用GeoGebra軟件描繪電荷電勢(shì)分布

盛寶驥

(南京師范大學(xué)附屬中學(xué),江蘇 南京 210003)

人教版高中物理選修3-1“靜電場(chǎng)”這一章節(jié)集中了較多的抽象概念,如電場(chǎng)強(qiáng)度、電勢(shì).相比力學(xué)中的概念和模型,學(xué)生缺乏對(duì)電場(chǎng)的主觀體驗(yàn),學(xué)習(xí)過(guò)程中存在較多難點(diǎn).

GeoGebra 是一個(gè)綜合幾何、代數(shù)與微積分的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件,它是由美國(guó)佛羅里達(dá)州亞特蘭大學(xué)的數(shù)學(xué)教授Markus Hohenwarter所設(shè)計(jì)的.相比Mathematica、Matlab和Maple等專業(yè)軟件,GeoGebra不需要操作者熟悉復(fù)雜的計(jì)算機(jī)編程,更適合在中學(xué)教師和學(xué)生中推廣應(yīng)用.下文介紹了筆者使用GeoGebra軟件描繪等量同種電荷和等量異種電荷電勢(shì)分布的過(guò)程.

1 等量同種電荷的電勢(shì)

打開GeoGebra軟件,在【視圖】中選擇【3D繪圖區(qū)】，軟件界面主要分為工具欄、代數(shù)區(qū)、繪圖區(qū)、3D繪圖區(qū)、輸入?yún)^(qū)一共5個(gè)區(qū)域(如圖1).

圖1 GeoGebra軟件界面

xOy平面上任意一點(diǎn)的電勢(shì)可以表示為

為了便于作圖,取kq=1代入,在輸入?yún)^(qū)輸入方程

如圖2所示,在3D繪圖區(qū)立刻呈現(xiàn)出該方程的三維圖像(如圖3所示).

圖2 輸入函數(shù)方程

圖3 等量同種電荷空間電勢(shì)分布

調(diào)節(jié)鼠標(biāo)滾輪可以縮放圖像,移動(dòng)鼠標(biāo)的同時(shí)按住鼠標(biāo)右鍵可以從不同視角觀察三維圖像,如圖4所示分別表示沿y軸和x軸方向觀察的結(jié)果.

(a) 沿y軸方向觀察

(b) 沿x軸方向觀察

圖5 兩個(gè)面相交

圖6 描繪兩個(gè)面的交線

以往教學(xué)過(guò)程常常研究等量同種電荷連線以及連線的中垂線上的電勢(shì)分布情況,這里也能實(shí)現(xiàn).在輸入?yún)^(qū)輸入y=0,3D繪圖區(qū)立刻出現(xiàn)一個(gè)新的平面,即xOz平面,如圖5所示,在工具欄點(diǎn)擊【相交曲線】工具(如圖6),然后在3D繪圖區(qū)先后點(diǎn)擊兩個(gè)曲面,在代數(shù)區(qū)就會(huì)自動(dòng)增加一個(gè)曲線方程(如圖7),該方程就是以上兩個(gè)面的交線方程.代數(shù)區(qū)每一個(gè)繪圖對(duì)象前面都有一個(gè)圓形圖標(biāo),該圖標(biāo)的作用是在3D繪圖區(qū)顯示或隱藏繪圖對(duì)象,點(diǎn)擊兩個(gè)面的圓形圖標(biāo),隱藏著兩個(gè)面,只保留交線方程,然后沿y軸方向觀察,就可以得到等量同種電荷連線上電勢(shì)分布圖像(如圖8).

圖7 自動(dòng)添加交線方程

圖8 等量同種電荷連線上的電勢(shì)分布

下面研究電荷連線的中垂線上的電勢(shì)分布,在輸入?yún)^(qū)輸入x=0(即yOz平面),用相同的方法畫出兩個(gè)面的交線,沿x方向觀察,可以得到等量同種電荷連線的中垂線上電勢(shì)分布(如圖9).這些圖與傳統(tǒng)教學(xué)過(guò)程的結(jié)論是一致的,并且更加科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn).

(a)

(b)

2 動(dòng)態(tài)參數(shù)設(shè)定

在完成等量同種電荷的電勢(shì)分析之后,筆者嘗試將電荷設(shè)定為一個(gè)變量,可以根據(jù)需要設(shè)定其正負(fù)和大小,以便代表任意電性或電荷量的兩個(gè)電荷,便于師生探究.

在輸入?yún)^(qū)輸入“q1=1”,隨后q1=1就會(huì)在代數(shù)區(qū)出現(xiàn),點(diǎn)擊q1=1前面的圓形圖標(biāo),在繪圖區(qū)就會(huì)出現(xiàn)一個(gè)可以拖動(dòng)的滑動(dòng)條,當(dāng)拖動(dòng)滑動(dòng)條顯示“-1”時(shí)表示電荷量大小為1C的負(fù)電荷,右鍵點(diǎn)擊滑動(dòng)條可以編輯滑動(dòng)條的參數(shù),在區(qū)間項(xiàng)目中可以修改滑動(dòng)條的最大值、最小值和增量(如圖10).

(a)

(b)

圖11 等量異種電荷空間電勢(shì)分布

圖12 等量異種電荷連線上的電勢(shì)分布

3 高考題中的應(yīng)用

圖13

例1.(2017年江蘇省高考題)在x軸上有兩個(gè)點(diǎn)電荷q1、q2,其靜電場(chǎng)的電勢(shì)φ在x軸上分布如圖13所示.下列說(shuō)法正確有

(A)q1和q2帶有異種電荷.

(B)x1處的電場(chǎng)強(qiáng)度為0.

(C) 負(fù)電荷從x1移到x2,電勢(shì)能減小.

(D) 負(fù)電荷從x1移到x2,受到的電場(chǎng)力增大.

題中的電勢(shì)φ在x軸上分布并不常見,什么樣的電荷才能形成這樣的圖像呢?從圖中可以發(fā)現(xiàn),在x1的左側(cè),電勢(shì)下降非常迅速,此處應(yīng)該有一個(gè)負(fù)電荷,在x1的右側(cè)電勢(shì)先上升再逐漸下降,另外一個(gè)電荷為正電荷,且在x1的左側(cè),由于x2的位置電勢(shì)為正,該位置距離負(fù)電荷更近,所以正電荷的電荷量一定大于負(fù)電荷的電荷量.根據(jù)這個(gè)判斷,筆者設(shè)定q1=-1,q2=10,還原了題目中電勢(shì)的三維分布圖(如圖14),通過(guò)畫著兩個(gè)電荷連線上的電勢(shì)分布,可以得到題目中圖像所對(duì)應(yīng)的完整圖像(如圖15).

圖14 不等量異種電荷空間電勢(shì)分布

圖15 電勢(shì)φ在x軸上分布

4 總結(jié)與感悟

以往的教學(xué)中,只能粗略地畫出直線上的電勢(shì)分布,而且還要是等量電荷,現(xiàn)在通過(guò)GeoGebra軟件可以將一個(gè)平面上的電勢(shì)以三維立體圖的形式呈現(xiàn)出來(lái),電荷量的大小也不再受限制,形象直觀可以旋轉(zhuǎn)的圖像給學(xué)生更好的視覺(jué)體驗(yàn),降低了學(xué)生學(xué)習(xí)抽象概念的難度,提升了教學(xué)效果.在教師的指導(dǎo)下,學(xué)生可以利用GeoGebra軟件開展豐富多彩的探究活動(dòng),結(jié)合GeoGebra軟件強(qiáng)大的繪圖功能,從不同視角體會(huì)物理之美.

1 人民教育出版社,課程教材研究所,物理課程教材開發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書物理3-1[M].北京:人民教育出版社,2010: 18-19.

2 A Morphett, S Gunn, R Maillardet. Developing interactive applets with GeoGebra: processes, technologies[A]. Proceedings of Elephant Delta 15[C]. Port Elizabeth, 2015.