重力梯度傳感器結構誤差建模

叢丹妮，吳美平，胡小平

（國防科學技術大學機電工程與自動化學院，長沙410073）

0 引言

重力梯度信息不但反映地球表層及內(nèi)部的密度分布和物質(zhì)運動狀態(tài)，還具有很高的軍事價值，如提升自主導航精度；提升導彈的命中精度；感應到空間飛行物或水下潛航器，有力破除空中或水下的威脅［1-4］。這些優(yōu)勢使得重力梯度測量成為當今世界重力測量的熱點，各國的學者都對它的測量方法進行了各種各樣的探索。傳統(tǒng)的測量方法性能不佳，超導與原子技術的探索未能得到實際應用［5-7］。 美國Bell Aerospace公司（現(xiàn)并入Lockheed Martin公司）研制的旋轉加速度計式的全張量重力梯度儀Air-FTGTM，在軍事和商業(yè)上都取得了一定的應用，效果良好。我國自20世紀90年代開始研究，截至目前并沒有成熟完整的重力梯度儀產(chǎn)品，對重力梯度儀的實物設計、信號提取處理方法上接近空白，基本停留在理論研究、建模仿真階段。旋轉加速度計式重力梯度儀是由多種機械裝置組成，加速度計安裝精度、旋轉機構穩(wěn)定性、平臺穩(wěn)定性等都會對重力梯度信號準確性產(chǎn)生很大影響［8］。因此，合理限定重力梯度傳感器結構精度對于測量結果精度有很重要的意義。而建立與分析結構精度可以從結構誤差模型入手，諸多文獻均對重力梯度儀的測量原理建立數(shù)學模型，但結果各不相同。不同的測量原理模型會推導出不同的結構誤差模型，對結構設計和輸出結果精度有不同程度的指導意義。本文從牛頓定律入手，進行重力梯度傳感器的受力分析，考慮慣性系與非慣性系之間的相對運動，建立了相對完善的測量原理模型、結構誤差模型，為進一步的機械精度設計、實物設計、測量和提取信號工作打下基礎。

1 單軸旋轉調(diào)制重力梯度儀測量原理

1.1 重力梯度概念

重力梯度的物理意義是用來描述重力分量因位置而產(chǎn)生的變化，重力梯度為重力位W的2階導數(shù)，即：

重力梯度張量Γ為：

其中，Γxx表示gx在x方向的空間變化率，Γxy表示gx在y方向的空間變化率，Γyy表示gy在y方向的空間變化率等。由偏導數(shù)連續(xù)求導順序可交換得：

由場論中的相關知識可知，在地球球體外部重力位處處連續(xù)而有限，重力勢滿足Laplace方程：

綜上，只需求解重力位的二次導數(shù)中的任意5個相互獨立的數(shù)值即可得到全部梯度信息。

1.2 重力梯度測量方法與單軸旋轉調(diào)制概念

早期的扭秤測量利用重力矩的作用可以獲得Γxz、Γyz、Γxy、ΓΔ＝Γyy-Γxx4個梯度分量。

旋轉加速度計重力梯度儀主要使用加速度計間的比力差值來感應重力的變化率。假設距離為Δl的兩個加速度計A1、A2處的重力分別為g1、g2，則A2處的重力可近似用A1處的重力表示為：

加速度計A1、A2的比力輸出分別為a1和a2，則a1、a2必然與g1、g2有關。將a1和a2合理組合即可得到Δg＝g2-g1，進一步可以求得加速度計A1處的重力梯度張量。

但是對于重力梯度儀來說，現(xiàn)有加速度計的精度遠不能達到要求。地球的重力梯度信號極其微弱，如果測量精度為1E，那么相當于在空間相距10cm的兩點重力差值為10-11g［9］。通過大幅度提高材料性能、加工工藝精度或者加速度計的精度性能來達到重力梯度儀的精度需求，目前的相關技術和加工工藝水平還難以達到需求。因此，美國Bell Aerospace Textron公司采用旋轉加速度計的理念，通過系統(tǒng)的技術來突破單個元器件的性能極限，從而達到測量微弱重力梯度信號的目標。該公司與澳大利亞聯(lián)合研制的產(chǎn)品已經(jīng)成功投入使用［3］，而旋轉加速度計式重力梯度儀也是目前唯一獲得實際成功應用的、適合機載、船載的梯度測量儀器［10］。

單軸旋轉調(diào)制重力梯度傳感器（Gravity Gradient Instrument，GGI）示意圖如圖1所示，兩對旋轉對稱且正交的高精度加速度計被安裝在轉盤上?；诂F(xiàn)有加速度計，采用旋轉調(diào)制技術進一步提高加速度計的使用精度，經(jīng)過圓盤的勻速旋轉，將重力梯度信號調(diào)制在兩倍轉速頻率上。這種方法使得GGI可以消除載體運動對加速度計的影響，從而與其他的噪聲分離開。

2 重力梯度傳感器信號輸出模型

就GGI中的加速度計進行比力輸出分析，根據(jù)Taylor展開：

其中，r為加速度計到圓盤中心的理論距離；a1x是標號為1的加速度計在x方向的加速度；a0x是圓盤中心在x方向的加速度；轉盤轉動的角速度是ω，則ωt是1號加速度計在重力梯度儀中轉過的角。

加速度計只輸出敏感軸比力，因此1號加速度計輸出比力f1為：

4個加速度計測得信號輸出方程為：

其中，v1、v2、v3、v4具有如下關系：

分別是加速度計敏感軸方向向量。利用加速度計的輸出組合，可以解調(diào)出梯度分量Γxy、Γxx-Γyy：

旋轉加速度計重力梯度儀都是基于矢量差分來工作的， 但文獻［8］、 文獻［11］～文獻［13］都對工作模型進行了推導，卻得出了不相同的模型。對于微弱的梯度信號來說，測量模型的完善與否，會大幅度影響測量的精度。由于重力梯度傳感器所處的平臺穩(wěn)定系統(tǒng)、系統(tǒng)所在的載體甚至地球嚴格說來都不是慣性坐標系，本文將著眼慣性系與非慣性系之間的受力分析，對重力梯度傳感器圓盤中心加速度以及實際的圓盤中心梯度值進行動力學分析進而建立二者關聯(lián)模型，進一步推導更為完善的測量模型，為進一步的誤差模型分析、機械精度設計、載體平臺的穩(wěn)定性提出要求。

基于動力學分析，加速度計在檢測時，由彈簧力與阻尼器阻力均為零時的平衡位置B移動到N，內(nèi)部結構受力如圖2所示。此時，彈簧力阻力平衡加速運動產(chǎn)生的慣性力，并且還受所有天體的萬有引力U。

分析加速度計內(nèi)部質(zhì)量塊的受力，由牛頓第一定律可得：

其中，平衡位置到非平衡位置的位移為sBN；c、k、m分別為阻尼系數(shù)、彈簧彈性系數(shù)和加速度計質(zhì)量塊質(zhì)量?？紤]在慣性坐標系中，檢測質(zhì)量相對于I的位移為sIN，則絕對加速度a的表達式為：

檢測到結果輸出時，加速度及系統(tǒng)中，質(zhì)量塊在N點處于平衡，則有：

推導在此狀態(tài)下敏感軸測量值為：

可忽略除地球外其他天體的引力，考慮圓盤中心真實重力值，建立梯度關系：

其中，sTB是轉盤中心到加速度計質(zhì)量塊質(zhì)心的位移，g0是重力梯度傳感器圓盤中心實際梯度值。

推導真實梯度值與加速度計測量值之間的關系，關鍵點是建立含有各坐標系之間相對慣性坐標系的加速度、相信加速度、Coriolis力的模型。為方便建立各個相關系統(tǒng)之間的受力模型，令地心坐標系為E，載體平臺坐標系為P，重力梯度儀傳感器轉盤坐標系為T，加速度計靜態(tài)坐標系為S，檢測質(zhì)量坐標系為M。并按各坐標系分解檢測質(zhì)量相對慣性坐標系的位移：

代入式（1）， 并結合式（13）～ 式（15）可抵消sBN并分解其余項：

其中，ωE、ωP、ωT分別是地球自轉角速度、載體平臺角速度和梯度傳感器轉盤自轉角速度。

綜合以上方程，建立a0、g0與加速度計輸出之間的關系模型。

重力梯度傳感器圓盤上加速度計的輸出為：

重力梯度傳感器圓盤中心點加速度表達式為：

其中，sTB是重力梯度傳感器圓盤坐標系中心點到一個加速度計質(zhì)心的位移，定義為r：

式（21）是重力梯度載體平臺和重力梯度傳感器轉盤自轉角加速度之和。

同樣，令式（21）中各向量的分解形式分量為：

帶入式（8）中：

理論輸出Sout為：

在重力梯度傳感器轉盤上相對的兩個加速度計的輸出中，存在對應的差模分量項，輸出做和會起到抑制的作用，進一步將相對加速度的和做差會消除載體平臺和梯度傳感器圓盤轉動的影響，消除了一定噪聲影響。信號被調(diào)制到轉盤轉速的二倍頻，進一步可解調(diào)出信號。

3 重力梯度傳感器結構誤差建模

加速度計安裝在轉盤上，有6個自由度，安裝誤差可分為位移誤差和角度誤差。其中，位移誤差分為徑向誤差、切向誤差和高度誤差，角度誤差分為方向角誤差、俯仰角誤差和滾轉角誤差。分別建立相應的誤差模型，轉速二倍頻的信號系數(shù)中含有梯度信號與誤差項，在假設只存在重力梯度傳感器本身的結構誤差和轉速隨機誤差的前提下（忽略信號輸出過程誤差、信號測量誤差、信號解調(diào)誤差等），研究重力梯度傳感器結構本身未定系統(tǒng)誤差和隨機誤差的分配。通過合理的誤差分配，進而確保結果精度為10E前提下，滿足結構精度要求、平臺穩(wěn)定性要求等。

為方便計算，在梯度傳感器圓盤上建立與圓盤相對靜止的幾何坐標系，坐標中心位于圓盤中心，X-O-Y平面位于圓盤上表面，如圖3所示。

3.1 徑向安裝誤差模型

徑向安裝誤差為Δrn＝rn-r（n＝1， 2， 3， 4），r為安裝半徑理論值，rn為實際安裝徑向長度。以1號加速度為例說明，安裝半徑理論坐標為（r，0，0），則實際安裝徑向長度為（r1，0，0）。將實際徑向半徑rn＝Δrn+r分別代替原來的理論半徑：

加速度編號為2、3、4的計算方法與1同理，得到存在徑向安裝誤差時的梯度傳感器實際輸出SoutΔr為：

其中，aΔr1、aΔr2、aΔr3、aΔr4分別是標號為 1、2、3、4的加速度計在徑向誤差影響下測量的加速度值。

徑向誤差模型建立完成，在測量精度要求為10E的前提下，分析誤差模型中的輸出項。信號從轉盤轉速的2倍頻信號解調(diào)，令正弦函數(shù)sin2ωt和余弦函數(shù)cos2ωt的系數(shù)，即輸出信號的實際測量幅度值分別為Asin和Acos。在與徑向誤差之和的耦合過程中，ω的直流分量并不對結果產(chǎn)生影響，而重力梯度傳感器圓盤和角加速度之和的分量αPTz在進行Fourier變換后，會在2倍頻上疊加一個信號，該信號在2倍頻處的幅度值也成為輸出信號幅度值中的一項，設為α2ω。

在假設只存在重力梯度傳感器本身的結構誤差和轉速隨機誤差的前提下（忽略信號輸出過程誤差、信號測量誤差、信號解調(diào)誤差等），研究重力梯度傳感器結構本身未定系統(tǒng)誤差和隨機誤差的分配，這兩種誤差在合成和分配時可以同等看待，分配方法也完全相同。在等作用原則下分配誤差，存在誤差函數(shù)：

其中，ωc＝（ωEx-ωEy+ωPx-ωPy+ωTx-ωTy）·（ωEx+ωEy+ωPx+ωPy+ωTx+ωTy）是由各系統(tǒng)中轉動引起的角速度常數(shù)。

等作用原則分配誤差，則有：

其中，δα、δR1、δR2、δR3、δR4分別是隨機誤差α2ω和未定系統(tǒng)誤差ΔR1、ΔR2、ΔR3、ΔR4的極限誤差。

若忽略轉盤轉動不穩(wěn)定的影響，則N＝4，則有：

3.2 切向安裝誤差模型

1號加速度計理論位置（r，0，0），實際位置（r，yτ， 0）。 其中，yτ ＝rtanΔφ是切向方向安裝誤差，Δφ是切向方向的線性安裝誤差導致的初始角安裝誤差，同時會產(chǎn)生徑向長度誤差，使徑向理論長度rn變?yōu)榍邢蛘`差存在時的實際長度rnΔτ：

與對應Δφn的數(shù)量級相比， ｜cosΔφn-1｜的數(shù)量級遠小于Δφn。因此，初始角徑向長度誤差可以忽略不計。代入初始角誤差，整理得到重力梯度傳感器輸出誤差ΔSΔτ為：

在重力梯度傳感器切向誤差模型中，不含有隨機誤差項。第3項為直流分量，對結果不產(chǎn)生影響。在等作用影響前提下，考慮正弦信號的Γxy和余弦信號的Γxx-Γyy，則有：

其 中，δφ1、δφ2、δφ3、δφ4分 別 為φ1、φ2、φ3、φ4的極限誤差。則每個加速度計的切向安裝極限誤差為yτ＝rtanδφ＝rtan2.5E。

3.3 高度安裝誤差模型

存在高度安裝誤差時，加速度計位置坐標變?yōu)椋╮， 0，Δh1）。 其中，Δh1是 1號加速度計的高度誤差使得圓盤中心點到加速度計的重心的位移在原來基礎上增加了z軸方向的位移，向量點積計算后會產(chǎn)生z方向的梯度分量。存在高度誤差的輸出誤差ΔSΔh的表達式為：

其中，Δh1、Δh2、Δh3、Δh4分別是標號為 1、2、 3、 4 的加速度計的高度安裝誤差，SoutΔh、Sout分別是存在高度誤差時的實際輸出和理論輸出結果。

3.4 方向角安裝誤差模型

切向角安裝誤差造成了加速度計敏感軸方向的改變，1到4號及速度計改變的角度為ψn（n＝1，2，3，4）。此時敏感軸方向向量變?yōu)椋?/p>

其中，νΔψ1、νΔψ2、νΔψ3、νΔψ4分別是存在方向角誤差時，標號為1、2、3、4的加速度計敏感軸實際方向向量將νΔψn代替νn帶入原加速度計輸出表達式。與理論結果做差，整理得到存在方向角誤差時的梯度誤差ΔSΔψ為：

其中，SoutΔψ、Sout分別是存在方向角誤差時的實際輸出和理論輸出結果。

而 （a0x-g0x）和（a0y-g0y）各自的 Fourier展開在轉速1倍頻的項和sinωt、cosωt運算產(chǎn)生2倍頻信號，系數(shù)設為Cagxω、Cagyω。在對此進行誤差補償?shù)那疤嵯?，則有：

等作用原則下，有：

3.5 俯仰角安裝誤差模型

俯仰角存在安裝誤差θn，是加速度計繞sTB轉動θn，導致了敏感軸方向向量的改變。

其中，SoutΔθ、Sout分別是存在俯仰角誤差時的實際輸出和理論輸出結果。理想狀態(tài)下有：

其中，δθn為俯仰角的極限誤差。

3.6 滾轉角安裝誤差模型

滾轉角的安裝誤差使得加速度計以敏感軸方向為軸轉動，但是該轉角既不影響敏感軸方向向量，也不影響圓盤中心到加速度計重心的位移向量，所以并不影響測量以及結果的正常輸出。

4 結論

本文從旋轉加速度計重力梯度儀測量原理出發(fā)，建立了重力梯度傳感器的主要結構誤差模型。模型反應出各個誤差源在輸出結果中與信號的耦合項，理論上建立了各個誤差對輸出結果的影響關系。同時，在精度為10E，重力梯度傳感器圓盤直徑為400mm的情況下推導出對應精度的具體數(shù)值。在理想狀態(tài)下，只考慮結構誤差，按等作用原則分配推導安裝極限誤差及根據(jù)極限誤差指導機械設計精度值如表1所示。

表1 加速度計安裝極限誤差Table 1 Limiting error in accelerometer installation

極限誤差的提出，為進一步提出重力梯度傳感器結構精度要求打下基礎。給定以10E為測量精度條件下，通過推算的具體精度值發(fā)現(xiàn)，除徑向誤差對機械制造加工工藝有實際的指導意義外，其余精度要求遠高于國內(nèi)現(xiàn)有加工水平，即使超精加工也難以達到要求。為了達到目標測量精度，除突破現(xiàn)有加工工藝水平外，可以通過提高載體平臺穩(wěn)定性，提高相對應加速度計匹配程度等方法減小誤差影響，或通過系統(tǒng)誤差標定補償，輸出信號處理等方法來保證目標測量精度。

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