基于分形統(tǒng)計(jì)測度的投資組合研究

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(1.成都理工大學(xué)商學(xué)院，成都 610059；2.廣州大學(xué)經(jīng)濟(jì)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣州 510006)

0 引言

現(xiàn)代投資組合理論(Modern Portfolio Theory, MTP)自創(chuàng)立至今已有60余年[1]。MTP研究的核心問題是投資者如何通過構(gòu)建投資組合將資金分散地投資于不同資產(chǎn)實(shí)現(xiàn)分散風(fēng)險(xiǎn)和確保收益。MTP既是現(xiàn)代金融學(xué)的開端，也是現(xiàn)代金融理論研究的動(dòng)力，在金融理論研究和金融實(shí)務(wù)操作中均占據(jù)著重要的地位。目前，已有大量學(xué)者對(duì)MTP進(jìn)行了研究，并取得了一些成果[2-5]。雖然這些成果豐富了MTP，但是現(xiàn)有成果在構(gòu)建投資組合時(shí)主要使用均值、方差、下偏方差、模糊數(shù)學(xué)、條件在險(xiǎn)價(jià)值、集成預(yù)測熵等方法來測量證券的收益和風(fēng)險(xiǎn)[4-6]。在證券價(jià)格沒有分形特征時(shí)，使用均值、方差、下偏方差、模糊數(shù)學(xué)等方法也許能夠準(zhǔn)確地測量出證券的收益和風(fēng)險(xiǎn)。然而，大量研究表明證券價(jià)格普遍具有明顯的分形特征[7-11]，如：有學(xué)者實(shí)證發(fā)現(xiàn)衍生品和現(xiàn)貨市場都具有分形特征[7]，有學(xué)者實(shí)證發(fā)現(xiàn)上海和深圳股票市場均有多重分形特征[9-10]，還有學(xué)者實(shí)證發(fā)現(xiàn)32個(gè)國家的股票指數(shù)均具有分形特征[11]。此時(shí)，使用這些方法測量證券的收益和風(fēng)險(xiǎn)便存在難以準(zhǔn)確測量甚至無法測量的缺陷[12-14]。

具體而言，當(dāng)證券價(jià)格具有分形特征時(shí)，證券價(jià)格波動(dòng)服從分形布朗運(yùn)動(dòng)，證券收益率服從分形分布，表現(xiàn)出自相似性、標(biāo)度不變性、長記性等特征，呈現(xiàn)出無窮精細(xì)的復(fù)雜結(jié)構(gòu)[11-15]。已有學(xué)者明確指出，對(duì)于價(jià)格具有分形特征的證券，分形方法是刻畫其特征的有力工具[13-14]；隨后，大量學(xué)者的研究表明，當(dāng)正確價(jià)格具有分形特征時(shí)，只有使用分形方法來測量證券的收益和風(fēng)險(xiǎn)等特征，所得到的結(jié)果才可能準(zhǔn)確；采用均值、方差、下偏方差、模糊數(shù)學(xué)等非分形方法難以將證券的收益和風(fēng)險(xiǎn)等特征準(zhǔn)確測量[15-18]。同時(shí)，根據(jù)前文可知，當(dāng)證券價(jià)格具有分形特征時(shí)證券收益率服從分形分布。分形分布是較為復(fù)雜的冪率分布，其均值和方差可能趨于無限[19-20]；此時(shí)，采用均值、方差、下偏方差等非分形方法來測量證券的收益和風(fēng)險(xiǎn)便面臨著無法測量的可能[21]?？梢姡F(xiàn)有研究主要使用非分形方法來測量證券的收益和風(fēng)險(xiǎn)存在測不準(zhǔn)或不可測的缺陷，最終導(dǎo)致所構(gòu)建的投資組合缺乏有效性。

綜上可見，研究MTP具有重要的理論和應(yīng)用價(jià)值，現(xiàn)有相關(guān)成果在測量證券收益和風(fēng)險(xiǎn)時(shí)使用的方法主要屬于非分形方法，在證券價(jià)格普遍存在分形特征的現(xiàn)實(shí)背景下，存在測不準(zhǔn)或不可測的缺陷，影響投資組合的有效性。基于此，本文首先構(gòu)建了分形期望和分形方差兩個(gè)分形統(tǒng)計(jì)測度來測量證券的收益和風(fēng)險(xiǎn)；其次，以分形統(tǒng)計(jì)測度為基礎(chǔ)構(gòu)建了分形組合模型，給出了分形組合模型的解析解，最后，實(shí)證分析了分形組合模型的有效性。

1 分形統(tǒng)計(jì)測度構(gòu)建

針對(duì)使用期望和方差等非分形方法來測量證券的收益和風(fēng)險(xiǎn)存在測不準(zhǔn)或不可測的缺陷，本文借鑒分形觀點(diǎn)下處理曲線長度的方法來構(gòu)建分形期望和分形方差兩個(gè)分形統(tǒng)計(jì)測度，以便在證券價(jià)格普遍具有分形特征的現(xiàn)實(shí)背景下較為準(zhǔn)確地測量證券的收益和風(fēng)險(xiǎn)。

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綜上，本文構(gòu)建了分形期望和分形方差兩個(gè)分形統(tǒng)計(jì)測度，并給出了兩個(gè)分形統(tǒng)計(jì)測度的運(yùn)算規(guī)則，為進(jìn)一步闡述基于分形統(tǒng)計(jì)測度構(gòu)建投資組合中奠定了基礎(chǔ)。

2 分形統(tǒng)計(jì)測度下的組合模型

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由上可見，前文所構(gòu)建的兩個(gè)分形統(tǒng)計(jì)測度，不僅在理論上可以構(gòu)建投資組合，還可將數(shù)組權(quán)重轉(zhuǎn)換為數(shù)值權(quán)重，應(yīng)用于投資實(shí)踐。從而，完整地解決了分形統(tǒng)計(jì)測度下的投資組合問題。為了表述的方便，下文將基于分形期望和分形方差兩個(gè)分形統(tǒng)計(jì)測度所構(gòu)建的投資組合模型簡稱為分形組合。

3 分形組合的有效性分析

在理論模型構(gòu)建的基礎(chǔ)上，便可利用實(shí)證分析來驗(yàn)證分形組合的有效性。在既定收益水平約束下，如果分形組合的風(fēng)險(xiǎn)小于基準(zhǔn)組合的風(fēng)險(xiǎn)，則表明分形組合有效。在基準(zhǔn)組合的選取上，考慮到分形組合較之Markowitz傳統(tǒng)組合模型主要是在風(fēng)險(xiǎn)和收益測度上進(jìn)行改進(jìn)；因此本文以Markowitz傳統(tǒng)組合模型作為基準(zhǔn)組合。在樣本選取上，本文以上海證券交易所的所有6種行業(yè)指數(shù)為資產(chǎn)樣本，并分別用傳統(tǒng)期望和方差、分形期望與方差計(jì)算其風(fēng)險(xiǎn)與收益來構(gòu)建基準(zhǔn)組合與分形組合。在樣本區(qū)間選取上，為了反映分形組合在不同市場行情下的效果，以2012年1月1日至2017年1月1日為整個(gè)樣本區(qū)間，并以每一年為子區(qū)間構(gòu)建組合觀察所構(gòu)建的組合的風(fēng)險(xiǎn)情況。數(shù)據(jù)來源于聚源數(shù)據(jù)庫。

表1 30個(gè)密度函數(shù)的兩個(gè)參數(shù)和擬合優(yōu)度Tab.1 Two parameters and fit goodness for 30 density functions

由表1可知，30個(gè)資產(chǎn)收益率序列的擬合優(yōu)度最低為0.798，且回歸方程的擬合優(yōu)度大多在0.9以上；從而說明收益率序列的密度函數(shù)確實(shí)為冪率形式，表1所示的30個(gè)密度函數(shù)的兩個(gè)參數(shù)具有較高的可靠性。根據(jù)表1的結(jié)果，利用(2)和式(6)便可計(jì)算出30個(gè)收益率序列的分形期望和分形方差，見下表2；限于篇幅，表2僅羅列了數(shù)值，未羅列數(shù)組符號(hào)。

表2 30個(gè)收益率序列的分形期望和分形方差Tab.2 Fractal expectation and fractal variance of 30 yield series

表3 既定收益下基準(zhǔn)與分形組合的風(fēng)險(xiǎn)之差Tab.3 The difference between benchmark and fractal portfolio under defined returns

注：表中數(shù)據(jù)的單位為0.001。

在表2的基礎(chǔ)上，利用式(14)便可計(jì)算出分形組合中各資產(chǎn)的投資權(quán)重，進(jìn)而獲得分形組合的風(fēng)險(xiǎn)。同理，根據(jù)30個(gè)收益率序列的傳統(tǒng)期望和傳統(tǒng)方差，利用式(10)便可計(jì)算出基準(zhǔn)組合中各資產(chǎn)的投資權(quán)重，進(jìn)而獲得基準(zhǔn)組合的風(fēng)險(xiǎn)。便于比較，如下表3將6種既定收益水平下基準(zhǔn)組合和分形組合的風(fēng)險(xiǎn)之差進(jìn)行羅列。

由表3可知，在所有30種情形中，基準(zhǔn)與分形風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)之差有26種情形為正值，即在既定收益水平下，有26種分形風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)都小于基準(zhǔn)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)，占比86.67%。因此，在既定收益下，分形組合的風(fēng)險(xiǎn)大多小于基準(zhǔn)組合的風(fēng)險(xiǎn)，分形組合在確保收益的同時(shí)更好地分散了風(fēng)險(xiǎn)。綜上可見，本文構(gòu)建的兩個(gè)分形統(tǒng)計(jì)測度可以用于構(gòu)建投資組合，且基于分形統(tǒng)計(jì)測度所構(gòu)建的分形組合具有有效性。

4 結(jié)論與展望

本文基于分形理論構(gòu)建了分形期望和分形方差兩個(gè)分形統(tǒng)計(jì)測度，以克服非分形統(tǒng)計(jì)測度難以準(zhǔn)確測量甚至無法測量證券風(fēng)險(xiǎn)與收益的缺陷。在此基礎(chǔ)上，基于分形統(tǒng)計(jì)測度構(gòu)建了分形組合模型，并給出了模型的解析解。隨后，通過比較分形組合與傳統(tǒng)投資組合的風(fēng)險(xiǎn)情況，從實(shí)證分析的視角驗(yàn)證了分形組合的有效性。盡管本文基于分形理論開創(chuàng)性地構(gòu)建了分形期望和分形方差兩個(gè)分形統(tǒng)計(jì)測度，并構(gòu)建了分形組合，但本文的研究仍屬于探索性研究；因此，無論是在一般形式的分形分布下構(gòu)建分形期望和分形方差，還是高階矩分形統(tǒng)計(jì)測度的構(gòu)建探究，無論是含有背景風(fēng)險(xiǎn)的分形組合探討，還是多階段動(dòng)態(tài)分形組合的探索，都有待深化。