基于初速雷達數(shù)據(jù)外推的槍彈外彈道末段計算方法

景春陽，孟祥會，經(jīng) 哲

（中國白城兵器試驗中心，吉林 白城 137001）

0 引言

槍彈因目標小、飛行速度高，彈道為近地低伸彈道，捕獲難度大，一般無法對外彈道的全程進行測量，尤其在彈道末段，主要依賴光測手段測量，但獲得數(shù)據(jù)的準確性無法保證。一方面是光測手段易受環(huán)境因素影響，干擾較多；另一方面是出現(xiàn)異常數(shù)據(jù)無法進行判定，缺少其他設備的輔助。

初速雷達威力較小，作用距離較短，一般僅能覆蓋槍彈外彈道的初始段，但作為實時跟蹤測量設備，能夠連續(xù)測量出彈丸飛行速度、飛行時間、加速度等多項參數(shù)，通過數(shù)據(jù)篩選能夠獲得大量高精度數(shù)據(jù)，結(jié)合彈道方程推導計算能夠有效獲得外彈道末段數(shù)據(jù)，對獲得的光測數(shù)據(jù)起到較好的補充測量和判定作用。

1 雷達基本測量原理

雷達天線發(fā)射固定頻率的連續(xù)波信號，接收目標反射的回波信號，與發(fā)射信號混頻后提取出多普勒信號。多普勒信號在信號處理單元進行放大和數(shù)字化。數(shù)字化多普勒信號保存在內(nèi)部存儲器中，通過快速傅立葉變換（FFT）和數(shù)字信號處理解算出目標速度［2］。

根據(jù)多普勒效應，目標相對雷達運動產(chǎn)生的多普勒頻率為：

其中f0為雷達發(fā)射連續(xù)波的頻率，vr為目標相對雷達運動的速度，即徑向速度，c為電磁波傳播速度。

由于 vr＜＜c，可忽略分母中的 vr，這時有

此式稱為經(jīng)典的雷達測速方程。由此可見，只要測得fd（f0和c是已知的），即可由式（2）求出徑向速度vr。

目前雷達的測速精度一般都可高于0.1%，測試系統(tǒng)的精度也可達到10-6s，通常可以認為雷達測量的v-t曲線是精確的，從中可以提取出初速v0、徑向速度vr、時間t及加速度a。雷達測試數(shù)據(jù)示例如圖1所示。

2 測量數(shù)據(jù)篩選

雷達在進行測試時，一些測試數(shù)據(jù)誤差較大，誤差來源主要有兩種情況，一種是受雷達技術條件限制，在遠距離及部分點處信噪比較低，精度較差產(chǎn)生誤差；另一種是受雷達使用條件限制，實際使用時無法與槍口十分靠近，且在雷達波束內(nèi)受非目標物體干擾影響，一些測量點數(shù)據(jù)明顯偏離彈道，產(chǎn)生誤差。

2.1 剔除信噪比較低的數(shù)據(jù)

根據(jù)雷達實測瀑布圖，如圖2所示，受地雜波干擾，雷達測試時的信噪比會隨著距離增大逐漸降低，通常認為在信噪比S/N＞10 dB時認為數(shù)據(jù)精度較高，需剔除不滿足該條件的數(shù)據(jù)。

2.2 剔除偏離彈道的數(shù)據(jù)

出于雷達安全防護考慮，其位置一般無法與槍口十分靠近，這樣目標相對雷達運動的徑向速度vr就不是目標運動的彈道切向速度v（絕對速度），而是彈道切向速度v在雷達觀測方向上的投影［3］，如圖3所示。

這表明，徑向速度vr需通過速度轉(zhuǎn)換才能得到切向速度v。而由于測量雷達相對槍口位置坐標的方法無法保證足夠的精度，會造成切向速度v的計算誤差，這一誤差在初始段較大，但隨著彈丸與槍口距離的增大而減小，當距離足夠遠時，可以認為v≈vr。

另一種情況是受非目標物體的干擾，一些速度值會產(chǎn)生明顯異常，這些數(shù)據(jù)對擬合彈道曲線的影響不大，但在彈道計算中會明顯降低計算準確度，因此，也必須予以剔除。

3 彈道外推計算方法

3.1 彈道系數(shù)計算

彈道系數(shù)c是表示彈丸的本身特征（形狀、尺寸大小和重量）對彈丸運動的影響［1］。

其中i為彈形系數(shù)，d為彈丸直徑。

彈道系數(shù)是彈道計算的重要參數(shù)，在外彈道學中計算彈道系數(shù)主要有兩種方法，分別為加速度法和動能法［1］。

3.1.1 加速度法

加速度法是指射擊時彈丸速度的變化率即加速度等同于彈丸飛行時所受空氣阻力：

其中a為實測加速度值，g為重力加速度，F(xiàn)（v）表示關于速度v的阻力函數(shù)。

F（v）在 400≤v≤1 400 的經(jīng)驗公式為：

該經(jīng)驗公式誤差小于0.6%。

3.1.2 動能法

動能法就是指在水平射擊時彈丸動能的減少等于彈丸克服阻力所作的功，即：

這兩種方法均可計算彈道系數(shù)，但加速度法適用范圍更廣，能夠用于多種仰角射擊條件的計算，且現(xiàn)有雷達數(shù)據(jù)就可完成；動能法僅適用于平直彈道，使用雷達數(shù)據(jù)計算時需要估算距離L1，2的值，同時還需要彈丸的特征數(shù)據(jù)，計算較為復雜。

根據(jù)雷達測量數(shù)據(jù)的特點，選擇加速度法來計算彈道系數(shù)c，同時，因雷達測量數(shù)據(jù)量較大，可以得出不同速度下的彈道系數(shù)，作彈道系數(shù)-速度的擬合曲線c（v）-v，根據(jù)速度大小選擇相應的彈道系數(shù)，進一步提高測速精度。

3.2 計算彈道

根據(jù)外彈道學，在 v0、θ0、c 給定時，彈道已唯一確定［1，4］。

根據(jù)方程組及起始條件（t=0 時，θ=θ0，v=v0，x=y=0）可以知道：任意時間t時的彈道諸元v，θ，y，x一定都是起始條件（v0，θ0）與包含在方程組內(nèi)的彈道系數(shù)c和自變量t的函數(shù)，即：

當c，v0，θ0給定時，任意點彈道諸元僅由時間t確定。就是說，任意給一個時間t，與此相應的彈道諸元就可以確定，因而彈道就可以完全確定。通過級數(shù)解法，v，θ，y，x 4個參數(shù)都可以計算得出，為計算終點彈道參數(shù)，即已知距離s，計算時間t，高度y，彈道傾角θ，速度v，其他參數(shù)均可通過這幾項參數(shù)得出。

距離s處的飛行時間：

距離s處的彈道高：

距離s處的彈道傾角：

距離s處的速度：

根據(jù)式（9）～式（12）可以推導出其他所需彈道參數(shù)。

4 實際數(shù)據(jù)驗證

以某型槍彈為例，有效射程400 m。初速約為870 m/s，射擊方式為平射（忽略跳角影響，可認為θ0≈0），雷達天線高h=1.21 m，測試有效距離約為100 m，彈溫為標準溫度。

按P＜0.1%取值，則對 t＜8.876 ms的數(shù)據(jù)剔除。

按S/N＞10 dB取值，則剔除信噪比低于10 dB的數(shù)據(jù)，選取截止時間，如下頁圖5所示。

對篩選后的雷達實測數(shù)據(jù)按式（9）計算彈道系數(shù)，其中部分計算結(jié)果如下頁表2所示。

表1 相對誤差P的計算表格

表2 彈道系數(shù)計算

從表中可以看出彈道系數(shù)會隨著速度的變化而變化，作c-v曲線擬合，，如圖6所示。

求出 c（v0）=6.966 5。

根據(jù)已有數(shù)據(jù)對式（9）和式（12）進行驗證，聯(lián)立求出

根據(jù)式（13）計算速度并與實測速度對比求相對誤差，如表3所示。

表3 速度驗證數(shù)據(jù)

經(jīng)計算，在保證測速精度滿足0.1%要求下，可以將彈道延伸計算至400 m左右，即在現(xiàn)有雷達已測約100 m的距離下保精度延伸了300 m，從而獲得彈道末段數(shù)據(jù)。

通過上述已獲得的數(shù)據(jù)計算該型槍彈在400 m處彈道參數(shù)，即s=400 m，得到：

由式（9），計算飛行時間 t=544.6 ms；

由式（10），計算彈道高y=0.012 m；

由式（11），計算彈道傾角 θ=0.007 rad；

由式（12），計算速度 v=544.4 m/s。

使用光測設備實測400 m飛行時間為547.8 ms，通過對比可知使用該方法計算彈道末段參數(shù)的精度較高。

5 結(jié)論

通過對初速雷達測量數(shù)據(jù)的進一步篩選，根據(jù)彈道方程建立外彈道初始段與末段之間關系，從而得到外彈道末段的各項參數(shù)，包括彈丸飛行距離、飛行時間、彈道傾角、飛行速度等，實踐證明，這種方法是可行的，雖然在精度上較光測設備尚有一定差距，但卻可彌補易受環(huán)境干擾、捕獲率低等缺陷：一方面當光測設備失效時，可以起到良好的補充測量作用；另一方面，對于測試中出現(xiàn)的異常數(shù)據(jù)無法判定異常原因時，可以作為判定依據(jù)。

這種方法拓寬了初速雷達測量數(shù)據(jù)的應用范圍，提高了數(shù)據(jù)利用率，為測試數(shù)據(jù)的準確性判定提供了依據(jù)。

［1］浦發(fā).外彈道學［M］.北京：國防工業(yè)出版社，1980.

［2］丁鷺飛，耿富錄.雷達原理［M］.西安：西安科技大學出版社，2002.

［3］周旦紅.多普勒測速雷達速度轉(zhuǎn)換的誤差分析［J］.哈爾濱工程大學學報，2007，28（1）：93-96.

［4］朱藝，肖兵，林傲，等.彈道導彈威脅估計模型構建［J］.火力與指揮控制，2016，41（2）:117-123.