基于最大似然估計(jì)的16APSK載波捕獲算法研究

馮曉文，李慶坤，任 彬

(1.中國電子科技集團(tuán)公司第五十四研究所，河北 石家莊 050081；2.石家莊鐵道大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，河北 石家莊 050043)

0 引言

在衛(wèi)星通信中，16APSK是一種極具潛力、利用載波幅度和相位同時(shí)承載信息的混合調(diào)制方式，在DVB-S2標(biāo)準(zhǔn)中已采用該調(diào)制方式[1]。16APSK的頻譜利用率為4 bit/s/Hz，是BPSK體制的4倍。此外，相比于32APSK和64APSK，16APSK具有較低的復(fù)雜度，是一種折中的調(diào)制方式[2]。

接收機(jī)收到16APSK信號(hào)之后要在較短時(shí)間內(nèi)完成載波同步，才可以進(jìn)行有效的解調(diào)。載波捕獲是完成載波同步的關(guān)鍵[3-4]。對(duì)于16APSK調(diào)制信號(hào)的載波捕獲，一般有數(shù)據(jù)輔助和非數(shù)據(jù)輔助2種方法。數(shù)據(jù)輔助的方法是指采用低階調(diào)制信號(hào)作為導(dǎo)頻數(shù)據(jù)，輔助16APSK信號(hào)的捕獲，但導(dǎo)頻數(shù)據(jù)會(huì)占用一定的數(shù)據(jù)資源[5]。非數(shù)據(jù)輔助的方法是指直接對(duì)16APSK信號(hào)進(jìn)行捕獲，一般需要去除信號(hào)數(shù)據(jù)中的調(diào)制相位[6]，做FFT運(yùn)算恢復(fù)載波，去除數(shù)據(jù)調(diào)制相位的過程一般是非線性運(yùn)算，非線性運(yùn)算會(huì)帶來噪聲的放大，因此在低信噪比條件下16APSK信號(hào)的捕獲比較困難。

最大似然估計(jì)是一種未知參數(shù)估計(jì)的重要方法，可用于載波的頻偏估計(jì)[7-10]，該方法無需對(duì)16APSK信號(hào)進(jìn)行非線性運(yùn)算，同時(shí)具有較高的估計(jì)精度。Kalman濾波是在最小均方誤差估計(jì)基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一種遞推估計(jì)算法[11]，可以最大限度地抑制信號(hào)中的噪聲，降低噪聲對(duì)頻偏估計(jì)的影響。文獻(xiàn)[12]提出了一種結(jié)合最大似然估計(jì)和Kalman濾波的方法，應(yīng)用在BPSK的載波跟蹤，在估計(jì)中采用平方變換去除調(diào)制信息。本文把結(jié)合最大似然估計(jì)和Kalman濾波的方法應(yīng)用于16APSK的載波頻偏捕獲。該方法直接對(duì)包含載波頻偏信息的16APSK信號(hào)相位序列進(jìn)行最大似然頻偏估計(jì)，并結(jié)合Kalman濾波，降低噪聲對(duì)載波頻偏估計(jì)的影響。

1 16APSK信號(hào)模型

16APSK的星座圖由內(nèi)外2個(gè)同心圓組成，研究較多的是4+12形式的16APSK[13]，即內(nèi)圓有4個(gè)星座點(diǎn)，外圓有12個(gè)星座點(diǎn)。其星座點(diǎn)表達(dá)式為：

(1)

式中，r1和r2分別為內(nèi)圓和外圓的半徑，r2/r1=2.7；θ1和θ2分別為內(nèi)圓和外圓上信號(hào)點(diǎn)的初始相位，這里θ1=π/4，θ2=π/12。

2 基于16APSK的最大似然估計(jì)算法

在無線通信中，最大似然估計(jì)常用于信號(hào)的載波頻率估計(jì)。本文中，最大似然估計(jì)被應(yīng)用于接收機(jī)中16APSK信號(hào)的載波頻偏估計(jì)。假設(shè)接收機(jī)收到的16APSK信號(hào)為：

y(t)=a(t)cos(wit+θi)+b(t)sin(wit+θi)，

(2)

式中，a(t)和b(t)分別指同相正交分量的值，a(t)=real[Z(t)]，b(t)=imag[Z(t)]；wi和θi分別為接收信號(hào)的載波頻率和相位。接收機(jī)的本振正交信號(hào)為：

(3)

式中，wo和θo分別為接收機(jī)本振的頻率和相位。接收信號(hào)經(jīng)過下變頻處理，再通過低通濾波器濾除倍頻分量，得到含有載波頻偏的正交同相信號(hào)：

(4)

式中，Δw=wo-wi=2πΔf，Δθ=θo-θi+arctan[b(t)/a(t)]。Δf和Δθ是經(jīng)過下變頻低通濾波之后的殘余頻偏和相偏。由于Δθ可以通過鎖相環(huán)捕獲跟蹤，因此本文只討論Δf的估計(jì)。

可知，Δf是正弦函數(shù)的一個(gè)參數(shù)，如果已知正弦函數(shù)的采樣樣本，就可以通過最大似然估計(jì)對(duì)參數(shù)Δf進(jìn)行估計(jì)。假設(shè)獲得含有載波頻偏的正交同相數(shù)字信號(hào)分別如下：

(5)

式中，k=0，1，...，K為采樣樣本的序列號(hào)；Ts為采樣的周期；n(k)為均值為零、方差為σ2的離散高斯白噪聲。在高信噪比條件下(信噪比大于10 dB)，式(5)中序列的離散相位信息在[-π，π]的一個(gè)2π周期內(nèi)，其相位信息可以計(jì)算如下：

(6)

(7)

x(k)=2πkTsΔf+Δθ+v(k)，

(8)

式中，v(k)是由高斯白噪聲引入的等效相位噪聲[7]，其統(tǒng)計(jì)特性近似均值為零、方差為σ2的高斯分布。將式(8)寫成向量的形式為：

X=Δfα+Δθβ+V，

(9)

式中，

X為服從高斯分布的隨機(jī)矢量，其概率密度函數(shù)為：

(10)

式中，‖·‖2定義為‖X‖2=XTX。

使fx(X)的對(duì)數(shù)概率密度函數(shù)logfx(X)關(guān)于Δf和Δθ的梯度為零，即Δf，Δθlogfx(X)=0，可以獲得關(guān)于Δf和Δθ的二元線性方程組，求得殘余頻差Δf的最大似然估計(jì)[7]為：

(11)

在上述算法中，最大似然估計(jì)使用的相位序列沒有去除數(shù)據(jù)調(diào)制信息，這樣避免了去除調(diào)制數(shù)據(jù)的非線性處理，但頻偏估計(jì)使用的相位序列需要在一個(gè)調(diào)制數(shù)據(jù)符號(hào)內(nèi)。通過該最大似然頻偏估計(jì)算法，可以獲得16APSK調(diào)制信號(hào)的載波頻偏，該方法在高信噪比(信噪比大于10 dB)的情況，可以獲得較準(zhǔn)確的頻偏估計(jì)[14]。在低信噪比的情況下，受噪聲的干擾，頻偏估計(jì)值偏差較大。因此，結(jié)合Kalman濾波抑制噪聲是一種較好的解決方案。

3 結(jié)合Kalman濾波和最大似然估計(jì)的頻偏估計(jì)算法

最大似然估計(jì)獲得的頻偏值受到噪聲的干擾總是在均值附近上下波動(dòng)，為了得到頻偏的無偏最小方差估計(jì)，可以對(duì)估計(jì)出來的頻偏進(jìn)行Kalman濾波。Kalman濾波是解決以最小均方誤差為準(zhǔn)則的最佳線性過濾問題，該算法根據(jù)前一個(gè)估計(jì)值和最近一個(gè)觀測數(shù)據(jù)來估計(jì)信號(hào)的當(dāng)前值[15]。Kalman濾波算法由狀態(tài)空間來描述，其遞推公式如下所示[16-17]。其狀態(tài)預(yù)測為：

(12)

P(k+1|k)=ΦP(k|k)ΦT+ΓQΓT，

(13)

式中，P(k|k)為k時(shí)刻協(xié)方差陣值；P(k+1|k)為k+1時(shí)刻協(xié)方差陣的預(yù)測值；Γ為噪聲驅(qū)動(dòng)矩陣；Q為狀態(tài)向量的噪聲方差陣。k+1時(shí)刻的狀態(tài)值為：

(14)

式中，

K(k+1)=P(k+1|k)HT[HP(k+1|k)HT+R]-1，

(15)

(16)

式中，Y(k+1)是k+1時(shí)刻的觀測值；H為觀測矩陣；R為觀測向量的噪聲方差陣。k+1時(shí)刻的協(xié)方差陣值為

P(k+1|k+1)=[In-K(k+1)H]P(k+1|k)，

(17)

式中，In為單位陣，表示系統(tǒng)狀態(tài)的維數(shù)。通過上述的6個(gè)方程，可以準(zhǔn)確地估計(jì)每一個(gè)狀態(tài)值。在本文中把最大似然估計(jì)獲得的頻偏作為觀測序列Y(k)，采用一階Kalman濾波就可以實(shí)時(shí)地估計(jì)頻偏的變化。如果Q和R與噪聲的模型匹配，頻偏估計(jì)就具有最小的濾波誤差方差[15]。

結(jié)合Kalman濾波和最大似然的頻偏估計(jì)算法的實(shí)現(xiàn)原理如圖1所示。

圖1 結(jié)合Kalman濾波和最大似然的頻偏估計(jì)原理

(18)

(19)

下面對(duì)結(jié)合Kalman濾波和最大似然的頻偏估計(jì)算法進(jìn)行仿真驗(yàn)證和分析。

4 仿真結(jié)果與分析

對(duì)結(jié)合Kalman濾波和最大似然的頻偏估計(jì)算法進(jìn)行Matlab仿真。測試信號(hào)為16APSK調(diào)制信號(hào)，碼速率為1 MHz，采樣頻率為56 MHz，接收機(jī)本振的頻率為70 MHz。從式(18)可以看出，影響最大似然頻偏估計(jì)值的參數(shù)有K、N和F，在實(shí)驗(yàn)中K取值為8，N取值為20。

假設(shè)接收信號(hào)載波頻率為70.1 MHz，即接收機(jī)本振頻率與接收信號(hào)載波頻率的固定偏差為100 kHz。仿真中，信噪比SNR變化范圍為-5～30 dB。在不同的信噪比條件下，對(duì)最大似然估計(jì)算法和結(jié)合Kalman濾波的最大似然估計(jì)算法進(jìn)行了仿真，仿真結(jié)果如圖2和圖3所示。

圖2 不同信噪比下的頻率估計(jì)的偏差

圖3 不同信噪比下的頻率估計(jì)偏差的均方差

圖2反映的是不同信噪比條件下，估計(jì)得到的頻偏和實(shí)際頻偏的偏差值。頻率估計(jì)偏差值的計(jì)算公式為：

(20)

式中，fd為實(shí)際頻偏值；M=2 000，表示2 000次估計(jì)樣本?？紤]到Kalman濾波初始狀態(tài)的不確定性，先獲得10 000次估計(jì)樣本，把最新的2 000次估計(jì)樣本作為衡量估計(jì)偏差值的樣本。圖3反映的是不同信噪比條件下，估計(jì)偏差值的均方差。頻率估計(jì)偏差值的均方差計(jì)算公式為：

(21)

從圖2可以看出，不同信噪比條件下，最大似然估計(jì)算法和結(jié)合Kalman濾波的最大似然估計(jì)算法獲得頻偏值相差不多，信噪比越高，估計(jì)的偏差越小。當(dāng)在低信噪比條件下(SNR=-5 dB)，2種算法估計(jì)的頻率偏差跟實(shí)際的頻率偏差(100 kHz)都相差大約21 kHz，信噪比在0 dB時(shí)偏差可以達(dá)到2 kHz左右。從圖3可以看出，2種算法估計(jì)的頻率偏差的均方差都隨著信噪比的提高而減小，相比最大似然估計(jì)算法，結(jié)合Kalman濾波的最大似然估計(jì)算法獲得的頻率偏差的均方差更小，即估計(jì)的頻率值更穩(wěn)定。當(dāng)SNR=-5 dB時(shí)，最大似然估計(jì)算法估計(jì)的頻率偏差值均方差為130 kHz左右，波動(dòng)范圍非常大；結(jié)合Kalman濾波的最大似然估計(jì)算法估計(jì)的頻率偏差值均方差大約為15 kHz。在其他信噪比條件下，結(jié)合Kalman濾波的最大似然估計(jì)算法相比單獨(dú)的最大似然估計(jì)算法估計(jì)的頻率值均方差也都較小。2種算法頻率估計(jì)偏差平均值相差不多，但結(jié)合Kalman濾波的最大似然估計(jì)算法在頻率估計(jì)偏差的均方差性能上有較大改善，即結(jié)合Kalman濾波的最大似然估計(jì)算法估計(jì)的頻率值更穩(wěn)定。

以上是對(duì)固定載波頻差信號(hào)的仿真，下面對(duì)含多普勒載波頻偏的信號(hào)進(jìn)行仿真。假設(shè)接收信號(hào)載波頻率與接收機(jī)本振頻率的偏差從100 Hz變化到100 kHz，步進(jìn)為100 Hz。仿真中，SNR=-5 dB。仿真結(jié)果如圖4和圖5所示。圖4反映的是在SNR=-5 dB時(shí)，2種估計(jì)算法對(duì)多普勒頻偏的實(shí)時(shí)估計(jì)值。從圖4可以看出，在低信噪比時(shí)，結(jié)合Kalman濾波的最大似然估計(jì)算法相比單獨(dú)的最大似然估計(jì)算法估計(jì)的頻偏值更接近真實(shí)的頻偏值，能更好地抑制噪聲引起的波動(dòng)。圖5反映的是在SNR=-5 dB時(shí)，2種算法估計(jì)的多普勒頻偏和真實(shí)頻偏的偏差。從圖5可以看出，相比最大似然估計(jì)算法，結(jié)合Kalman濾波的最大似然估計(jì)算法估計(jì)的多普勒頻偏值和真實(shí)頻偏值的偏差小很多，結(jié)合Kalman濾波的最大似然估計(jì)算法估計(jì)的頻偏值能更穩(wěn)定地跟蹤接收信號(hào)中真實(shí)的多普勒頻移。

圖4 SNR=-5 dB時(shí)估計(jì)的實(shí)時(shí)多普勒頻偏值

圖5 SNR=-5 dB時(shí)估計(jì)的多普勒頻偏的偏差值

仿真結(jié)果表明，結(jié)合Kalman濾波的最大似然估計(jì)算法比單獨(dú)的最大似然估計(jì)算法在頻偏估計(jì)的精確度上有較大的改善。

5 結(jié)束語

本文討論了一種基于Kalman濾波結(jié)合最大似然估計(jì)的16APSK頻偏捕獲算法。該算法是開環(huán)結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)簡單，計(jì)算量小。仿真結(jié)果表明，相比最大似然估計(jì)算法，結(jié)合Kalman濾波的最大似然估計(jì)算法在載波的頻偏估計(jì)偏差精度方面有較大的提高。該算法不僅適用于16APSK信號(hào)的頻偏估計(jì)，也適用其他體制信號(hào)的非數(shù)據(jù)輔助的頻偏估計(jì)。該算法具有較好的工程應(yīng)用前景，對(duì)低信噪比條件下信號(hào)快速捕獲的實(shí)際應(yīng)用具有一定的參考價(jià)值。

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