基于自適應(yīng)無跡卡爾曼濾波算法的多股螺旋彈簧動態(tài)響應(yīng)模型參數(shù)辨識和分析

丁傳俊， 張相炎， 劉寧

(南京理工大學(xué) 機械工程學(xué)院， 江蘇 南京 210094)

0 引言

多股螺旋彈簧(簡稱多股簧)是由多股鋼絲擰成鋼索卷制而成的圓柱螺旋彈簧，如圖1所示。和普通單股彈簧相比，多股簧抗沖擊性能好、吸振能力強、具有較大的剛度和非線性阻尼、壽命長，常被用作為小口徑自動武器的緩沖復(fù)進簧[1-2]。

圖1 多股簧Fig.1 A stranded wire helical spring

由于構(gòu)成彈簧的各股鋼絲之間存在著復(fù)雜的接觸(擠壓)和摩擦，多股簧在加載過程中具有明顯的非線性剛度和遲滯特性[2]。為描述這兩種復(fù)雜的特性，文獻[2-3]建立了多股簧的靜態(tài)折線模型，但剛度上的突變難以真實地反映系統(tǒng)的加載和卸載特性；文獻[4]提出了多股簧的動態(tài)修正Bouc-Wen模型，該模型作為光滑曲線模型，認為恢復(fù)力不僅與加載位移有關(guān)，還與加載路徑有關(guān)。由于光滑曲線模型的恢復(fù)力與加載位移的光滑過渡特性比較符合實際，通過選擇適當?shù)哪Ｐ蛥?shù)可以構(gòu)造出不同能耗、漸硬或漸軟特性的遲滯模型，因此適合于多股簧建模。

Bouc-Wen模型及其修正模型是一個復(fù)雜的非線性遲滯模型，對其參數(shù)辨識存在一定的難度，目前主要的辨識算法大體上可以分為迭代算法[5-12]和解析算法[4,13]。文獻[5]和文獻[6]使用最小二乘法分別對結(jié)合面遲滯非線性模型和Kevlar繩索非對稱遲滯模型進行了參數(shù)辨識；文獻[7]和文獻[8]分別使用無跡卡爾曼濾波(UKF)算法、約束UKF(CUKF)算法對工程結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)模型進行了參數(shù)辨識；文獻[9]提出了辨識多股簧動態(tài)模型的兩步法，其第2步使用迭代UKF(IUKF)算法可以辨識出遲滯部分的3個參數(shù)；文獻[10-12]分別使用差分演進算法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化算法和粒子云算法求解出遲滯模型的參數(shù)；文獻[13]提出了一種無需迭代的解析算法，但該算法需要事先將恢復(fù)力的遲滯部分分離出來，而且只能辨識標準Bouc-Wen模型參數(shù)；文獻[4]在文獻[13]的基礎(chǔ)上添加了局部優(yōu)化算法，提出用于辨識非標準Bouc-Wen模型參數(shù)的三步法，其本質(zhì)是解析算法和迭代算法的結(jié)合。

近些年來，基于點的高斯非線性自適應(yīng)濾波算法在伺服系統(tǒng)控制、飛行器跟蹤和模型參數(shù)在線辨識等領(lǐng)域獲得了廣泛的應(yīng)用。文獻[14]將自適應(yīng)估計原理和模糊控制算法引入到UKF算法中，形成自適應(yīng)聯(lián)合UKF(AJUKF)算法，發(fā)現(xiàn)該算法能夠很好地抑制初始化誤差、系統(tǒng)噪聲不確定性和環(huán)境異常擾動對機械臂故障探測和診斷過程的影響；通過使用自適應(yīng)容積卡爾曼濾波(ACKF)算法，文獻[15]有效地提高了陸基導(dǎo)航系統(tǒng)的導(dǎo)航精度；文獻[16]基于協(xié)方差匹配原理，提出一種基于協(xié)方差匹配的自適應(yīng)UKF濾波(CMAUKF)算法，并將其應(yīng)用于飛行器的慣性導(dǎo)航系統(tǒng)(INS)與全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)(GNSS)集成導(dǎo)航，其結(jié)論是自適應(yīng)濾波算法對具有狀態(tài)突變的機動目標有很好的跟蹤能力。

為了解決當前多股簧動態(tài)模型參數(shù)辨識過程中操作過程復(fù)雜、待辨識參數(shù)多和求解精度低等問題，本文提出了多股簧參數(shù)辨識的自適應(yīng)UKF濾波(AUKF)算法。該算法基于極大后驗估計原理(MAP)和指數(shù)加權(quán)衰減原理[17]，能夠?qū)Χ喙苫稍囼灁?shù)據(jù)中的量測(過程)噪聲進行遞推和估計，確保非線性模型參數(shù)辨識的收斂性。AUKF算法既不需要對試驗數(shù)據(jù)進行平滑處理，也不需要事先分離恢復(fù)力的遲滯部分，可辨識參數(shù)數(shù)量多且速度快、精度高。通過對某自動武器的復(fù)進簧進行動態(tài)加載試驗并對含有量測噪聲的試驗數(shù)據(jù)進行測試，驗證了本文算法的準確性和有效性。

1 AUKF算法

UKF算法通過構(gòu)造一組可調(diào)權(quán)重的采樣點，并通過非線性函數(shù)傳播來估計系統(tǒng)狀態(tài)的均值和協(xié)方差，濾波精度至少可以達到2階。但在實際使用過程中，這種濾波算法對初始值的選取比較敏感，需多次調(diào)節(jié)初始參數(shù)才能獲得較好的結(jié)果。此外，由于動力學(xué)模型和試驗過程存在不確定性，噪聲統(tǒng)計特性易發(fā)生變化，UKF算法由于本身不具備應(yīng)對噪聲統(tǒng)計變化的調(diào)節(jié)能力，容易出現(xiàn)濾波精度下降甚至發(fā)散。AUKF算法作為UKF算法的改進，通過實時遞推計算并更新量測噪聲(過程噪聲)可以有效地提高參數(shù)辨識過程的計算精度和數(shù)值穩(wěn)定性。

設(shè)系統(tǒng)的非線性狀態(tài)方程和觀測方程分別為

(1)

式中：xk與zk分別為狀態(tài)向量和量測向量；f(xk-1)與h(xk)分別是非線性狀態(tài)函數(shù)和量測函數(shù)；wk-1和vk是分別服從于N(q,Q)和N(r,R)的系統(tǒng)噪聲和觀測噪聲，它們是互不相關(guān)的高斯白噪聲，其中q、Q、r、R分別為系統(tǒng)噪聲和觀測噪聲的均值及協(xié)方差。

初始狀態(tài)x0和wk-1、vk互不相關(guān)，且服從高斯正態(tài)分布，其均值和協(xié)方差矩陣為

(2)

為了提高AUKF算法的收斂能力，首先將系統(tǒng)狀態(tài)向量和協(xié)方差矩陣進行增廣處理[18]：

(3)

式中：q0、Q0是系統(tǒng)狀態(tài)噪聲的初始均值及初始協(xié)方差矩陣。

AUKF算法的具體流程如下：

1)初始化。使用(4)式計算(2nS+1)個Sigma點及其相應(yīng)的權(quán)值：

(4)

2)時間更新。采用無跡變換對每個Sigma點進行非線性變換，并計算變換后的均值和協(xié)方差矩陣：

(5)

3)觀測更新。采用無跡變換對系統(tǒng)的觀測進行更新：

(6)

4)狀態(tài)增廣。使用卡爾曼增益對系統(tǒng)的均值和協(xié)方差矩陣進行更新，得到后驗的狀態(tài)估計：

(7)

5) 噪聲估計。文獻[17]證明了基于MAP的常值噪聲估計器的無偏性。當系統(tǒng)模型的不確定性較大或者狀態(tài)發(fā)生突變時，基于極大后驗準則、帶噪聲估計器的AUKF算法可以在濾波過程中利用測量數(shù)據(jù)對噪聲特性進行實時動態(tài)估計，然后將得到的噪聲信息用于UKF算法的狀態(tài)參數(shù)估算，最終獲得次優(yōu)系統(tǒng)狀態(tài)估計值。當噪聲統(tǒng)計變化較慢時，可以采用漸消記憶指數(shù)加權(quán)來強調(diào)新近數(shù)據(jù)的作用，即對新近的噪聲信息乘以漸消記憶因子dk. 因此，k時刻漸消記憶時變噪聲統(tǒng)計估計器k、k、k和k的遞推公式為

(8)

式中：εk為測量結(jié)果的預(yù)測誤差；b為遺忘因子，取值范圍一般為0.95≤b≤0.99. 若k和k在計算過程中為負值，則使用(9)式進行替代計算：

(9)

2 多股簧的非線性響應(yīng)模型及AUKF算法計算初始化

2.1 標準化Bouc-Wen遲滯模型

文獻[13]認為經(jīng)典Bouc-Wen模型存在冗余參數(shù)，并提出精簡參數(shù)的標準化Bouc-Wen遲滯模型，其數(shù)學(xué)表達式為

(10)

式中：F(t)為彈簧的恢復(fù)力；x(t)、t分別為位移和時間；κx、κω分別為屈服后剛度系數(shù)和遲滯部分初始剛度；ω(t)為純遲滯分量，對于任意的x(t)，都有|ω(t)|≤1；ρ、σ、n為控制純遲滯分量ω曲線形狀的遲滯三參數(shù)。文獻[13]進一步指出標準化Bouc-Wen模型只有在滿足σ≥0.5時才有物理意義，而且在實際應(yīng)用中，若n<1則會使微分方程的右端出現(xiàn)無限大的量，從而導(dǎo)致計算發(fā)散。

2.2 修正的標準化Bouc-Wen遲滯模型

為了獲得遲滯模型的非對稱曲線，文獻[4]提出使用非線性剛度系數(shù)和非線性放大因子來代替標準化模型中的線性屈服后剛度系數(shù)和遲滯部分初始剛度，兩者均用多項式表示：

(11)

式中：FE和FA分別是恢復(fù)力的非線性彈性部分和非線性放大部分；kEi和kAi分別是非線性剛度系數(shù)和非線性放大因子；N是多項式的階數(shù)，一般取2階或3階。

從而得到可以描述多股簧動態(tài)響應(yīng)的修正標準化Bouc-Wen遲滯模型：

(12)

2.3 方程離散及計算參數(shù)初始化

當前算法需要定義系統(tǒng)的狀態(tài)向量x為

x=[x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10]T=
[kE0,kE1,kE2,kA0,kA1,kA2,ω,ρ,σ,n]T.

(13)

(14)

(15)

與此對應(yīng)的系統(tǒng)離散觀測方程為

(16)

因為部分模型參數(shù)有界限約束(σ≥0.5、n≥1)，所以設(shè)置初始狀態(tài)估計值為

0=-100,10,1,100,10,1,1,5,50,5T.

(17)

設(shè)置初始狀態(tài)協(xié)方差矩陣為

P0=diag(100,100,100,100,100,100,1,1,10,1).

(18)

文獻[17]建議過程噪聲和量測噪聲不要同時更新，否則濾波精度將會變差。由于系統(tǒng)的動力學(xué)模型比較確定，而對動態(tài)試驗過程中的量測噪聲統(tǒng)計特性不太肯定，因此本算法不更新過程噪聲的統(tǒng)計特性；過程噪聲的均值和協(xié)方差矩陣分別設(shè)定為q0=qk=01×10、Q0=Qk=10-5I10，量測噪聲的初始均值和協(xié)方差分別設(shè)定為r0=0、R0=10.

3 多股簧力學(xué)試驗

當前動力學(xué)試驗裝置為瑞士w+b公司生產(chǎn)的動態(tài)疲勞試驗機，試驗裝置如圖2所示。兩根性質(zhì)相同的多股簧被安裝在上、下夾持件之間，并穿過各自的導(dǎo)桿以防止在加載過程中彎曲；下夾持件在試驗過程中保持固定，上夾持件通過試驗機夾頭施加簡諧激勵信號x(t)。多股簧的變形量為上夾頭的位移，多股簧恢復(fù)力通過下夾頭下的傳感器測得。

當前試驗的多股簧為某自動武器的復(fù)進簧，長600 mm，彈簧外徑19.5 mm；彈簧由4根高級碳素彈簧鋼鋼絲繞制而成，鋼絲直徑為1.6 mm. 由于自動武器中的多股簧只能承受壓縮變形，所以在試驗之前對多股簧施加了260 mm的預(yù)壓量，從而保證多股簧在試驗中一直處于壓縮狀態(tài)。當前動態(tài)試驗對多股簧按照一定的幅值和頻率循環(huán)加載，加載幅值從20 mm到45 mm不等，加載頻率從0.05 Hz到1.50 Hz不等，系統(tǒng)的采樣頻率為1 kHz，圖3即為不同加載幅值下、加載頻率為0.50 Hz時測得的復(fù)進簧響應(yīng)曲線。

圖3 實測的多股簧響應(yīng)Fig.3 Measured responses of stranded wire helical spring

4 參數(shù)辨識結(jié)果和分析

4.1 參數(shù)辨識結(jié)果

將第3節(jié)試驗輸出的位移、恢復(fù)力數(shù)據(jù)輸入到AUKF算法中即可對多股簧的模型參數(shù)進行遞推計算。為檢驗當前參數(shù)辨識算法的有效性，本文將對比文獻[9]所用的兩步法(兩步法首先采用最小二乘法求得非遲滯部分參數(shù)，再使用IUKF算法求解遲滯部分三參數(shù))、文獻[4]提出的三步法(三步法首先采用最小二乘法求得非遲滯部分參數(shù)，再使用解析法求解遲滯部分三參數(shù)，最后對全部參數(shù)進行優(yōu)化)、文獻[10]提出的差分演進算法(固定參數(shù)n的值)。

圖5 系統(tǒng)狀態(tài)的估計值Fig.5 Estimation of system states

量測噪聲統(tǒng)計估計值、系統(tǒng)狀態(tài)的估計值分別如圖4和圖5所示。從圖4中可以看出，在濾波初期，因量測噪聲的統(tǒng)計未知或不準確，系統(tǒng)各個狀態(tài)的估計值波動較小，但隨著基于漸消記憶加權(quán)的噪聲統(tǒng)計估計器從加載位移換向時刻(0.5 s前后)開始對量測噪聲均值r和方差R進行有效跟蹤，各個狀態(tài)的估計值逐漸趨于收斂，AUKF算法對各個狀態(tài)的濾波效果由壞轉(zhuǎn)好。在加載換向之前，多股簧實測數(shù)據(jù)中的遲滯量ω≈1，由于響應(yīng)模型中系統(tǒng)初值ω設(shè)定為1，因此濾波過程前期并沒有體現(xiàn)出應(yīng)有的效果；而在加載換向時遲滯量ω≠1，由于和系統(tǒng)初值相差較大，AUKF算法迭代時出現(xiàn)一定的波動。當濾波過程趨于平穩(wěn)后，此時量測噪聲均值r、協(xié)方差R的范數(shù)穩(wěn)態(tài)值分別約為0.157和2.5.

圖4 量測噪聲的統(tǒng)計特性Fig.4 Measurement noise statistics

為了能夠定量分析參數(shù)辨識的效果并方便和其他幾種算法對比，本文使用參數(shù)辨識結(jié)果仿真出來的恢復(fù)力和試驗數(shù)據(jù)來計算恢復(fù)力的均方根誤差(RMSE)：

(19)

圖6 4種算法的誤差曲線Fig.6 Estimated error curves of four algorithms

從圖5、圖6和表1中可以看出，由于AUKF算法通過直接對遲滯部分和非遲滯部分參數(shù)進行遞推求解，不僅所需時間最少，而且計算精度也較兩步法提高了1倍以上，這說明精確計算量測噪聲統(tǒng)計特性的重要性。雖然AUKF算法辨識出的非線性剛度系數(shù)和非線性放大因子趨近于兩步法獲得的結(jié)果，但從精度上來說，AUKF算法辨識的結(jié)果高于兩步法的結(jié)果，其原因在于AUKF算法求解前不需要對數(shù)據(jù)進行平滑、節(jié)選處理；兩步法的第2步中含有迭代過程，耗時有所增加且精度不佳，在量測噪聲統(tǒng)計特性未知或者不準確時，遲滯參數(shù)ρ持續(xù)波動、σ和n陷入停滯，算法最終無法準確求解出遲滯部分參數(shù)，濾波精度嚴重下降以至于和試驗結(jié)果有較大的偏差；三步法和差分演進算法雖然都能獲得較好的精度，但都比較耗時。而且兩步法和三步法都需要在計算之前對數(shù)據(jù)平滑降噪和分離處理，如果試驗時加載的幅值較小，則所分離的遲滯部分將含有較大的誤差。

表1 4種算法的RMSE和耗時的對比

4.2 量測噪聲對參數(shù)辨識精度的影響

為了分析噪聲對AUKF算法參數(shù)辨識過程的影響，本文對實測恢復(fù)力數(shù)據(jù)添加了不同強度級別的噪聲，噪聲等級C分別為取為0.01、0.03、0.05、0.07，帶噪聲數(shù)據(jù)的生成表達式為

Fc=F0+CArRn，

(20)

式中：Rn為標準正態(tài)分布的隨機數(shù)向量；Ar為試驗數(shù)據(jù)F0的幅值，

(21)

將含有噪聲的數(shù)據(jù)(幅值40 mm)代入AUKF算法，辨識結(jié)果如圖7所示。從圖7(c)和圖7(d)中可以看出，即使在量測噪聲較高的情況下，AUKF算法辨識的結(jié)果依然能夠較為精確地匹配試驗數(shù)據(jù)；但是隨著噪聲等級的增加，辨識出來的恢復(fù)力- 位移曲線的光滑性變差，特別是在位移換向之后的加載過程中。AUKF算法辨識出的參數(shù)如表2所示，可以看出遲滯部分3個參數(shù)隨著噪聲等級的增加而持續(xù)增大，其中σ的收斂性變差，已經(jīng)偏離無噪聲時的最優(yōu)解，但非遲滯部分參數(shù)基本不變(為了表述的簡潔性，表2已將kEi和kAi按照x的升冪寫成向量形式kE和kA)。

圖7 不同噪聲級別下的預(yù)測響應(yīng)Fig.7 Predicted responses under different noise levels

與此同時，本文也對比了其他算法在不同噪聲級別下的表現(xiàn)。由于兩步法對試驗數(shù)據(jù)的平滑特性要求較高，當噪聲等級超過一定程度時(C=0.03)，計算過程會因為求解矩陣出現(xiàn)負定而中斷，因此本文算法只和三步法、差分演進算法的求解結(jié)果相對比。從表3中可以看出，AUKF算法所辨識的參數(shù)精度均高于其他兩種算法，但AUKF算法的耗時基本不變；隨著噪聲等級的增大，三步法和差分演進算法的耗時都有所增加，而且差分演進算法經(jīng)常會因為參數(shù)陷入局部解而導(dǎo)致求解過程停滯。有必要說明的是，當前帶噪聲統(tǒng)計估計器的AUKF算法只適用于噪聲為加性白噪聲的非線性系統(tǒng)；在參數(shù)設(shè)置方面，AUKF算法對遲滯三參數(shù)的初始狀態(tài)誤差協(xié)方差的選擇比較敏感。

4.3 多股簧動態(tài)響應(yīng)的預(yù)測誤差分析

文獻[4]和文獻[9]認為多股簧的動態(tài)響應(yīng)具有區(qū)間重疊特性，即較大振幅試驗數(shù)據(jù)所辨識的參數(shù)可以用來預(yù)測較小振幅的多股簧響應(yīng)。為了驗證這一結(jié)論，本文基于45 mm幅值(振動頻率0.50 Hz)的試驗數(shù)據(jù)所辨識的參數(shù)分別來預(yù)測40 mm、30 mm、20 mm振幅下的響應(yīng)，其RMSE分別為5.961 3 N、6.371 3 N、8.326 7 N. 從圖8中可以看出，小振幅情況下的試驗結(jié)果和預(yù)測結(jié)果差別比較大，主要體現(xiàn)在位移換向的兩端。出現(xiàn)這種誤差的原因在于小振幅下的多股簧簧絲在大部分加載過程中處于擰緊和相互擠壓狀態(tài)，簧絲之間的相對運動有所減少，彈簧內(nèi)部的摩擦耗能有所降低，從而導(dǎo)致遲滯三參數(shù)發(fā)生改變。因此基于當前試驗結(jié)果，本文認為上面結(jié)論的適用范圍是，動態(tài)情況下所要預(yù)測的多股簧響應(yīng)，其振幅不能和參數(shù)辨識所用的振幅相差太大，即幅值的減少量應(yīng)當控制在一個合理的范圍內(nèi)。

4.4 加載速度對非遲滯部分參數(shù)的影響

文獻[19]認為加載速度的增大會改變多股簧簧絲之間的接觸和摩擦特性，從而使多股簧的模型參數(shù)發(fā)生變化。為了研究多股簧動態(tài)模型參數(shù)的變化特性，本文進行了不同振動頻率的加載試驗。加載幅值為20 mm，振動頻率分別為0.05 Hz、0.10 Hz、0.50 Hz、1.00 Hz、1.50 Hz，其對應(yīng)的初始速度分別為6.83 mm/s、13.56 mm/s、72.25 mm/s、144.17 mm/s、214.99 mm/s. 使用AUKF算法對試驗結(jié)果進行參數(shù)辨識后發(fā)現(xiàn)，遲滯三參數(shù)的變化不大，因此表4中只列出對應(yīng)的非線性剛度系數(shù)和非線性放大因子。從表4中得知，隨著加載速度的增大，AUKF算法的預(yù)測誤差也逐漸增大，這說明隨著速度的增加，試驗系統(tǒng)的量測噪聲也在增大；與此同時，0階非線性剛度系數(shù)有所增大，0階非線性放大因子持續(xù)降低，而其他參數(shù)變化較小。因此本文認為，對于特定的多股簧，若使用修正標準化Bouc-Wen模型，則其動態(tài)響應(yīng)模型中的遲滯三參數(shù)一般可以取為定值，而非線性剛度系數(shù)和非線性放大因子則隨著加載速度的變化而變化。

表2 不同噪聲級別下AUKF算法辨識的多股簧參數(shù)

表3 不同噪聲級別下3種算法的預(yù)測響應(yīng)RMSE和耗時的對比

Tab.3 Comparison of predicted response RMSEs and running times of three algorithms under different noise levels

C三步法[4]差分演進算法[10]AUKF算法RMSE/N耗時/sRMSE/N耗時/sRMSE/N耗時/s00130388134772807825094269536390034896212948508442549247060626005750823310479041259287032462700799063473761053682911594992623

圖8 實測響應(yīng)和AUKF算法預(yù)測響應(yīng)Fig.8 Measured and predicted responses by AUKF

表4 非線性剛度系數(shù)和非線性放大因子的辨識結(jié)果

5 結(jié)論

1)基于修正的標準化Bouc-Wen模型，本文提出多股簧動態(tài)響應(yīng)模型參數(shù)辨識的AUKF算法，該算法在濾波計算的同時，利用噪聲統(tǒng)計估計器對未知的噪聲特性進行實時估計和修正，有效地提高了參數(shù)辨識的速度和精度。

2)隨著量測噪聲等級的增大，使用AUKF算法辨識參數(shù)時，參數(shù)σ和n的收斂性逐漸變差，而非線性剛度系數(shù)和非線性放大因子幾乎不受影響。

3)通過試驗發(fā)現(xiàn)，動態(tài)情況下所要預(yù)測的多股簧響應(yīng)，若其振幅和參數(shù)辨識所用的振幅相差太大，則導(dǎo)致較大的預(yù)測誤差。

4)使用修正的標準化Bouc-Wen模型時，多股簧非線性剛度系數(shù)和非線性放大因子與速度有關(guān)。從當前低速動態(tài)試驗的結(jié)果來看，0階非線性剛度系數(shù)有所增大，0階非線性放大因子逐漸減小，而其他參數(shù)變化較小。

致謝：中國空氣動力研究與發(fā)展中心的趙煜博士在本文構(gòu)思過程中提出了許多寶貴意見，作者對此表示非常感謝。

)

[1] 于道文. 多股螺旋彈簧的動應(yīng)力及其有效壽命[J].南京理工大學(xué)學(xué)報, 1994 (3): 24-29.

YU Dao-wen. Dynamic stress of stranded wire helical spring and its useful life[J]. Journal of Nanjing University of Science and Technology, 1994 (3): 24-29. (in Chinese)

[2] 王時龍, 周杰, 李小勇, 等. 多股螺旋彈簧[M].北京: 科學(xué)出版社, 2011: 47-51.

WANG Shi-long, ZHOU Jie, LI Xiao-yong, et al. Stranded wire helical spring[M]. Beijing: Science Press, 2011: 47-51. (in Chinese)

[3] 閔建軍, 王時龍. 多股螺旋彈簧動態(tài)計算分析[J].機械工程學(xué)報, 2007, 43(3): 199-203.

MIN Jian-jun, WANG Shi-long. Dynamic design method for stranded wire helical spring [J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering, 2007, 43(3): 199-203. (in Chinese)

[4] Zhao Y, Wang S L, Zhou J, et al. Three-stage method for identifying the dynamic model parameters of stranded wire helical springs[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering, 2015, 28(1): 197-207.

[5] 李玲,蔡安江, 蔡立剛, 等. 基于Bouc-Wen模型辨識結(jié)合面動態(tài)特性研究[J]. 振動與沖擊, 2013, 32(20): 139-144.

LI Ling, CAI An-jiang, CAI Li-gang, et al. Dynamic characteristics identification of joint interfaces based on a Bouc-Wen model[J]. Journal of Vibration and Shock, 2013, 32(20): 139-144. (in Chinese)

[6] 易琳, 王班, 郭吉豐. Kevlar繩索非對稱遲滯模型及參數(shù)識別[J]. 浙江大學(xué)學(xué)報:工學(xué)版, 2015, 49(7): 1376-1381.

YI Lin, WANG Ban, GUO Ji-feng. Modeling and identification of asymmetric hysteresis for Kevlar tether[J]. Journal of Zhejiang University:Engineering Science, 2015, 49(7): 1376-1381. (in Chinese)

[7] 韓強, 董慧慧, 郭婕. 考慮強度和剛度退化及捏攏效應(yīng)的鋼筋混凝土橋墩滯回模型及其參數(shù)識別[J]. 振動工程學(xué)報, 2015, 28(3): 381-393.

HAN Qiang, DONG Hui-hui, GUO Jie. Hysteresis model and parameter identification of RC bridge piers considering strength and stiffness degradation and pinching effect[J]. Journal of Vibration Engineering, 2015, 28(3): 381-393. (in Chinese)

[8] 王濤, 吳斌, 孟麗巖, 等. 約束UKF初始參數(shù)對Bouc-Wen模型參數(shù)識別的影響[J]. 黑龍江科技大學(xué)學(xué)報, 2014, 24(6): 651-657.

WANG Tao, WU Bin, MENG Li-yan, et al. Effects of initial parameters of constrained UKF on parameter identification for Bouc-Wen model[J]. Journal of Heilongjiang University of Science and Technology, 2014, 24(6): 651-657. (in Chinese)

[9] 程成. 周期載荷下多股簧的動力學(xué)模型及響應(yīng)特性研究[D]. 重慶: 重慶大學(xué), 2014: 30-44.

CHENG Cheng. Study of modeling and responses characteristics of stranded wire helical spring under periodic loading[D]. Chongqing: Chongqing University, 2014: 30-44. (in Chinese)

[10] Worden K, Manson G. On the identification of hysteretic systems. Part I: fitness landscapes and evolutionary identification[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2012, 29(5): 201-212.

[11] Fu Z J, Xie W F, Luo W D. Robust on-line nonlinear systems identification using multilayer dynamic neural networks with two-time scales[J]. Neurocomputing, 2013, 113(7): 16-26.

[12] Quaranta G, Marano G C, Greco R, et al. Parametric identification of seismic isolators using differential evolution and particle swarm optimization[J]. Applied Soft Computing, 2014, 22(5): 458-464.

[13] Ikhouane F, Rodellar J. On the hysteretic Bouc-Wen model[J]. Nonlinear Dynamics, 2005, 42(1): 79-95.

[14] Shabbouei H Y, Mohammadi A R, Cocquempot V. A hybrid robust fault tolerant control based on adaptive joint unscented Kalman filter[J]. ISA Transactions, 2017, 66: 262-274.

[15] Liu M, Lai J Z, Li Z M, et al. An adaptive cubature Kalman filter algorithm for inertial and land-based navigation system[J]. Aerospace Science and Technology, 2016, 51(2): 52-60.

[16] Meng Y, Gao S S, Zhong Y M, et al. Covariance matching based adaptive unscented Kalman filter for direct filtering in INS/GNSS integration[J]. Acta Astronautica, 2016, 120: 171-181.

[17] 趙琳, 王小旭, 孫明, 等. 基于極大后驗估計和指數(shù)加權(quán)的自適應(yīng)UKF 濾波算法[J]. 自動化學(xué)報, 2010, 36(7): 1007-1019.

ZHAO Lin, WANG Xiao-xu, SUN Ming, et al. Adaptive UKF filtering algorithm based on maximum a posterior estimation and exponential weighting[J]. Acta Automatic Sinica, 2010, 36(7): 1007-1019. (in Chinese)

[18] Wu Y X, Hu D W, Wu M P, et al. Unscented Kalman filtering for additive noise case: augmented vs. non-augmented[C]∥Proceedings of the 2005 American Control Conference. Protland, OR, US:IEEE, 2005: 4051-4055.

[19] 田波. 沖擊載荷作用下多股簧動態(tài)特性試驗研究[D]. 重慶大學(xué), 2014: 58-64.

TIAN Bo. Experimental study of dynamic characteristics of stranded wire helical springs under shock load[D]. Chongqing: Chongqing University, 2014: 58-64. (in Chinese)