高中數(shù)學實踐活動的有效設計與實施
—— 以“三角比在測量上的應用”為例

◎ 徐玉華

一、活動背景

在實際教學中教師知道，解斜三角形的應用對學生來講是一個難點，學生在遇到相關的應用題時，往往會遇到以下困難：①不能準確提取相關圖形中的關鍵（有效）信息；②不能將所求問題轉(zhuǎn)化為相應的數(shù)學模型；③沒有找準合適的方法進行求解。

為了幫助學生更好地克服以上三個方面的障礙，筆者嘗試通過開設實踐活動課程，從教材中提出的課題入手，整合基礎型、研究型及拓展型學習的要素，通過實踐、研究、交流、反思來引導學生加強對數(shù)學概念（方法）的理解，并嘗試將相關概念（方法）運用到實際問題中，不斷提高分析問題、解決問題的能力。

二、活動目標

實踐活動課的設計從滬教版高一數(shù)學教材5.6節(jié)中“正弦定理、余弦定理和解斜三角形”的例9引出，提出問題：怎樣測量建筑物的高度。實踐課的研究圍繞這個問題展開，希望能夠達成以下三個方面的目標。

（一）知識與技能

（1）學生在實踐活動中進一步對三角比和解斜三角形的基本概念及常用方法進行梳理；

（2）學生通過自主設計方案和收集數(shù)據(jù)，體會如何提取關鍵信息；

（3）學生通過實踐活動逐漸熟悉并開展研究型學習的一般流程。

（二）過程與方法

（1）學生通過實踐活動，體會從實際問題到數(shù)學建模的轉(zhuǎn)化過程；

（2）學生通過實踐活動，進一步感受提出問題、分析問題、解決問題的研究過程。

（三）情感、態(tài)度和價值觀

（1）通過小組合作，形成良好的互助合作學習的氛圍；

（2）通過小組自評、同伴互評等形式，鼓勵學生人人都能主動參與學習。

三、活動過程

在完成解斜三角形的相關基礎型教學內(nèi)容后，筆者開展了關于“三角測量”的實踐活動課的研究。實踐課的設計為3課時，主要包括以下三個板塊。

（一）板塊一

在完成相關教學內(nèi)容后，教師提出研究性問題：在已經(jīng)學習了解斜三角形的有關定理和基本方法后，學生嘗試設計有效方案，在學校操場內(nèi)測量計算東方明珠中球的最高點到東方明珠頂端的距離，并完成實驗報告。

1. 學生活動

（1）學生分組，以5—6人為一組，組成研究小組，共同完成實踐活動；

（2）實驗準備，根據(jù)教材提示，設計并制作“量角器”，準備卷尺、紙、筆、計算器等測量及計算工具；

（3）方案設計，小組討論，結合教學內(nèi)容，設計測量方案，明確需要測量的數(shù)據(jù)；

（4）數(shù)據(jù)收集，根據(jù)小組討論設計的方案，進行實地測量，并記錄相關數(shù)據(jù)；

（5）數(shù)據(jù)處理，根據(jù)測量所得的數(shù)據(jù)，選擇合適的方法對數(shù)據(jù)進行處理，計算得出東方明珠中球的最高點到東方明珠頂端的距離；

（6）方案修正，小組結合計算結果，對方案設計、數(shù)據(jù)收集和處理等環(huán)節(jié)進行反思分析，進一步對方案進行優(yōu)化或修正，并完成實驗報告。

2. 教師活動

（1）對學生的分組情況進行評估（可根據(jù)學生的學習能力對個別學生進行微調(diào)），指導小組在實踐活動中進行明確分工；

（2）在學生活動過程中加強對學生行為的調(diào)控，引導學生逐漸熟悉并開展研究性學習的流程與步驟；

（3）對學生提出的設計方案給予及時的點撥，引導學生對收集的數(shù)據(jù)和計算結果進行理性思考與分析；

（4）指導學生規(guī)范完成實驗報告。

（二）板塊二

各小組在完成相應的實驗報告后，安排1課時的時間，組織各小組對實踐活動進行匯報交流。

1. 學生活動

（1）小組匯報，各小組派代表介紹本組的研究與思考，并完成小組合作自評表。

下面以某一個小組的交流匯報為例來加以說明。

●實驗目標：在學校操場內(nèi)測量計算東方明珠中球的最高點到東方明珠頂端的距離。

●實驗準備：仰角的測量：量角器、線繩。

距離的測量：卷尺。

數(shù)據(jù)處理：紙、筆、計算器。

●實驗方案：在操場B處測得東方明珠中球最高點Q與東方明珠頂端P的兩個仰角，前進一段距離到C處，再測得Q、P兩處的仰角，收集有關數(shù)據(jù)，可計算PQ的距離。

上述方案可用如圖1所示的數(shù)學模型表示。

圖1 實驗方案對應的數(shù)學模型

●數(shù)據(jù)收集：根據(jù)上述方案，需要收集的數(shù)據(jù)有四個仰角∠PBH、∠QBH、∠PCH和∠QCH，以及BC的長度。

●數(shù)據(jù)處理：在ΔPBC中運用正弦定理，可以求出PC的長，進一步在RTΔPCH中，求出PH的長；同理，在ΔQBC中運用正弦定理，可以求出QC的長,在RTΔQCH中，求出QH的長。由PQ=PH－QH，得到PQ的長。

●實驗結論：我們組在實驗過程中一共測量了5組數(shù)據(jù)，根據(jù)計算，分別得到如下結果：

第一組PQ=15.2米 第二組PQ=6.95米

第三組PQ=172米 第四組PQ=152米

第五組PQ=145米

查閱有關資料，實際東方明珠中球的最高點到東方明珠頂端的距離約為468–295=173米。

●誤差分析：經(jīng)過小組討論分析，實驗結論與實際距離產(chǎn)生偏差的原因主要有以下幾個。

① 讀取數(shù)學的精確度不夠造成誤差；

② 讀取仰角時視線所在的直線偏移導致仰角的讀數(shù)誤差較大；

③BC之間的距離設定過短；

④ 計算上的誤差。

●反思收獲：①團結的作用非常大；

② 實驗過程中遇到很多困難，但是大家積極動腦，及時修正方案和數(shù)據(jù)；

③ 思考問題要嚴謹；

④ 有同學另辟蹊徑，解題方法多樣化；

如圖2所示，有同學提出可利用相似三角形求解。

圖2 利用相似三角形求解

⑤ 數(shù)學來源于生活，應用于生活；

⑥ 差之毫厘，謬以千里。

（2）同伴評價，在小組匯報交流的基礎上，其余各組圍繞匯報內(nèi)容給出補充和建議，并根據(jù)匯報情況完成評價量表。

例如，有其他小組成員提出，在上述方案的求解過程中，還可以利用如下方法：如圖3所示，在RTΔPBH和RTΔPCH中，利用銳角三角比求出PH和CH，進一步在RTΔQCH中，求出QH，PH–QH即為所求距離。

圖3 利用銳角三角比求解

2.教師活動

（1）對于小組匯報進行前期的指導；

（2）和學生商議制定實踐活動以及小組交流評價量表（見表1）。

（三）板塊三

學生完成實踐活動課后，安排1課時，組織學生進行拓展研究。

1.學生活動

（1）變式研究，嘗試設計方案。用測角儀與皮尺，在上海延安東路外灘測量金茂大廈與東方明珠之間的距離?，F(xiàn)將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型，尋找合適的方法求解，如圖4所示。

表1 小組合作學習評價表

圖4 學生活動對應的數(shù)學模型

（2）拓展閱讀，閱讀簡易測距的基本方法，探究其蘊含的數(shù)學原理。跳眼法為將臂向前伸直，豎起拇指，閉左眼，使右眼的視線沿拇指一側(cè)對準目標左側(cè)(即基準點)，頭和手保持不動，再閉右眼，使左眼視線通過拇指的同一側(cè)，并記住視線對準的實地某一點，然后目測基準點至該點的寬度，將此寬度乘以10，即為站立點至目標的距離。

跳眼法的基本原理：通過估計跳眼所見實地寬度的方法進行的估略測量。根據(jù)兩瞳孔的間隔約為自己臂長的1/10，將測得實地物體的寬度乘以10，即為站立點至目標的距離。

跳眼法的數(shù)學模型如圖5所示。

圖5 跳眼法的數(shù)學模型

2.教師活動

（1）提供學生拓展閱讀材料；

（2）指導學生思考三角比在測量問題中的基本應用，并總結常見模型。

四、活動成效及反思

在開設實踐活動課的過程中，筆者欣喜地發(fā)現(xiàn)，學生無論是在知識層面還是在能力方面，甚至于在對待數(shù)學學習的態(tài)度上都有了很大的變化。

（1）大部分學生對于三角比在測量問題中的應用有了清晰的認識，在后續(xù)的學習中，能夠順利地將實際問題轉(zhuǎn)化為相應的數(shù)學模型，并能準確讀取關鍵信息，對于正弦定理、余弦定理的公式使用也更為熟練。

（2）實踐活動以小組形式開展，大家分工合作讓每一位學生都有機會參與到活動中來（教師在學生自主分組后會根據(jù)學生學習能力的不同進行人員的微調(diào)），即便對于一些學力較弱的學生也能獲得積極的情感體驗，不少學生表示原來學數(shù)學還是挺有趣的，對于數(shù)學學習的興趣和投入都有大幅度的提升。

（3）小組交流環(huán)節(jié)，對于學生表達的邏輯性、規(guī)范性和完整性都有一定的要求，設計的現(xiàn)場提問和答辯環(huán)節(jié)對小組成員思考的縝密性和臨場反應也是一種挑戰(zhàn)和鍛煉。

（4）對于小組活動采用小組自評、同伴互評和教師評價的綜合評價方式，能夠更加客觀地對學生的學習行為進行評估，形成較為完善的評價機制。

（5）在實踐活動課中設計拓展閱讀的板塊，旨在拓寬學生的知識面，引導和鼓勵學生能在課外開展自主學習，這個環(huán)節(jié)也引起學生的興趣，有部分學生在課后主動收集和學習了三角測距的有關資料，并完成了研究論文《三角測距》。

（6）數(shù)學教學不僅是向?qū)W生傳授知識與技能，更重要的是培養(yǎng)學生對待學習的態(tài)度和習慣，當學生在實驗報告反饋中意識到“差之毫厘，謬以千里”后，他們不再輕易為自己的粗心找借口，而是以更加審慎的態(tài)度對待自己的學習過程，也許這就是教育教學最大的成效所在。

徐玉華 上海市澄衷高級中學 200082