壓電雙材料界面裂紋的強(qiáng)度因子分析

孟廣偉,李榮佳,王 欣,周立明,顧 帥

(吉林大學(xué) 機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院,長春130022)

0 引 言

壓電材料具有良好的力電耦合效應(yīng),在智能材料和智能結(jié)構(gòu)中發(fā)揮著重要的作用,尤其在傳感技術(shù)、驅(qū)動(dòng)技術(shù)、超聲技術(shù)和電子聲學(xué)技術(shù)領(lǐng)域占有重要的地位。在實(shí)際工程中,壓電元件常以層狀結(jié)構(gòu)出現(xiàn)來提升其傳感和驅(qū)動(dòng)效果。壓電材料所固有的脆性,使其在制備及服役過程中易產(chǎn)生界面缺陷,界面裂紋往往是該結(jié)構(gòu)破壞的主要形式。近些年,壓電雙材料界面裂紋的分析取得了一些成果。Govorukha等[1]對(duì)壓電材料的界面裂紋的研究進(jìn)展進(jìn)行了綜述。Ou等[2-4]提出了壓電雙材料在力電耦合作用下的界面裂紋奇異理論。Nishioka等[5-7]給出了含界面裂紋壓電雙材料的J積分。Suo等[8]推導(dǎo)了異相壓電材料界面裂紋尖端處的裂紋張開位移和電勢躍變與強(qiáng)度因子的隱式表達(dá)式。研究壓電雙材料的界面裂紋問題具有重要學(xué)術(shù)價(jià)值。

隨著計(jì)算機(jī)硬件和軟件的發(fā)展,數(shù)值模擬方法成為求解壓電雙材料的斷裂力學(xué)問題不可或缺的手段[9]。Lei等[10]基于邊界元法研究了各向異性壓電雙材料在力電耦合沖擊載荷作用下的動(dòng)態(tài)強(qiáng)度因子。Ma等[11]基于擴(kuò)展有限元法計(jì)算了含裂紋壓電雙材料的J積分。Fang等[12]采用無網(wǎng)格法對(duì)壓電界面裂紋尖端處的應(yīng)力場和電場進(jìn)行了模擬。Zhao等[13]基于Green函數(shù)和位移階躍性對(duì)界面壓電材料進(jìn)行了研究。Gherrous等[14]推導(dǎo)了反平面載荷作用下無限大板和半無限大板J積分公式。Sladek等[15]基于無網(wǎng)格法對(duì)力載作用下的壓電界面裂紋問題進(jìn)行了分析。Loboda等[16]研究了壓電雙材料接觸區(qū)域界面裂紋問題。Feng等[17]分析了壓電雙材料多界面裂紋問題。Choi等[18]對(duì)壓電雙材料三共線反平面裂紋進(jìn)行了研究。目前,新型數(shù)值計(jì)算方法缺乏通用性[19]。求解斷裂參數(shù)的J積分求解較為復(fù)雜,虛擬裂紋閉合法[20]計(jì)算精度相對(duì)較低,工程實(shí)際中需求簡單有效的求解壓電雙材料界面裂紋強(qiáng)度因子方法。

本文基于廣義直接位移法求解裂紋尖端附近的位移場和電場。推導(dǎo)了裂尖強(qiáng)度因子顯示外推公式,并從力電耦合有限元計(jì)算結(jié)果中提取相關(guān)數(shù)據(jù)代入壓電雙材料界面裂紋的位移外推法中,求解了壓電雙材料界面裂紋的強(qiáng)度因子。

1 強(qiáng)度因子的顯示外推公式

考慮廣義平面壓電雙材料問題如圖1所示,

圖1 一個(gè)半無限壓電雙材料的界面裂紋Fig.1 An interface crack in a semi-infinite piezoelectric bimaterials

廣義位移u(位移u i和電勢φ)和廣義應(yīng)力σ(應(yīng)力σi2和合力D2),其一般解可用四維Stroh形式[15]:

式中:pα為式(7)特征方程中虛部大于零的特征值,對(duì)應(yīng)于pα的特征向量為aα(α＝1,2,3,4)。

式中:c ijkl為彈性常數(shù);e kij為壓電常數(shù);g ik為介電常數(shù)。

矩陣A和B由式(7)的特征向量組成:

對(duì)于不可滲透雙壓電材料界面時(shí),Hermitian矩陣Y和H為:

式中:上標(biāo)(1)和(2)代表材料1和材料2。

裂紋尖端場的奇異性歸結(jié)為以下特征值問題:

式中:ω為Hermitian矩陣特征值問題所對(duì)應(yīng)的特征的量。

把矩陣H拆分成一個(gè)實(shí)部D和一個(gè)虛部W,如下:

式中:β為式(18)的根;γ對(duì)應(yīng)的值±ε、±iκ互為共軛對(duì);“tr”為矩陣的跡。

由于W為偶次的反對(duì)稱矩陣,又由于,所以c≤0,因此γ≥0。振蕩參數(shù)ε和κ為:

該問題廣義位移差δi(i＝1,2,3,4)與強(qiáng)度因子K i(i＝1,2,3,4)的關(guān)系為:

式中:K1為Ⅰ型裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子;K2為Ⅱ型裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子;K3為Ⅲ型裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子;K4為電位移強(qiáng)度因子。

式中:r為距裂尖距離。

對(duì)式(24)中的平面和反平面裂紋問題進(jìn)行分析。對(duì)于平面界面裂紋問題,距裂紋尖端r處的張開位移和電勢躍變?yōu)?

式中:I為單位矩陣;E＝WD－1。

整理式(26),得到裂紋尖端強(qiáng)度因子顯示外推公式:

對(duì)于反平面界面裂紋問題,位移場和電勢場仍然保持平方根奇異性,有

式中:c44、e15和g11分別為彈性矩陣系數(shù)、壓電矩陣系數(shù)和介電矩陣系數(shù)。

式(15)可改寫為:

式中:(i)為材料i的材料參數(shù)。

整理式(24),得到反平面裂紋裂尖強(qiáng)度因子顯示外推公式:

2 平面界面裂紋問題

由PZT-4和PZT-5 H組成的中心裂紋為2a的雙壓電材料,材料參數(shù)如表1所示。受σ＝1.0 MPa的拉應(yīng)力和D＝0.001 C/m2的電位移,極化方向?yàn)閤2方向,幾何尺寸為2d＝40 mm×40 mm,中心裂紋長度2a＝4 mm,如圖2所示。由于載荷和結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性,取模型的一半計(jì)算,ABAQUS采用CPS8E單元,裂尖處采用圖3～圖5所示的開裂前3種單元?jiǎng)澐帜Ｊ?Ⅰ:圓形加密、Ⅱ:均勻加密和Ⅲ:矩形加密)。

表2給出了不同載荷及網(wǎng)格加密時(shí)距裂紋尖端0.02a處的裂紋張開位移和電勢躍變,由顯示外推公式(30)得到其強(qiáng)度因子。表3給出了3種網(wǎng)格加密形式時(shí)力場單獨(dú)作用下強(qiáng)度因子計(jì)算結(jié)果與解析解,并給出了誤差。表4給出了3種網(wǎng)格加密形式時(shí)電場單獨(dú)作用下強(qiáng)度因子計(jì)算結(jié)果與解析解。表5給出了3種網(wǎng)格加密形式時(shí)力電耦合作用下強(qiáng)度因子計(jì)算結(jié)果與解析解,并給出了誤差?？梢?3種計(jì)算模型下均得到了精度較高的強(qiáng)度因子,與解析解比較,最大誤差僅為3.9%,采用圓形加密方式下的強(qiáng)度因子計(jì)算精度最高。

表1 材料常數(shù)Table 1 Material constants

圖2 雙壓電材料中心界面裂紋Fig.2 Interfacial center crack in piezoelectric bimaterials

圖3 裂尖圓形加密(Elements:4026)Fig.3 Round refinement at crack tip(Elements:4026)

圖4 裂尖均勻加密(Elements:5418)Fig.4 Uniform refinement at crack tip(Elements:5418)

圖5 裂尖矩形加密(Elements:6987)Fig.5 Rectangular refinement at crack tip(Elements:6987)

表2 不同載荷及網(wǎng)格加密時(shí)裂紋張開位移與電勢躍變Table 2 Crack opening displacement and electric potential jump by different loadings and mesh refinement methods

表3 在力載荷作用時(shí)不同網(wǎng)格加密下強(qiáng)度因子Table 3 Intensity factors by different mesh refinement methods under mechanical loading

表4 在電載荷作用時(shí)不同網(wǎng)格加密下強(qiáng)度因子Table 4 Intensity factors by different mesh refinement methods under electric loading

表5 在力電載荷作用時(shí)不同網(wǎng)格加密下強(qiáng)度因子Table 5 Intensity factors by different mesh refinement methods under electromechanical loading

圖6和圖7分別給出了電載荷作用時(shí)圓形加密方式下裂紋線上節(jié)點(diǎn)位移值和電勢值,提取裂紋尖端后面0.02a～0.6a范圍附近裂紋張開位移及電勢躍變可以得到穩(wěn)定收斂的強(qiáng)度因子。對(duì)于裂紋尖端網(wǎng)格加密方式,在CPU:Inter(R)Core(TM)i5-3470 3.20 GHz,RAM:8GB情況下,力電載荷作用時(shí),圓形加密耗時(shí)1.7 s,均勻加密耗時(shí)2.2 s,矩形加密耗時(shí)2.9 s。裂尖采用圓形加密方式計(jì)算強(qiáng)度因子具有方法便捷、精度高、耗時(shí)少等優(yōu)點(diǎn)。

圖8～圖10分別給出了力電載荷作用下,加密區(qū)域內(nèi)單元類型和數(shù)量不變,采用圓形網(wǎng)格加密時(shí)單元個(gè)數(shù)(3058、4026、5907、8256、10866和13217)與強(qiáng)度因子的關(guān)系圖。可見,強(qiáng)度因子受加密區(qū)域以外的單元影響比較小,主要受加密區(qū)域內(nèi)單元的加密形式的影響。

圖6 電載荷作用時(shí)裂紋張開位移Fig.6 Crack opening displacement under electric loading

圖7 電載荷作用時(shí)電勢躍變Fig.7 Electric potential jump under electric loading

圖8 強(qiáng)度因子K1與單元個(gè)數(shù)的關(guān)系Fig.8 Relationship between intensity factor K1 and number of elements

圖9 強(qiáng)度因子K2與單元個(gè)數(shù)的關(guān)系Fig.9 Relationship between intensity factor K2 and number of elements

圖10 強(qiáng)度因子K4與單元個(gè)數(shù)的關(guān)系Fig.10 Relationship between intensity factor K4 and number of elements

3 反平面界面裂紋問題

如圖11所示,無限大壓電雙材料中有一中心長為2a＝10 mm的穿透裂紋,材料參數(shù)由PZT-5H和PZT-4組成。在邊界受遠(yuǎn)場載荷τ＝5.94 MPa和D＝0.003 C/m2,x1軸沿界面方向,x3軸為壓電材料的極化方向。

圖11 壓電雙材料反平面界面裂紋Fig.11 Anti-plane interface crack in piezoelectric bimaterials

表6給出了力電載荷作用時(shí)反平面界面強(qiáng)度因子計(jì)算結(jié)果與解析解,并給出了誤差。與解析解比較,最大誤差僅4.8%。可見,本文方法具有方法便捷、精度高等優(yōu)點(diǎn)。

表6 在力電載荷作用時(shí)反平面界面強(qiáng)度因子Table 6 Anti-plane interface intensity factors under electromechanical loading

4 結(jié) 論

(1)基于強(qiáng)度因子顯示外推公式,通過提取相應(yīng)裂紋張開位移和電勢躍變計(jì)算強(qiáng)度因子具有方法便捷、精度高等優(yōu)點(diǎn)。

(2)當(dāng)裂尖處采用圓形區(qū)域加密時(shí),求解精度最高,效率最高。

(3)強(qiáng)度因子受加密區(qū)域以外的單元影響比較小,主要受加密區(qū)域內(nèi)單元加密形式的影響。

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