概率密度演化方法計算量小，精度高，可獲得更為精細(xì)的反應(yīng)概率信息，為后續(xù)基于可靠性理論進(jìn)行TMD優(yōu)化設(shè)計提供了一個快速實現(xiàn)的方法，這在實際工程應(yīng)用中具有很重要的意義。

參考文獻(xiàn)：

（1）王肇民.電視塔結(jié)構(gòu)TMD風(fēng)振控制研究與設(shè)計[J].建筑結(jié)構(gòu)學(xué)報，1994，15（5）：2-13.

（2）李春祥.地震作用下高層建筑TMD控制研究與設(shè)計[J].上海交通大學(xué)學(xué)報，1999，33（5）：746-749.

（3）李杰，陳建兵.隨機結(jié)構(gòu)動力反應(yīng)分析的概率密度演化方法[J]. 力學(xué)學(xué)報，2003，35（4）：437-442.

（4）胡廣書.數(shù)字信號處理—理論、算法與實現(xiàn)[M].北京：清華大學(xué)出版社，1997.