采用波動(dòng)法研究有限板振動(dòng)功率流

漆瓊芳，張 苗，蔣士亮

（武漢第二船舶設(shè)計(jì)研究所，武漢 430064）

目前波動(dòng)法廣泛用于分析半無限尺寸結(jié)構(gòu)的振動(dòng)波傳遞特性，對有限尺寸結(jié)構(gòu)，波動(dòng)法研究對象一般為L型板等兩板耦合結(jié)構(gòu)，而對成任意角度連接的有限尺寸板以及十字型有限板的研究較為不足。船體結(jié)構(gòu)的基座與船底板等連接結(jié)構(gòu)含有十字型結(jié)構(gòu)，研究振動(dòng)波在耦合處的傳遞特性，可為船舶減振降噪聲學(xué)設(shè)計(jì)提供指導(dǎo)。

Cuschieri J M等采用導(dǎo)納功率流法研究厚、薄L型耦合有限板的功率流，彎曲波數(shù)與板厚的乘積小于0.1時(shí)，面內(nèi)振動(dòng)在低頻時(shí)對振動(dòng)能量貢獻(xiàn)很小[1–2]。Kessissoglou等采用波動(dòng)法研究有限尺寸L型板的面內(nèi)波功率流和彎曲波功率流，結(jié)果表明，當(dāng)板成不同角度連接時(shí)，會(huì)產(chǎn)生面內(nèi)波與彎曲波的波型轉(zhuǎn)化[3–4]。趙芝梅等建立L型板的波動(dòng)法耦合運(yùn)動(dòng)模型，研究力和力矩的共同作用對彎曲波和面內(nèi)波的影響，將劃分的子結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)展開，在連接線處，將點(diǎn)激勵(lì)展開成正弦分布的線力[5–6]。薛開等對四邊簡支板矩形厚板進(jìn)行功率流研究，根據(jù)功率流分布圖研究振動(dòng)能量傳遞特性[7]。劉敬喜等采用波動(dòng)法研究圓柱殼的功率流，根據(jù)面內(nèi)波功率流和彎曲波功率流所占比例，研究彎曲振動(dòng)和面內(nèi)振動(dòng)[8]。劉春川等采用波動(dòng)法研究L型板和箱型結(jié)構(gòu)的振動(dòng)功率流，根據(jù)主動(dòng)功率流和被動(dòng)功率流進(jìn)行主動(dòng)控制[9–12]。

本文將十字型板離散成子結(jié)構(gòu)，離散每個(gè)子結(jié)構(gòu)的彎曲波與面內(nèi)波波幅系數(shù)，組裝每個(gè)子結(jié)構(gòu)的位移和力向量，采用波動(dòng)法推導(dǎo)十字型耦合薄板的振動(dòng)響應(yīng)公式，得到連接處的平衡方程，并進(jìn)行MATLAB編程計(jì)算十字型板的彎曲波功率流和面內(nèi)波功率流。對比波動(dòng)法與有限元法結(jié)果，驗(yàn)證波動(dòng)MATLAB程序的收斂性與有效性。分析連接角、激勵(lì)角等對彎曲波和面內(nèi)功率流的影響。

1 波動(dòng)法模型

如圖1，建立波動(dòng)法力學(xué)模型，在點(diǎn)力處與板連接處將十字型板離散成5個(gè)離散板，每個(gè)離散板ij建立一個(gè)坐標(biāo)系xij、yij、zij，全局坐標(biāo)系為XYZ，每個(gè)離散坐標(biāo)系均包含力項(xiàng)和位移項(xiàng)。

圖1 十字型板的波動(dòng)法力學(xué)模型

對邊簡支矩形板，Poisson-Kirchhoff板的彎曲振動(dòng)控制微分方程

面內(nèi)振動(dòng)

式中w是橫向位移，u是軸向位移，v是y向位移，φx是繞y軸轉(zhuǎn)角。E是彈性模量，h為板厚，μ是泊松比，F(xiàn)(x,y,t)是外部點(diǎn)力激勵(lì)，D=Eh3/[12(1-μ2)]是彎曲剛度，分離薄板的面內(nèi)振動(dòng)和面外振動(dòng)，方程左右兩邊省略eiωt。

離散板01的面內(nèi)振動(dòng)

離散板12面內(nèi)振動(dòng)

離散板01、12的彎曲運(yùn)動(dòng)解依次為

離散板23、34、35的力與位移表達(dá)式與離散板12類似，不再贅述。其中，n是模態(tài)數(shù)，ky=mπ/Ly是y方向波數(shù)。kL是縱向波數(shù)，kS是剪切波數(shù)，kp是彎曲波數(shù)，是行進(jìn)波數(shù)。衰減波數(shù)。是平面波動(dòng)解的特征值。Ai(i=1,2,3…4m)是彎曲波波幅系數(shù)，Bi(i=1,2,3…4m)是面內(nèi)波波幅系數(shù)，m是離散板數(shù)。

力和力矩與位移表達(dá)式

其中Mxx是彎矩，Mxy是扭矩，Nxx面內(nèi)縱向力，Nxy是剪切力，Vx法向純剪力，耦合力和耦合力矩的方向見圖1。

若板01左端固定

若板01右端有外界點(diǎn)激勵(lì)作用

外界點(diǎn)力激勵(lì)等效成線激勵(lì)級(jí)數(shù)疊加

其中F0是激勵(lì)力幅值，x0是激勵(lì)點(diǎn)橫向局部坐標(biāo)，

若板01與板12線連續(xù)性

連接線2、3、4、5與連接線0的形式一致，不再贅述。與邊界對于十字型板結(jié)構(gòu)，組裝每個(gè)離散板的平衡方程，統(tǒng)一寫成

其中α是十字型板的整體平衡方程組成的矩陣，X是離散板的彎曲波和面內(nèi)波的波幅系數(shù)矩陣的一般形式，F(xiàn)線連接處的外載荷矩陣。振動(dòng)功率流表示單位時(shí)間流過垂直于波傳播方向的單位面積的振動(dòng)能量，波動(dòng)法采用功率流來度量振動(dòng)傳遞能量，波動(dòng)法的彎曲波功率流和面內(nèi)波功率流分別為

其中?表示共軛復(fù)數(shù)，Pin是輸入功率流，Pb是彎曲波功率流，Pm是面內(nèi)波功率流。

2 有效性驗(yàn)證

2.1 波動(dòng)法解析解的收斂性驗(yàn)證

根據(jù)波動(dòng)法推導(dǎo)的十字型板耦合方程，采用MATLAB編程，計(jì)算模型響應(yīng)，輸入?yún)?shù)包括離散板長、板寬及材料屬性等。本模型的泊松比μ=0.3，材料密度ρ=7850kg/m3。彈性模量E=2.06×1011Pa ，復(fù)彈性模量Ep=E(1+jη)，損耗因子η=0.01。載荷F=F0eiωt，載荷幅值F0=1 N。對于十字型板結(jié)構(gòu)，取5個(gè)離散板，板長均取0.4 m，板寬均為0.6 m，板厚h=12 mm ，連接線0、3、4、5自由，離散板邊界y=0和y=Ly均簡支，激勵(lì)點(diǎn)和觀測點(diǎn)在離散板2處的坐標(biāo)均為（0，0.3）。

采用模態(tài)疊加原理，合理選擇模態(tài)疊加數(shù)可以使結(jié)果收斂，其模態(tài)收斂性需驗(yàn)證。根據(jù)文獻(xiàn)對于Poisson-Kirchhoff理論的頻率適用范圍的要求，為保證計(jì)算精度，計(jì)算頻率上限要求，按照經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算本算例的頻率上限為30 kHz，算例的頻率上限取2 500 Hz，小于經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算值，滿足薄板理論假設(shè)，因此本算例頻率上限取值合理。按經(jīng)驗(yàn)公式，不同頻率上限，彎曲波模態(tài)疊加數(shù)Np、縱波模態(tài)疊加數(shù)NL、剪切波模態(tài)疊加數(shù)NS，應(yīng)滿足表1要求。

表1 不同頻率下的模態(tài)數(shù)

當(dāng)模態(tài)疊加數(shù)分別取 1、3、5、7時(shí)，給出 0～2 500 Hz計(jì)算頻域內(nèi)觀測點(diǎn)處的剪力頻響曲線。由圖2可知，在500 Hz時(shí)，模態(tài)疊加數(shù)N=3時(shí)的頻響曲線與N=5時(shí)趨近，與N=1時(shí)有差別，說明對于波動(dòng)法，N=3時(shí)，頻響曲線已收斂，小于經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算的3.87。

在1 000 Hz時(shí)，模態(tài)疊加數(shù)N=5與N=7時(shí)的頻響曲線吻合較好，N=3時(shí)，頻響曲線已經(jīng)收斂，小于經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算的7.74。同理，為保證頻響曲線收斂，在1 500 Hz和2 000 Hz時(shí)的模態(tài)疊加數(shù)均小于經(jīng)驗(yàn)公式。說明經(jīng)驗(yàn)公式給出的最小模態(tài)疊加數(shù)是偏于保守的，當(dāng)波動(dòng)法取經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算的模態(tài)疊加數(shù)時(shí)，已經(jīng)收斂。

2.2 波動(dòng)法解析解的有效性驗(yàn)證

圖2 不同模態(tài)疊加數(shù)時(shí)的頻響曲線

將圖1的十字型板劃分為5個(gè)離散板，板長均為0.6m，板寬均為0.4m，板厚h=8 mm，其它參數(shù)與2.1節(jié)一致。假定板的x邊均簡支，y邊界處均自由。觀測點(diǎn)位于離散板12的（0，0.2）處，激勵(lì)點(diǎn)位于離散板01的（0.6，0.2）處，基于波動(dòng)法的十字型板耦合連接方程，MATLAB編程計(jì)算十字型板振動(dòng)響應(yīng)的半解析解。

采用Abaqus計(jì)算結(jié)構(gòu)響應(yīng)的有限元數(shù)值解，為保證結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的準(zhǔn)確性要求，有限單元長度必須小于彎曲波長的1/6。對于本算例模型，根據(jù)文獻(xiàn)經(jīng)驗(yàn)公式求出的有限元網(wǎng)格尺寸必須小于0.03，因此模型的有限元網(wǎng)格尺寸為0.02 m×0.02 m可滿足要求。當(dāng)計(jì)算頻率為1 000 Hz，文獻(xiàn)公式要求的截止模態(tài)大于7.74，波動(dòng)法MATLAB程序的模態(tài)疊加數(shù)目取20滿足要求。波動(dòng)法半解析法和有限元數(shù)值解法的計(jì)算頻率上限均取1 600 Hz。如圖3所示，給出觀測點(diǎn)繞y軸轉(zhuǎn)角的頻響曲線，可知在0～600 Hz計(jì)算頻率范圍內(nèi)，兩種方法的頻響曲線吻合較好，隨著計(jì)算頻率的增加，頻響曲線的峰值和相位出現(xiàn)差別，該差異與有限元法的網(wǎng)格密度和波動(dòng)法的模態(tài)疊加數(shù)的選擇有關(guān)。在頻響曲線低頻范圍內(nèi)曲線吻合較好，說明耦合連接處的力和位移的平衡方程是準(zhǔn)確的，驗(yàn)證了波動(dòng)法MATLAB程序的有效性，說明十字型板耦合方程的波動(dòng)解是有效的。

圖3 十字型板的激勵(lì)點(diǎn)處繞y軸轉(zhuǎn)角

3 振動(dòng)功率流研究

3.1 激勵(lì)角振動(dòng)功率流影響分析

如圖1波動(dòng)法模型，取3離散板，如L型板，認(rèn)為離散板01、12為激勵(lì)板，離散板23為接受板。板長L1=L2=0.4 m，L3=0.8 m，板寬Ly=0.6 m，板周界均簡支，板材料屬性等參數(shù)與2.1節(jié)一致。力激勵(lì)在離散板01上，坐標(biāo)為（0.2，0.3）。力激勵(lì)與離散板01的局部坐標(biāo)在x軸方向的夾角定義為激勵(lì)角度α，分別取150/450/900，激勵(lì)板的觀測截面位于離散板12的x=0處，接受板的觀測截面位于離散板23的x=0.4 m處，采用MATLAB編程計(jì)算觀測截面彎曲波功率流和面內(nèi)波功率流，模態(tài)疊加數(shù)取20，滿足收斂性要求。

在0～800 Hz范圍內(nèi)，激勵(lì)角變化時(shí)，計(jì)算激勵(lì)板和接受板的彎曲波和面內(nèi)波功率流。如圖4(a)(b)，激勵(lì)板的彎曲波功率流處于10-7數(shù)量級(jí)，面內(nèi)波功率流處于10-12數(shù)量級(jí)，彎曲波功率流比面內(nèi)波功率流大得多，可以忽略面內(nèi)波功率流。圖4(b)與圖4(d)對比，除功率流峰值附近頻率范圍，激勵(lì)板的面內(nèi)波功率流均隨激勵(lì)角度的減小而增大，接收板的面內(nèi)波功率流均隨激勵(lì)角度的減小而減小。

圖4(a)與圖4(c)對比，兩板的彎曲波功率流均隨激勵(lì)角度的減小而減小。對比圖4(c)與圖4(d)，接受板的彎曲振動(dòng)和面內(nèi)振動(dòng)均隨激勵(lì)角的減小而減小。

在8 kHz～9 kHz高頻范圍內(nèi)，圖5顯示了波動(dòng)法MATLAB程序計(jì)算的兩板的彎曲波功率流和面內(nèi)波功率流。對比圖5(a)與圖5(b)，彎曲波功率流在10-6數(shù)量級(jí)，面內(nèi)波功率流在10-7數(shù)量級(jí)，面內(nèi)振動(dòng)相對于彎曲振動(dòng)不可忽略。對比5(a)與圖5(c)，激勵(lì)板和接受板的彎曲波功率流均隨激勵(lì)角的增加而增大。對比圖5(b)與圖5(d)，兩板的面內(nèi)波功率流與激勵(lì)角沒有呈現(xiàn)明顯規(guī)律。

對比可知，在低頻范圍內(nèi)，激勵(lì)板面內(nèi)波功率流峰值隨激勵(lì)角度的減小而增大，接受板面內(nèi)波功率流峰值隨激勵(lì)角度的減小而減小。在全頻范圍內(nèi)，兩板的彎曲振動(dòng)均隨激勵(lì)角度的減小而減小。彎曲波與面內(nèi)波在不同頻率階段呈現(xiàn)如下變化趨勢：

（1）在頻率較低階段，彎曲波明顯大于面內(nèi)波，可以忽略面內(nèi)振動(dòng)；

（2）在頻率較高階段，彎曲波和面內(nèi)波數(shù)量級(jí)相當(dāng)，不可忽略面內(nèi)振動(dòng)；

（3）在低頻和高頻階段，激勵(lì)板的彎曲振動(dòng)均隨激勵(lì)角的減小而減小。

該現(xiàn)象是激勵(lì)板能量主要源于力激勵(lì)的導(dǎo)致直接振動(dòng)和L型板在連接線處的波形轉(zhuǎn)化引起的。

（1）從激勵(lì)方面分析：隨激勵(lì)角的減小，力在板內(nèi)的分量增大，垂直于板的分量減小，激勵(lì)板由力激勵(lì)引起的彎曲振動(dòng)增大而面內(nèi)振動(dòng)減少。

（2）從波形轉(zhuǎn)換方面分析：隨激勵(lì)角的減小，激勵(lì)板彎曲振動(dòng)減小，彎曲波在L型接頭處轉(zhuǎn)化為面內(nèi)波減弱，因此接受板的面內(nèi)波隨激勵(lì)角度的減小而減小。

圖4 不同激勵(lì)角時(shí)的低頻段功率流

（3）在頻率較高階段，彎曲波和面內(nèi)波與激勵(lì)角沒有明顯規(guī)律，是力激勵(lì)和波形轉(zhuǎn)換綜合相反作用導(dǎo)致。

（4）在頻率較低階段，板縱向剛度遠(yuǎn)大于彎曲剛度，板的彎曲振動(dòng)較大，隨頻率的增加，彎曲剛度和縱向剛度數(shù)量級(jí)接近，所以力激勵(lì)水平分量直接引起的面內(nèi)振動(dòng)隨頻率的減小而減小。

3.2 不同板連接角時(shí)的波型轉(zhuǎn)換關(guān)系

對于L型板，尺寸與3.1一致。在力激勵(lì)作用下，在不同板連接角時(shí)，分別計(jì)算接受板的彎曲波功率流和面內(nèi)波功率流。計(jì)算頻率范圍取0～500 Hz，如圖6所示。

圖6 低頻時(shí)彎曲波和面內(nèi)波功率流

當(dāng)板12與23的連接角處于90°～180°，彎曲波功率流在10-2數(shù)量級(jí)，面內(nèi)波功率流在10-4數(shù)量級(jí)，面內(nèi)波功率流比彎曲波功率流少，面內(nèi)波可以忽略。連接角在90°～170°之間時(shí)，面內(nèi)波功率流隨著連接角的增大而增大，而彎曲波功率流有緩慢減小的趨勢；板連接角為180°時(shí)為平板結(jié)構(gòu)，面內(nèi)波功率流最小，彎曲波功率流最大，平板結(jié)構(gòu)不存在激勵(lì)板的彎曲波在L型接頭處轉(zhuǎn)為為接受板的面內(nèi)波，因此接受板的面內(nèi)振動(dòng)很小，振動(dòng)能量主要來自彎曲振動(dòng)?？偣β柿魇菑澢üβ柿髋c面內(nèi)波功率流之和，當(dāng)面內(nèi)波功率數(shù)量級(jí)遠(yuǎn)小于彎曲波時(shí)，總功率流的數(shù)量級(jí)與彎曲波一致。

當(dāng)計(jì)算頻率范圍取7 500 Hz～8 000 Hz，如圖7所示，板連接角在90°～120°范圍內(nèi)，接收板的面內(nèi)波功率流和彎曲波功率流均隨連接角的減小而緩慢增大，接受板的面內(nèi)波功率流比彎曲功率流大，因連接角90°～120°時(shí)，激勵(lì)板的彎曲振動(dòng)轉(zhuǎn)化成接受板的面內(nèi)振動(dòng)，在板連接處阻抗失配，振動(dòng)能量損耗較大。板連接角為90°時(shí)，接收板的面內(nèi)波功率流最大，處于10-3的數(shù)量級(jí)，此時(shí)接受板的面內(nèi)振動(dòng)主要來自激勵(lì)板的彎曲振動(dòng)的轉(zhuǎn)化；板連接角在120°～170°范圍內(nèi)，彎曲波功率流逐漸增大，結(jié)構(gòu)趨近于平板結(jié)構(gòu)，振動(dòng)能量主要是彎曲振動(dòng)。

圖6與圖7對比可知，高頻階段的面內(nèi)波功率流大于低頻階段。

圖7 高頻時(shí)彎曲波和面內(nèi)波功率流

低頻階段，面內(nèi)波功率流相對于彎曲波功率流可以忽略不計(jì)。板連接角90°時(shí)，接受板的面內(nèi)波最大，振動(dòng)能量主要來自于激勵(lì)板的彎曲波在L型接頭處的轉(zhuǎn)化。板為180°時(shí)，面內(nèi)振動(dòng)最小，導(dǎo)致彎曲振動(dòng)的能量直接來自于激勵(lì)力。

4 結(jié)語

對于有限尺寸板，通過彎曲波和面內(nèi)波波幅系數(shù)矩陣的組合與離散，可以得到有限板在連接處的耦合運(yùn)動(dòng)方程的一般形式，該一般形式為耦合方程的解耦和MATLAB編程提供便捷，將波動(dòng)法的應(yīng)用擴(kuò)展到考慮邊界條件的十字型等多板耦合結(jié)構(gòu)，功率流分析表明：

（1）板受到多點(diǎn)力激勵(lì)，將點(diǎn)力激勵(lì)通過傅里葉級(jí)數(shù)展開轉(zhuǎn)化為線性激勵(lì)，將多個(gè)線激勵(lì)進(jìn)行線性疊加，將疊加后的結(jié)果作為結(jié)構(gòu)的外界激勵(lì)，MATLAB編程計(jì)算板受多點(diǎn)激勵(lì)力時(shí)的結(jié)構(gòu)響應(yīng)，線性激勵(lì)力疊加的有效性通過有限元數(shù)值解得到驗(yàn)證。說明經(jīng)驗(yàn)公式給出得最小模態(tài)疊加數(shù)是偏于保守的，當(dāng)波動(dòng)法取經(jīng)驗(yàn)值時(shí)，已經(jīng)收斂。

（2）頻率較低階段，彎曲波功率流明顯大于面內(nèi)波功率流，面內(nèi)波功率流可以忽略；在全頻域范圍內(nèi)，激勵(lì)板的彎曲振動(dòng)功率流均隨激勵(lì)角度的增大而增大，而接受板面內(nèi)波功率流是激勵(lì)板波形轉(zhuǎn)化和直接力激勵(lì)綜合作用的結(jié)果，隨激勵(lì)角無明顯規(guī)律。

（3）頻率較高時(shí)的面內(nèi)波功率流大于頻率較低階段。在頻率較低階段，面內(nèi)波功率流相對于彎曲波功率流可以忽略。板連接角90°時(shí)，接受板的面內(nèi)波最大，面內(nèi)振動(dòng)能量主要來自激勵(lì)板彎曲波在L型接頭處的轉(zhuǎn)化。板連接角180°時(shí)，面內(nèi)振動(dòng)最小，振動(dòng)能量主要來自激勵(lì)力。在結(jié)構(gòu)聲學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，板連接角盡量處于90°左右，此時(shí)接受板的振動(dòng)功率流較小，彈性波在此結(jié)構(gòu)型式下衰減較大。

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