線性算子定義的k一致近于凸函數(shù)類

李書海

（赤峰學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

1 引言

用A表示單位圓盤U={z:|z|＜1}內(nèi)解析且具有形式

的函數(shù)f(z)的全體.用A-表示A中子類且其元素滿足條件

設(shè) 0≤β＜1,函數(shù) f(z)∈A 屬于一致凸函數(shù) UK(k,β),當(dāng)且僅當(dāng)([1-2])

同樣，函數(shù)f(z)∈A屬于一致星象函數(shù)US(k,β)當(dāng)且僅當(dāng)([1-2])

顯然 f(z)∈UK(k,β)當(dāng)且僅當(dāng) zf'(z)∈US(k,β).

定義 A([3]) 函數(shù)f(z)∈A屬于UC(k,γ,β),當(dāng)且僅當(dāng)

其中 g(z)∈US(k,β).

定義 B([3]) 函數(shù)f(z)∈A屬于UQ(k,γ,β)當(dāng)且僅當(dāng)

其中 g(z)∈UK(k,β).

設(shè) αj∈C(j=1,2,…,l),βj∈C-{0,-1,-2,…}(j=1,2,…,m),廣義幾何級數(shù)定義為

其中(a)n=a(a+1)…(a+n-1),n∈N={1,2,…}.

令 h(α1, …,αl;β1, …,βm;z)=zFl;m(α1, …,αl;β1, …,βm),則Dziok-Srivastava 算子([4-7]),Hlm(α1,…,αl;β1,…,βm)定義為

其中 ?n(α1,…,αl;β1,…,βm):

且由[6]可知

利用（1.1）和結(jié)合(1.7),(1.8),(1.9)以及(1.10)式,我們有

其中

設(shè)函數(shù)f(z)屬于A,作者AL-Oboudi在[8]中引進線性算子:

且

從(1.11)和(1.14),我們得到

顯然 τ=0,ζ=1時得到文[4]中的 Dziok-Srivastava算子；ζ=0時得到F.M.Al-oboudi在文[8]中定的算子;ζ=1時得到文[9][10]中引進的算子.

定義 1.1 設(shè)函數(shù) f(z)∈A 屬于 US(τ,λ,ζ,k,β)當(dāng)且僅當(dāng)

定義 1.2 函數(shù) f(z)∈A 屬于 UC(τ,λ,ζ,k,γ,β)當(dāng)且僅當(dāng)

其中 g=US(τ,ζ,k,β).

令

本文中，我們首先證明屬于函數(shù)類 UC(τ,λ,ζ,k,β)的充分條件，利用此條件給出函數(shù)類的極值點、積分表達式、偏差定理，并討論半徑問題.

2 主要結(jié)果

定理 2.1 設(shè) tf(z)具有形式(1.1).設(shè) k≥0,0≤β＜1,0≤γ＜1,λ≥0,τ∈N0和

則 f(z)∈UC(τ,λ,ζ,k,γ,β).

證明 由定義可知

上述界小于(1-λ)當(dāng)且僅當(dāng)

定理 2.2 設(shè) f(z)∈A-,則 f屬于 UC-(τ,λ,ζ,k,γ,β)當(dāng)且僅當(dāng)

證明 設(shè) f(z)∈UC-(τ,λ,ζ,k,γ,β).因不等式 Reω＞k|ω-1|+γ

當(dāng)且僅當(dāng) Re(ω(1+kei?)-kei?)＞γ.令則

上式等價于

再令z→1-時得到

由此推出

即

相反,設(shè)(2.1)式成立.要證明 f(z)∈UC-l,m(τ,λ,ζ,k,γ,β).因為

和

容易推出E-F＞0,即條件(2.1)式滿足，證畢.

當(dāng)f(z)=g(z)時得到

定理 2.3 設(shè) g∈US-(τ,λ,ζ,k,β)則

其中 |Q(t)|＜1.同樣

其中μ(x)是概率測度且x={x:|x|=1}.

證明 當(dāng)k=0時顯然成立.設(shè)k≠0，則g∈US-

l,m(k,β)和時,我們有其中 |Q(z)|＜1,由此推出

μ(x)是概率測度，此時

定理 2.4 設(shè) g∈UC-(τ,λ,ζ,k,γ,β)，則

其中μ(x)是概率測度X={x:|x|=1}.

定理 2.5 設(shè) g∈US-(τ,λ,ζ,k,β)則

證明 因 g∈US-(τ,λ,ζ,k,β)，我們有

由此推出

和

同樣得到

和

證畢.

定理 2.6 設(shè) f∈UC-(τ,λ,ζ,k,γ,β),則

證明 因 f∈UC-(τ,λ,ζ,k,γ,β),利用定理 2.1,我們有

從而

結(jié)合

得到

同樣

和

得到(2.9).證畢.

定理2.7 設(shè)gm(z)=z-∑∞n=2bj,mzj∈UC-(τ,λ,ζ,k,β),m=1,2,則

定理2.8 設(shè)fm(z)=z-∑∞n=2bj,mzj∈US-(τ,λ,ζ,k,γ,β),m=1,2,

則

證明 設(shè) f1(z),f2(z)∈UC-(τ,λ,ζ,k,γ,β),由定理 2.2,我們有

和

由定理 2.2 得到 f(z)∈UC-(τ,λ,ζ,k,γ,β).

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