基于微分控制策略的快速粒子群優(yōu)化算法

樊呂彬,劉亞紅,張 瑋

(太原理工大學(xué) 化學(xué)化工學(xué)院,太原 030024)

0 概述

粒子群優(yōu)化(Particle Swarm Optimization,PSO)算法是一種基于種群全局隨機(jī)搜索策略的智能進(jìn)化算法[1]。相比于其他智能算法,粒子群優(yōu)化算法在解決多目標(biāo)優(yōu)化、動態(tài)尋優(yōu)等問題上,具有結(jié)構(gòu)簡單、易編程實(shí)現(xiàn)等特點(diǎn),被廣泛應(yīng)用于函數(shù)優(yōu)化、資源配置、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練和路徑選擇等多個領(lǐng)域。

為提高粒子群優(yōu)化算法種群在進(jìn)化后期的多樣性,避免尋優(yōu)過程陷入局部最優(yōu),克服早熟收斂,相關(guān)學(xué)者提出了多種改進(jìn)方法,按照改進(jìn)機(jī)制的不同主要是在參數(shù)設(shè)置[2]、學(xué)習(xí)機(jī)制[3]和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)[4]等3個方面。

相應(yīng)的改進(jìn)算法在避免陷入局部最優(yōu)上取得了較好的效果,但對于加快算法的尋優(yōu)速度、提高優(yōu)化效率,則需要考慮研究算法本身的特性進(jìn)而找到改進(jìn)策略。比例-積分-微分(Proportional-Integral-Derivative,PID)控制是目前最常用的控制策略,已大量應(yīng)用于各種控制問題。受PID控制的啟發(fā),文獻(xiàn)[5]認(rèn)為PSO是一種有2個輸入和1個輸出的反饋控制系統(tǒng),通過在粒子群優(yōu)化算法中引入加速度項(xiàng),使算法進(jìn)化行為呈現(xiàn)三階系統(tǒng)特性,增加種群產(chǎn)生的多樣性;文獻(xiàn)[6]針對PIDPSO引入加速度項(xiàng)后可選參數(shù)多的問題,為提高算法的計算效率,使參數(shù)隨著進(jìn)化代數(shù)而變化,提出了一種自適應(yīng)PID粒子群算法;文獻(xiàn)[7]提出了一種增量型PID控制器PSO(IPID-PSO),通過對粒子軌跡特性的分析,經(jīng)過變換后將粒子群速度更新機(jī)制解釋為一個增量型PID控制過程。

本文受前人工作的啟發(fā),研究種群尋優(yōu)過程的運(yùn)行機(jī)制,推導(dǎo)出PSO近似于一種比例-積分(Proportional-Integral,PI)控制,而由于其固有積分屬性的存在,使算法收斂速度變慢。為使種群在尋優(yōu)過程中快速向最優(yōu)位置搜索,減少與全局最優(yōu)值之間的偏差,避免尋優(yōu)過程振蕩,通過添加微分項(xiàng),提出微分控制的改進(jìn)策略,利用該策略加快標(biāo)準(zhǔn)粒子群及其改進(jìn)算法的收斂速度,改善搜索特性,提高尋優(yōu)效率。

1 粒子群算法速度軌跡分析

在標(biāo)準(zhǔn)PSO中,整個種群隨機(jī)初始化m個粒子,每個粒子根據(jù)其速度和位置的不同,隨機(jī)分配一個速度向量vi(t)和位置向量xi(t)。粒子在多維空間的飛行過程中逐代搜索最優(yōu)解,其中每個粒子都是潛在解。粒子根據(jù)其自身和整個種群所經(jīng)過的最好適應(yīng)度值的位置確定下一次飛行的速度和方向,個體所經(jīng)過的適應(yīng)度最好位置稱為個體最優(yōu)點(diǎn)pbest,種群經(jīng)過的適應(yīng)度最好的位置稱為全局最優(yōu)點(diǎn)gbest。種群根據(jù)個體最優(yōu)點(diǎn)和全局最優(yōu)點(diǎn)進(jìn)行逐代進(jìn)化,其速度更新公式為:

vi,d(t+1)=wvi,d(t)+c1r1(pbesti,d-xi,d(t))+

c2r2(gbestd-xi,d(t))

(1)

種群位置更新公式為:

xi,d(t+1)=xi,d(t)+vi,d(t+1)

(2)

其中,w稱為慣性權(quán)重,表示對上一代速度的慣性繼承。c1和c2為常數(shù),分別稱為個體和社會加速因子,用以調(diào)節(jié)迭代步長。r1和r2為取值在[0,1]之間服從均勻分布的隨機(jī)數(shù)。

2 粒子群優(yōu)化算法的控制策略分析及改進(jìn)

2.1 粒子群算法控制策略分析

在標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法中,加速因子c1和c2可以平衡種群在進(jìn)化過程中的全局勘探和局部探索能力,通常取c1=c2=c,則由式(1)得:

(3)

其中,a1為取值在[0,1]之間的隨機(jī)數(shù),a為取值在[0,2]之間的隨機(jī)數(shù)。

令B(t)=a1pi(t)+(1-a1)pg(t),則B(t)為個體最優(yōu)值位置與全局最優(yōu)值位置的矢量和,將其代入式(3)可得:

v(t+1)=wv(t)+ca{B(t)-x(t)}

(4)

根據(jù)控制策略理論,將粒子群優(yōu)化算法視為反饋控制系統(tǒng),把種群個體作為控制對象,B(t)位置為給定值,個體位置x(t)為測量值,則其反饋控制的系統(tǒng)偏差為e(t)=B(t)-x(t),通過負(fù)反饋調(diào)節(jié),使粒子的當(dāng)前位置向最優(yōu)粒子靠近。

首先假設(shè)每次迭代時最優(yōu)粒子位置B(t)固定,將式(4)帶入式(2)中得:

x(t+1)=x(t)+wv(t)+ca{B(t)-x(t)}

(5)

Ex(t+1)-Ex(t)=wEv(t)+c(B′-Ex(t))

(6)

利用式(6)的遞推關(guān)系可得:

(7)

根據(jù)偏差e(t)的定義將上式整理為:

x(1)-wx(0)-(1-w)B′

(8)

則其速度期望為:

(9)

式(9)通過與PID控制策略的位置型表達(dá)式(10)[8]相類比,可得粒子群優(yōu)化算法的速度更新機(jī)制為比例-積分(Proportional-Integral,PI)控制。

(10)

其中,比例項(xiàng)為Kp=1-w,積分項(xiàng)Ki=c,速度初值為x(1)-wx(0)-(1-w)B′。因此可以將標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法視為一種比例-積分(PI)控制策略。

2.2 微分項(xiàng)粒子群算法控制策略

文獻(xiàn)[9]認(rèn)為不同的系統(tǒng)性能參數(shù)會使粒子群算法的尋優(yōu)過程呈現(xiàn)出不同性能:超調(diào)量越大則種群將會在更大搜索空間中尋優(yōu),算法具有更強(qiáng)的探測能力;衰減比越大,則種群將以更快的速度靠近最優(yōu)值位置,但會減弱粒子群的搜索能力,不利于跳出局部最優(yōu)。

根據(jù)偏差的比例(P)、積分(I)、微分(D)進(jìn)行控制,是控制系統(tǒng)中應(yīng)用最為廣泛的一種控制規(guī)律。經(jīng)過上節(jié)分析可知,粒子群優(yōu)化算法的尋優(yōu)過程為比例-積分(PI)控制。若在粒子群優(yōu)化算法中加入微分控制項(xiàng),則:

1)微分控制項(xiàng)會減小超調(diào)量和衰減比,克服系統(tǒng)振蕩,使響應(yīng)過程更加柔和,提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

2)微分控制能夠加快系統(tǒng)的響應(yīng)速度,減小調(diào)整時間,使得系統(tǒng)響應(yīng)快速趨于穩(wěn)態(tài)。

離散化的微分項(xiàng)位置型控制算式為:

D(t)=Kd(e(t)-e(t-1))

(11)

離散控制算式有位置型和增量型2種。位置型控制算式會使偏差逐代累積,同時占用較多的數(shù)據(jù)儲存單元,不利于計算機(jī)運(yùn)算。因此,將微分項(xiàng)的位置型控制算式相減可得增量型控制算式:

ΔD(t)=D(t)-D(t-1)=

Kd(e(t)-e(t-1))-Kd(e(t-1)-e(t-2))=

Kd{(B(t)-x(t))-2(B(t-1)-x(t-1))+

(B(t-2)-x(t-2))

(12)

將上式帶入標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法的速度迭代方程,可得帶微分控制項(xiàng)的速度迭代方程:

(13)

由于在進(jìn)化過程中通過對標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法引入微分項(xiàng),利用微分控制策略對最優(yōu)位置的偏差進(jìn)行反饋調(diào)節(jié),因此同樣可將微分環(huán)節(jié)引入到改進(jìn)粒子群算法中。

通過將微分控制項(xiàng)引入標(biāo)準(zhǔn)粒子群優(yōu)化(Standard SPO,SPSO)算法及全信息粒子群(Full Information Particle Swarm,FIPS)算法[10],分別可得其改進(jìn)算法D-SPSO和D-FIPS的速度迭代方程。

D-SPSO算法速度迭代方程為:

vi,d(t+1)=wvi,d(t)+c1r1(pbesti,d-xi,d(t))+

c2r2(gbestd-xi,d(t))+ΔDi

(14)

D-FIPS算法速度迭代方程為:

vi,d(t+1)=wvi,d(t)+ck(FIPS(t)-xi,d(t))+ΔDi

(15)

其中,B=FIPS(t)。

2.3 軌跡特性分析

由于粒子群算法在解空間中進(jìn)行隨機(jī)搜索,因此搜索軌跡的穩(wěn)定性是衡量其性能的重要指標(biāo)[11],以改進(jìn)算法D-SPSO為例對其搜索軌跡的收斂性進(jìn)行證明。

定理參數(shù)w、c1+c2和Kd滿足條件式(16)時,D-SPSO算法是穩(wěn)定收斂的。

(16)

證明:通過進(jìn)化方程可以看出,粒子在每一維的更新都是相互獨(dú)立的,且由于各粒子是隨機(jī)生成,因此可以將算法設(shè)為一維情況進(jìn)行處理,其結(jié)果同樣適用于其他粒子。根據(jù)降維簡化,將式(14)帶入式(2),得到如下離散型迭代公式:

xt+3+(c1r1+c2r2-1-w+Kd)xt+2+(w-2Kd)xt+1+

Kdxt-c1r1pbest(t)-c2r2gbest(t)=0

(17)

(18)

根據(jù)Z變換平移定理[13]對式(18)進(jìn)行變換操作,經(jīng)整理后如下:

(z3+T1z2+T2z+T3)Ex(z)=S

(19)

z2[x(1)+T1x(0)]+z[x(2)+T1x(1)+T2x(0)]

Au3+Bu2+Cu+D=S

(20)

其中,A=1+T1+T2+T3,B=3+T1-T2-3T3,C=3-T1-T2+3T3,D=1-T1+T2-T3。

由式(20)可以得出,其特征方程為:

Au3+Bu2+Cu+D=0

(21)

離散系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù):在勞斯陣列表第1列元素均大于0,且特征方程各系數(shù)均取正值時,系統(tǒng)趨于穩(wěn)定。

根據(jù)離散系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)可得,若要使系統(tǒng)趨于穩(wěn)定,則特征方程式(21)應(yīng)滿足下式:

(22)

即當(dāng)參數(shù)w、c1+c2和Kd滿足條件式(22)時,每個粒子的尋優(yōu)軌跡收斂,種群尋優(yōu)過程趨于穩(wěn)定。證畢。

2.4 算法流程

微分控制策略標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法D-SPSO的執(zhí)行流程如圖1所示。

圖1 D-SPSO算法流程

微分控制策略全信息粒子群算法D-FIPS的執(zhí)行步驟如下:

步驟1初始化種群,隨機(jī)生成種群中各粒子位置和速度,并設(shè)置各參數(shù)值。

步驟2計算種群中每個粒子適應(yīng)度值。

步驟3更新種群個體最優(yōu)點(diǎn)pbest及個體最優(yōu)值pbestval。

步驟4更新種群各鄰域中的全信息系數(shù)ck及全信息粒子FIPS[10]。

步驟5根據(jù)式(12)和式(15)計算微分控制項(xiàng)的增量型控制算式ΔD。

步驟6按照式(15)和式(2)對種群速度和位置進(jìn)行更新。

步驟7判斷是否達(dá)到終止條件,若滿足,則停止迭代,輸出最優(yōu)值;否則,迭代次數(shù)t=t+1,并轉(zhuǎn)至步驟2。

3 實(shí)驗(yàn)仿真及性能分析

3.1 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為了驗(yàn)證微分控制策略的有效性,分別利用標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法SPSO和改進(jìn)算法FIPS進(jìn)行實(shí)驗(yàn),并選取7個經(jīng)典測試函數(shù),通過仿真實(shí)驗(yàn)分析其性能。測試函數(shù)的尋優(yōu)范圍、極值和目標(biāo)精度如表1所示。

表1 經(jīng)典測試函數(shù)

Sphere為單模態(tài)二次函數(shù),在定義域中只有全局極小值點(diǎn)沒有局部極小值點(diǎn),是評價算法收斂精度的經(jīng)典函數(shù);Rosenbrock為非凸、病態(tài)單峰函數(shù),最優(yōu)點(diǎn)不在空間中心,算法很難辨別搜索方向;Griewank為劇烈震蕩的多峰函數(shù),其局部極小值隨維數(shù)不斷增加,在低維空間更難尋優(yōu);Ackely為具有大量局部最優(yōu)點(diǎn)的多峰函數(shù),全局最優(yōu)解位于一個狹窄區(qū)域,多峰函數(shù)常用以評價算法跳出局部最優(yōu)的性能。

在實(shí)驗(yàn)過程中,每組實(shí)驗(yàn)獨(dú)立運(yùn)行30次,種群經(jīng)過5 000次迭代后停止運(yùn)行,即達(dá)到2.5E+05次函數(shù)計算次數(shù)(FE)時終止運(yùn)算。種群規(guī)模設(shè)為50,在30維空間內(nèi)進(jìn)行尋優(yōu),粒子的最大尋優(yōu)速度Vmax通常設(shè)置為尋優(yōu)范圍的0.1倍。慣性權(quán)重w采用文獻(xiàn)[14]提出的線性遞減慣性權(quán)重策略,以平衡進(jìn)化過程中的局部和全局搜索能力。

根據(jù)軌跡穩(wěn)定性分析可得:當(dāng)參數(shù)w、c1+c2取值為表2中時,Kd取值為[0,0.2]。分別對微分控制策略的Kd采用階躍值和固定值,采用階躍值時,前期較大的Kd有助于增加微分控制的作用,減小系統(tǒng)的超調(diào)量,加快收斂速度;后期采用較小的Kd,突出積分項(xiàng)的影響,增加種群的多樣性,同時進(jìn)行精細(xì)搜索提高精度,從而在整個過程中提高尋優(yōu)效率。各算法的參數(shù)設(shè)置如表2所示。

表2 各算法及參數(shù)設(shè)置

3.2 算法性能分析

3.2.1 優(yōu)化精度分析

從表3中的尋優(yōu)結(jié)果來看,相比于標(biāo)準(zhǔn)SPSO,D-SPSO1和D-SPSO2算法對各個函數(shù)的適應(yīng)度均值都有提高,表明在相同的計算次數(shù)下,D-SPSO具有更高的計算效率。其中,Mean表示在經(jīng)過2.5E+05次函數(shù)計算后,所得到的平均適應(yīng)度值,Std表示2.5E+05次函數(shù)計算后的標(biāo)準(zhǔn)差,Min表示迭代達(dá)到終止條件時,函數(shù)所得到的最小適應(yīng)度值,Imp表示改進(jìn)算法的平均適應(yīng)度值提升程度。在方差方面,D-SPSO對函數(shù)F1、F2、F4、F7取得的性能上的提高,有助于提高算法的穩(wěn)定性。同樣對于改進(jìn)算法FIPS,如表4所示,D-FIPS1和D-FIPS2算法對函數(shù)F1、F3、F5、F7的適應(yīng)度均值都有較大提高,且方差優(yōu)于FIPS,可見微分控制策略不但提高了計算效率也增強(qiáng)了算法的穩(wěn)定性。

表3 測試函數(shù)仿真結(jié)果1

表4 測試函數(shù)仿真結(jié)果2

為便于比較微分策略對粒子群改進(jìn)算法的性能提高程度,通過適應(yīng)度均值[15]研究其性能的提升:

(23)

若微分控制改進(jìn)粒子群算法得到的適應(yīng)度均值更小,則Imp為正值,否則其為負(fù)值。

由表3、表4可以看出,D-SPSO和D-FIPS對原算法的平均適應(yīng)度均有提高,其中,D-SPSO對函數(shù)F1、F2、F4、F5和F7的提高均在30%左右;D-FIPS對函數(shù)F1、F3、F5和F7取得了近似于100%的改進(jìn)效果。對于改進(jìn)算法較難優(yōu)化的多峰函數(shù)和旋轉(zhuǎn)與偏移函數(shù),D-SPSO和D-FIPS取得了較好的平均適應(yīng)度提升度。同時根據(jù)平均提升度可以看出,在Kd采用階躍值時,對于優(yōu)化性能的提升度要高于采用固定值,說明在不同時期微分控制作用的強(qiáng)弱,對粒子群算法性能的改進(jìn)具有明顯的影響。

3.2.2 算法復(fù)雜度及平均計算次數(shù)分析

算法復(fù)雜度[16]是評估算法性能的一個重要指標(biāo),決定了算法的尋優(yōu)速度和優(yōu)化效率。以標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法SPSO為例,設(shè)求解問題的維數(shù)為D,種群規(guī)模為N,最大迭代次數(shù)為T。在每次進(jìn)化過程中,算法主要的計算量包括粒子個體最優(yōu)位置更新與全局最優(yōu)位置更新兩部分,在引入微分控制策略后,由于位置B(t)為pbest和gbest的矢量和,其更新由后者位置更新來確定。最復(fù)雜情況下最大計算時間復(fù)雜度為T×O(N×D),保留最優(yōu)個體的存儲空間復(fù)雜度為O(N×D),所以該算法的最大復(fù)雜度:

O(T,N,D)=T×O(N×D)+O(N×D)

(24)

由式(24)可以得到,相對于基本粒子群算法,在引入微分項(xiàng)后,微分策略的粒子群算法并沒有明顯地增加算法的復(fù)雜度。

圖2和圖3為各算法在經(jīng)過30次實(shí)驗(yàn)仿真后所需的平均計算次數(shù),其中函數(shù)計算次數(shù)(FE)反映了各算法在尋優(yōu)過程中調(diào)用測試函數(shù)的次數(shù)。從圖中可以看出:對各測試函數(shù),SPSO和FIPS算法的時間復(fù)雜度均最大,在引入微分策略后,使D-SPSO和D-FIPS算法達(dá)到尋優(yōu)要求時的函數(shù)計算次數(shù)最少,加快了尋優(yōu)速度。

圖2 SPSO與D-SPSO測試函數(shù)平均計算次數(shù)

圖3 FIPS與D-FIPS測試函數(shù)平均計算次數(shù)

3.2.3 優(yōu)化成功率分析

表5、表6記錄了各算法的函數(shù)計算次數(shù)和收斂成功率。其中,Fe表示算法在固定函數(shù)迭代次數(shù)內(nèi)滿足閾值所需的平均函數(shù)計算次數(shù),反映了收斂速度的快慢,SR表示算法成功收斂試驗(yàn)次數(shù)占總試驗(yàn)次數(shù)的比例。算法SPSO、D-SPSO1和D-SPSO2的平均函數(shù)計算次數(shù)分別為116 745、19 466和73 826,平均收斂成功率分別為76.19%、84.76%和80.48%。算法FIPS、D-FIPS1和D-FIPS2的平均函數(shù)計算次數(shù)分別為127 772、24 210和81 170,平均收斂成功率均為100%。證明D-SPSO和D-FIPS不僅能以很少的函數(shù)計算次數(shù)達(dá)到尋優(yōu)精度要求,同時也能取得較高的成功率,說明微分控制策略不僅提高了優(yōu)化速度也能夠避免陷入局部最優(yōu),具有良好的優(yōu)化效率。

表5 仿真所需函數(shù)計算次數(shù)及成功率1

表6 仿真所需函數(shù)計算次數(shù)及成功率2

3.2.4 優(yōu)化過程曲線

為了更加直觀地反映各算法的搜索特性,對SPSO和FIPS分別選擇不同的測試函數(shù),與相應(yīng)的微分控制策略改進(jìn)算法進(jìn)行比較。從圖4～圖7可以看出,微分策略在保證足夠的尋優(yōu)精度條件下,能夠加快種群尋優(yōu)速度,提高優(yōu)化效率,同時對于采用不同Kd的微分策略,在不同時期微分作用的強(qiáng)弱對取得不同的進(jìn)化速度有明顯差異。

圖4 Sphere函數(shù)收斂曲線

圖5 ShiftedRosenbrock函數(shù)收斂曲線

圖6 Ackley函數(shù)收斂曲線

圖7 RotatedGriewank函數(shù)收斂曲線

4 結(jié)束語

本文通過對粒子群優(yōu)化算法進(jìn)行軌跡分析,認(rèn)為其搜索過程為比例-積分(PI)控制策略,通過在標(biāo)準(zhǔn)粒子群及其改進(jìn)算法中引入微分項(xiàng),提出微分控制策略的快速粒子群算法。通過對D-SPSO和D-FIPS進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)對比,認(rèn)為微分控制策略的改進(jìn)算法在解決大多數(shù)測試函數(shù)時能達(dá)到預(yù)設(shè)尋優(yōu)精度,并且其函數(shù)計算次數(shù)少、尋優(yōu)速度快。證明了引入該策略的改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法在解決進(jìn)化過程中出現(xiàn)的尋優(yōu)效率低和尋優(yōu)速度慢的問題上,取得了良好的效果,而且該策略不僅適用標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法,對于改進(jìn)優(yōu)化算法也有較好的效果,對大多數(shù)粒子群算法都具有適用性,具有良好的應(yīng)用拓展性。

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