光學(xué)三維掃描儀光強(qiáng)傳遞函數(shù)的測(cè)量和校正

張 旭，邵雙運(yùn)，祝 祥，宋志軍

(北京交通大學(xué) 理學(xué)院，北京 100044)

1 引 言

光學(xué)三維測(cè)量是光學(xué)(Optics)、微電子學(xué)(Microelectronics)、信息學(xué)(Informatics)以及應(yīng)用數(shù)學(xué)(Applied Mathematics)等學(xué)科交叉發(fā)展和融合的成果[1]。光學(xué)三維輪廓測(cè)量技術(shù)具有非接觸、高分辨率、無(wú)破壞、數(shù)據(jù)獲取速度快等優(yōu)點(diǎn)[2]。因此，光學(xué)三維輪廓測(cè)量技術(shù)在機(jī)器視覺(jué)、自動(dòng)加工、工業(yè)在線檢測(cè)、產(chǎn)品質(zhì)量控制、實(shí)物仿形、生物醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域具有重要意義和廣闊的應(yīng)用前景。利用光學(xué)三維測(cè)量技術(shù)，獲取三維面形信息的測(cè)量方法基本可以分為兩大類：被動(dòng)三維傳感和主動(dòng)三維傳感[3]。典型的主動(dòng)三維傳感方法有飛行時(shí)間法、光學(xué)三角法和相位測(cè)量法等。根據(jù)相位檢測(cè)方法的不同，相位測(cè)量法主要分為莫爾輪廓術(shù)(Moire Topography,MT)、傅里葉變換輪廓術(shù)(Fourier Transform Profilometry，F(xiàn)TP)和相位測(cè)量輪廓術(shù)(Phase Measuring Profilometry，PMP)。

相位測(cè)量輪廓術(shù)是采用正弦光柵投影和相移技術(shù)相結(jié)合的一種方法[4-5]。相移(Phase Shifting或Phase Step，PS)法是相位檢測(cè)技術(shù)的重要方法。將規(guī)則光柵圖像投射到三維漫反射被測(cè)物表面，從另一角度可以觀察到由于受物體高度的影響而引起的條紋變形。通過(guò)計(jì)算被測(cè)物表面某點(diǎn)的相位值，再根據(jù)此相位值就可計(jì)算出該點(diǎn)的高度值。因此相位計(jì)算的準(zhǔn)確性直接影響了高度計(jì)算的準(zhǔn)確性[6]。

由于測(cè)量系統(tǒng)非線性響應(yīng)的存在，變形條紋中會(huì)出現(xiàn)高次諧波，這將導(dǎo)致計(jì)算所得的相位中出現(xiàn)周期性的變化，對(duì)高度測(cè)量結(jié)果帶來(lái)較大的誤差[7-8]。因此必須對(duì)測(cè)量系統(tǒng)進(jìn)行非線性校正，減少高次諧波帶來(lái)的誤差。Guo等人提出一種適用于數(shù)字條紋投影輪廓術(shù)的伽瑪校正技術(shù)[9]。該技術(shù)基于條紋圖像的統(tǒng)計(jì)分析，由條紋圖像的歸一化累積直方圖來(lái)估計(jì)伽瑪值，再通過(guò)設(shè)定γ常數(shù)生成待投射的數(shù)字光柵，從而校正這種輸出光強(qiáng)與驅(qū)動(dòng)信號(hào)之間非線性關(guān)系。Cao等人提出一種基于數(shù)字微鏡(Digital Micromirror Device，DMD)的相位輪廓測(cè)量系統(tǒng)的非線性校正技術(shù)[10-11]。為獲得投影系統(tǒng)的光強(qiáng)傳遞函數(shù)，在同一幀投影條紋圖像上由計(jì)算機(jī)編碼產(chǎn)生0到255的線性的灰度級(jí)，并由CCD圖像傳感器采集，在將采集到的圖像光強(qiáng)與輸入的光強(qiáng)比值為該系統(tǒng)的光強(qiáng)傳遞函數(shù)ITF，并以查找表的方式隱式存入計(jì)算機(jī)。投影的光柵在理想平面上試探性的設(shè)置一個(gè)預(yù)期的正弦光場(chǎng)，然后將光場(chǎng)以像素單位離散化，通過(guò)查找表，找出對(duì)應(yīng)該像素單元的輸入灰度值，若輸入輸出灰度級(jí)具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，則對(duì)該輸入灰度進(jìn)行編碼，其輸出就是正弦光場(chǎng)分布。

上述兩類校正技術(shù)均采用有限的幾幀圖像估計(jì)投影系統(tǒng)的強(qiáng)度傳遞參數(shù)，Guo的方法需要不斷地進(jìn)行迭代，進(jìn)行伽瑪估計(jì)和相位評(píng)估，最終得到實(shí)際的伽瑪值；Cao的方法用灰度連續(xù)分布的一幀圖像求解整個(gè)系統(tǒng)的全局灰度曲線，由于投影系統(tǒng)各部分的響應(yīng)并不完全一致，不可避免地會(huì)帶來(lái)參數(shù)估計(jì)誤差。

本文采用光強(qiáng)傳遞函數(shù)來(lái)描述光強(qiáng)信號(hào)的傳遞過(guò)程，通過(guò)逐一投射不同灰度的圖像，分析投影系統(tǒng)輸入灰度級(jí)與輸出亮度之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，測(cè)量出系統(tǒng)的光學(xué)強(qiáng)度傳遞信號(hào)，分析其非線性效應(yīng)，基于反函數(shù)變換得到系統(tǒng)的光強(qiáng)傳遞函數(shù)的校正函數(shù)，利用該校正函數(shù)計(jì)算輸入光柵圖像并投射，提高了光學(xué)三維掃描儀的測(cè)量精度。

2 投影系統(tǒng)光強(qiáng)傳遞函數(shù)的測(cè)量與校正

2.1 三維掃描測(cè)量系統(tǒng)

本文所用的光學(xué)三維掃描測(cè)量系統(tǒng)原理如圖1所示，系統(tǒng)由一臺(tái)LCD投影儀，一臺(tái)CCD攝像機(jī)，一塊標(biāo)準(zhǔn)平板和一臺(tái)計(jì)算機(jī)構(gòu)成。

圖1 光學(xué)掃描儀系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 Fig.1 Structure of optical profilometry system

測(cè)量時(shí)，計(jì)算機(jī)控制投射裝置(LCD投影儀)按照測(cè)量需求投射光柵條紋，CCD攝像機(jī)采集參考面上的條紋圖和被測(cè)物表面的條紋圖，由計(jì)算機(jī)處理這些條紋圖，從中抽取出相位信息，并由相位與高度關(guān)系恢復(fù)出物體高度。

2.2 投影系統(tǒng)光強(qiáng)傳遞函數(shù)的校正

投影系統(tǒng)的光強(qiáng)傳遞函數(shù)的校正過(guò)程如圖2所示，校正過(guò)程分兩大步驟：(1)輸入線性光強(qiáng)信號(hào)，投影儀投射到光屏的信號(hào)為非線性信號(hào)，用光功率計(jì)接收投出的信號(hào)，再經(jīng)過(guò)歸一化和擬合處理后，得到投影系統(tǒng)的光強(qiáng)傳遞函數(shù)即投影系統(tǒng)的輸出輸入關(guān)系函數(shù)；(2)對(duì)得到的光強(qiáng)傳遞函數(shù)進(jìn)行逆運(yùn)算，求其反函數(shù)，得到輸入輸出關(guān)系函數(shù)，當(dāng)輸出為0到1的線性輸出時(shí)，求解輸入信號(hào)大小，最后根據(jù)輸入信號(hào)函數(shù)得到待投射的光柵圖像。

圖2 光強(qiáng)傳遞函數(shù)校正流程 Fig.2 ITF′s calibration process

在本文實(shí)驗(yàn)中，編程生成256張16 bit的灰度圖片，灰度從0變化到255，以255為間隔等距抽樣，再將灰度圖像通過(guò)LCD按順序投射出來(lái)，形成一個(gè)線性的數(shù)字輸入信號(hào)。利用光功率計(jì)測(cè)量LCD投影儀輸出的光強(qiáng)信號(hào)，得到LCD投影儀的光強(qiáng)傳遞函數(shù)的測(cè)試曲線[12]，具體數(shù)字信號(hào)的傳遞過(guò)程如圖3所示。

圖3 信號(hào)傳遞過(guò)程示意圖 Fig.3 Signal transfer process

通過(guò)光功率計(jì)測(cè)得的LCD投影儀的光強(qiáng)傳遞函數(shù)曲線如圖4所示。

圖4 數(shù)字投影系統(tǒng)歸一化光強(qiáng)傳遞函數(shù)曲線 Fig.4 Normalized ITF curve of digital projection system

可以看出，對(duì)于計(jì)算機(jī)輸入的線性變化的光強(qiáng)信號(hào)，光功率計(jì)接收到的信號(hào)的光功率曲線不是線性變化的，這說(shuō)明LCD投影儀具有非線性輸出的響應(yīng)特性，因此，如果直接對(duì)LCD投影儀輸入標(biāo)準(zhǔn)的正弦光柵信號(hào)，由于LCD投影儀光強(qiáng)傳遞函數(shù)的影響，輸出的信號(hào)將不再是標(biāo)準(zhǔn)的正弦型光柵信號(hào)。

對(duì)圖4信號(hào)進(jìn)行高階擬合，可得公式:

P=-0.454 6x4+1.002 2x3+

0.443 5x2+0.083 1x-0.010 3

對(duì)上式做反函數(shù)變換，可得到輸入輸出關(guān)系函數(shù)。其輸出值在(0,1)之間的數(shù)值解如表1所示，所得反函數(shù)曲線如圖5所示。該圖表示當(dāng)投影儀的輸出為線性變化，即輸出值為(0,1)之間線性變化，其輸入的灰度變化情況。該函數(shù)曲線即為投影儀的光強(qiáng)校正函數(shù)曲線。

表1 反函數(shù)數(shù)值解表

圖5 反函數(shù)曲線(即 ：數(shù)字投影系統(tǒng)光強(qiáng)校正函數(shù)曲線) Fig.5 Inverse function curve(namely ITF′s calibration curve of digital projection system)

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 校正效果驗(yàn)證

本文采用兩種方法驗(yàn)證了提出的校正方法的有效性。

(1)利用校正函數(shù)生成一組預(yù)期輸出為線性光強(qiáng)分布的256張灰度圖片，輸入的灰度變化如圖5所示，經(jīng)投影系統(tǒng)投射，再利用光功率計(jì)接收，得到輸出的光強(qiáng)曲線，歸一化處理后得到圖6所示光強(qiáng)分布，可以看出，經(jīng)過(guò)校正后，LCD輸出的灰度等級(jí)為線性。

圖6 校正后LCD投影儀線性輸出 Fig.6 Linear output of LCD projector after calibration

(2)利用實(shí)驗(yàn)獲得的數(shù)字投影儀光強(qiáng)傳遞校正函數(shù)對(duì)輸入的正弦信號(hào)進(jìn)行校正，得到輸入的非正弦光柵圖像，如圖7(b)所示，再用LCD投影儀投影，用相機(jī)拍攝投影的條紋，得到輸出信號(hào)，并與不經(jīng)過(guò)校正的原始正弦光柵輸出進(jìn)行比較。結(jié)果如圖7所示。

由圖7可以看出，未經(jīng)過(guò)校正時(shí)，用投影儀投射，則光功率計(jì)接收到的正弦光柵信號(hào)發(fā)生形變，上小下大，不是標(biāo)準(zhǔn)正弦信號(hào)。經(jīng)過(guò)校正后，光功率計(jì)接收到的正弦光柵信號(hào)接近標(biāo)準(zhǔn)。為了分析信號(hào)的正弦性，對(duì)圖信號(hào)分別做傅立葉變換，結(jié)果如圖7(e)、7(f)所示。對(duì)于校正前輸入的正弦信號(hào)，只含有基頻，不含有高次諧波，投到待測(cè)平面上，接收到的信號(hào)中出現(xiàn)了明顯的二次諧波和其它高次諧波；對(duì)于校正后的正弦輸入信號(hào)，其輸出信號(hào)的高次諧波被有效抑制，從而降低了系統(tǒng)非線性響應(yīng)所帶來(lái)的高次諧波誤差。

圖7 灰度校正結(jié)果 Fig.7 Gray level calibration results

3.2 實(shí)物測(cè)量

為進(jìn)一步說(shuō)明校正的效果，采用等間隔滿周期算法(正弦光柵20像素，5步相移算法)構(gòu)建三維測(cè)量軟件。測(cè)量系統(tǒng)利用校正前的光柵和校正后的光柵分別進(jìn)行標(biāo)定，然后分別測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)平板和標(biāo)準(zhǔn)量塊，比較測(cè)量結(jié)果的差異。

3.2.1 標(biāo)準(zhǔn)平板的測(cè)量

將標(biāo)準(zhǔn)平板垂直于測(cè)量系統(tǒng)CCD的光軸方向放置，用精度為10 μm的精密移動(dòng)平臺(tái)帶動(dòng)平板沿CCD光軸方向進(jìn)行平移，每次移動(dòng)20 mm，共移動(dòng)8次，得到9個(gè)平面位置。保證測(cè)量環(huán)境不變的情況下，在9個(gè)位置點(diǎn)分別投射校正前和校正后的正弦光柵，求出相應(yīng)位置處的高度值，和標(biāo)準(zhǔn)移動(dòng)距離比較計(jì)算誤差，其結(jié)果如表2和圖8所示。

表2標(biāo)準(zhǔn)平板測(cè)量結(jié)果

Tab.2Measurementresultsofstandardpanel(mm)

123456789標(biāo)準(zhǔn)020406080100120140160校正前0.1118.6739.1659.3379.50101.02119.35138.84160.10誤差0.111.330.840.670.501.020.651.160.1校正后-0.2921.2239.7360.0879.86101.05119.17140.89160.22誤差0.291.220.270.080.141.050.830.890.22

圖8 誤差對(duì)比 Fig.8 Error comparison

由表1和圖8可知，校正前的平均絕對(duì)誤差為0.71 mm，校正后的平均絕對(duì)誤差為0.55 mm，部分位置誤差偏大的原因，初步分析是由于電動(dòng)平移臺(tái)的控制誤差以及待測(cè)平板與移動(dòng)方向不垂直造成的。

3.2.2 標(biāo)準(zhǔn)量塊的測(cè)量

對(duì)厚度均勻的標(biāo)準(zhǔn)塊用游標(biāo)卡尺測(cè)量?jī)蓚€(gè)臺(tái)階平面的厚度，其厚度差作為這兩個(gè)面的高度差，取其平均值12.20 mm作為量塊厚度的真值。在同樣條件下，三維測(cè)量系統(tǒng)采用校正前的光柵和校正后的光柵對(duì)標(biāo)準(zhǔn)塊分別進(jìn)行測(cè)量，結(jié)果如表3所示, 測(cè)量精度提高了3.75%。

表3 標(biāo)準(zhǔn)量塊測(cè)量結(jié)果比較

3.2.3 小結(jié)

前述兩個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果明顯表明，經(jīng)過(guò)校正后的測(cè)量系統(tǒng)位置測(cè)量精度高于校正前的測(cè)量精度，標(biāo)準(zhǔn)量塊的校正后的測(cè)量結(jié)果優(yōu)于校正前的測(cè)量結(jié)果，說(shuō)明本文提出的光強(qiáng)傳遞函數(shù)校正方法可以有效提高測(cè)量系統(tǒng)的測(cè)量精度。校正后，用該測(cè)量系統(tǒng)對(duì)實(shí)際物體進(jìn)行測(cè)量，其測(cè)量精度優(yōu)于校正前的測(cè)量精度，充分證明了該方法在實(shí)際測(cè)量中的有效性。

4 結(jié) 論

本文提出了一種新的光學(xué)三維測(cè)量系統(tǒng)數(shù)字光柵投影儀的光強(qiáng)傳遞函數(shù)測(cè)量和校準(zhǔn)方法，首先測(cè)量了數(shù)字投影儀輸入灰度級(jí)與輸出亮度之間的非線性關(guān)系。對(duì)于輸入的線性信號(hào)，測(cè)得光柵投影儀在線性輸入下的光強(qiáng)傳遞函數(shù)，并利用逆向變換求得光強(qiáng)傳遞校正函數(shù)，以此校正了數(shù)字投影儀的光強(qiáng)傳遞函數(shù)的非線性。Guo等人提出的方法需要不斷的進(jìn)行迭代，以求得實(shí)際伽瑪?shù)闹?。Cao等人提出的方法，由于投影系統(tǒng)各部分響應(yīng)不完全一致，容易造成參數(shù)估計(jì)誤差。本文提出的方法只需對(duì)投影系統(tǒng)的光強(qiáng)傳遞函數(shù)進(jìn)行校正，進(jìn)而即可校正數(shù)字投影儀的非線性響應(yīng)，方法具有簡(jiǎn)便性和適用性。對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)平板的測(cè)量，校正前平均誤差為0.71 mm，校正后平均誤差為0.55 mm,對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)量塊測(cè)量，校正前誤差為0.62 mm，校正后誤差為0.15 mm，測(cè)量精度提高了3.75%。實(shí)驗(yàn)結(jié)果證實(shí)了校正方法的有效性。

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