微小衛(wèi)星三軸磁強(qiáng)計(jì)測量誤差校正方法

劉燎 孫華苗 何波 薛力軍 張迎春，3

(1 深圳航天東方紅海特衛(wèi)星有限公司，廣東深圳 518064)(2 微小衛(wèi)星控制系統(tǒng)仿真與測試工程實(shí)驗(yàn)室，廣東深圳 518064)(3 哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，哈爾濱 150001)

三軸磁強(qiáng)計(jì)能用來測量載體所處周邊環(huán)境的磁場強(qiáng)度大小和方向。在傳統(tǒng)航天器中，采用宇航級(jí)的三軸磁強(qiáng)計(jì)，其測量精度較高，穩(wěn)定性較好，在各種惡劣環(huán)境和復(fù)雜條件下具有良好的適應(yīng)性，能夠滿足中低軌道航天器基本任務(wù)需求，目前已廣泛應(yīng)用于航天器姿態(tài)確定與控制。近年來，隨著微小衛(wèi)星的發(fā)展，傳統(tǒng)的宇航級(jí)三軸磁強(qiáng)計(jì)已不能滿足微小衛(wèi)星成本低、質(zhì)量小等要求，越來越多的低成本(商用/工業(yè)級(jí))三軸磁強(qiáng)計(jì)逐步應(yīng)用到微小衛(wèi)星的姿態(tài)確定與控制系統(tǒng)中[1]。低成本三軸磁強(qiáng)計(jì)能夠滿足一般微小衛(wèi)星低軌低精度姿態(tài)確定的要求，具有價(jià)格低、質(zhì)量小、體積小、可靠性高等優(yōu)點(diǎn)，但具有穩(wěn)定性較差、對環(huán)境適應(yīng)性差的缺點(diǎn)。例如，溫度漂移系數(shù)的差異使不同溫度下的低成本三軸磁強(qiáng)計(jì)的測量精度大大降低(最大為幾千納特)，導(dǎo)致姿態(tài)確定誤差可達(dá)幾度，大大降低了姿態(tài)確定精度。因而，如何對低成本三軸磁強(qiáng)計(jì)的測量誤差進(jìn)行校正，成為磁強(qiáng)計(jì)應(yīng)用中的一個(gè)研究重點(diǎn)。

在三軸磁強(qiáng)計(jì)實(shí)際工作時(shí)，地磁信號(hào)和各類誤差信號(hào)耦合在一起，由傳感器輸出，這將嚴(yán)重影響三軸磁強(qiáng)計(jì)的測量精度。目前，三軸磁強(qiáng)計(jì)測量誤差的校正方法主要有：采用橢球曲面擬合三軸磁場強(qiáng)度數(shù)據(jù)，利用遞推法計(jì)算標(biāo)定參數(shù)[2]；從三軸磁強(qiáng)計(jì)測量誤差來源進(jìn)行分析和建模，建立三軸磁強(qiáng)計(jì)校正模型[3]；采用基于總體最小二乘算法對模型的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)[4]；基于遺傳算法融合的最小二乘算法對三軸磁強(qiáng)計(jì)進(jìn)行標(biāo)定校準(zhǔn)[5]；利用三軸磁強(qiáng)計(jì)和計(jì)算磁場強(qiáng)度的在軌數(shù)據(jù)通過非線性最小二乘算法對三軸磁強(qiáng)計(jì)進(jìn)行標(biāo)定[6-7]；基于粒子群算法(PSO)的三軸磁強(qiáng)計(jì)標(biāo)定參數(shù)估計(jì)[8]；基于擴(kuò)展卡爾曼濾波方法對三軸磁強(qiáng)計(jì)進(jìn)行在軌實(shí)時(shí)校準(zhǔn)[9]；基于改進(jìn)最小二乘估計(jì)器的三軸磁強(qiáng)計(jì)校正方法[10]；此外，文獻(xiàn)[11]中對三軸磁強(qiáng)計(jì)的在軌標(biāo)定及測量應(yīng)用進(jìn)行了說明。以上標(biāo)定方法，或者是針對宇航級(jí)磁強(qiáng)計(jì)，溫漂系數(shù)很小，或者是在地面進(jìn)行標(biāo)定，溫度變化小，即使沒有考慮溫度的影響，也能達(dá)到良好的標(biāo)定效果。由于微小衛(wèi)星采用的三軸磁強(qiáng)計(jì)存在溫度漂移，因而會(huì)導(dǎo)致三軸磁強(qiáng)計(jì)測量的零位誤差、標(biāo)度系數(shù)誤差和非正交誤差等不是固定值，可能隨著溫度變化，在溫度變化幾十度范圍內(nèi)會(huì)導(dǎo)致上千納特的測量誤差。

本文針對三軸磁強(qiáng)計(jì)的測量誤差進(jìn)行分析，對三軸磁強(qiáng)計(jì)的校正原理進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，并基于該模型在溫度可變的磁環(huán)境模擬器中對三軸磁強(qiáng)計(jì)進(jìn)行測試，驗(yàn)證了本文方法的實(shí)用性。

1 三軸磁強(qiáng)計(jì)測量誤差校正模型

三軸磁強(qiáng)計(jì)的測量誤差主要由零偏誤差、標(biāo)度系數(shù)誤差及三軸垂直度誤差組成。零偏誤差是指三軸磁強(qiáng)計(jì)在使用過程中內(nèi)部剩磁及電路漂移等導(dǎo)致的傳感器輸出漂移。標(biāo)度系數(shù)誤差是指組成三軸磁強(qiáng)計(jì)的3個(gè)傳感器電氣特性不完全對稱，導(dǎo)致其標(biāo)度系數(shù)不同而造成的誤差。三軸垂直度誤差是指三軸磁強(qiáng)計(jì)的3個(gè)軸不完全正交帶來的誤差。本文首先根據(jù)三軸磁強(qiáng)計(jì)的測量誤差建立三軸磁強(qiáng)計(jì)的誤差校正模型，通過磁場強(qiáng)度的梯度變化得到線性方程組。為了在全溫度范圍內(nèi)對三軸磁強(qiáng)計(jì)進(jìn)行標(biāo)定，在不同溫度下分別利用偽逆法計(jì)算標(biāo)定系數(shù)。最后，在全溫度范圍內(nèi)對不同溫度下的零位電壓和標(biāo)定系數(shù)進(jìn)行溫度的線性擬合，得到滿足全溫度范圍內(nèi)的零位電壓和標(biāo)定系數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)對由于溫度引起的零位電壓誤差、標(biāo)度系數(shù)誤差和非正交誤差的校正。

1.1 數(shù)學(xué)建模

一般，三軸磁強(qiáng)計(jì)在衛(wèi)星上安裝時(shí)，會(huì)使其機(jī)械坐標(biāo)系和衛(wèi)星本體坐標(biāo)系(OXbYbZb)的3個(gè)軸互相平行，其安裝方位如圖1所示。三軸磁強(qiáng)計(jì)的測量坐標(biāo)系(OXmYmZm)和衛(wèi)星本體坐標(biāo)系的幾何關(guān)系如圖2所示。

圖1 三軸磁強(qiáng)計(jì)在衛(wèi)星中的方位Fig.1 Location of three-axis magnetometer in body of satellite

圖2 三軸磁強(qiáng)計(jì)測量坐標(biāo)系與衛(wèi)星本體坐標(biāo)系Fig.2 Three-axis magnetometer measurement coordinate and body coordinate of satellite

三軸磁強(qiáng)計(jì)的輸出磁場強(qiáng)度Bb(已經(jīng)過安裝矩陣變換到衛(wèi)星本體坐標(biāo)系中)與Bm(基于測量坐標(biāo)系)之間的關(guān)系，可參考泊松模型[12]表示為

Bb=ABm+b

(1)

式中：A為3×3系數(shù)矩陣；b為3×1零位電壓矩陣。

根據(jù)目前已知的三軸磁強(qiáng)計(jì)數(shù)學(xué)模型[12]，無論三軸磁強(qiáng)計(jì)的各種誤差如何，均可用泊松模型中的矩陣A與b描述。例如，對于三軸磁強(qiáng)計(jì)本身因制造和裝配工藝而產(chǎn)生的零位誤差、標(biāo)度系數(shù)(靈敏度)誤差與非正交誤差，零位誤差即矩陣b，標(biāo)度系數(shù)誤差主要表現(xiàn)在矩陣A的對角元，而矩陣A的非對角元?jiǎng)t反映了非正交誤差。對于載體磁場強(qiáng)度所造成的干擾，矩陣A描述了與地磁場強(qiáng)度呈線性關(guān)系的干擾，即軟磁干擾；矩陣b則表征了相對于衛(wèi)星本體坐標(biāo)系固定不變的干擾，即硬磁干擾。

對于輸出為電壓模擬量的三軸磁強(qiáng)計(jì)，參考泊松模型建立其測量模型。輸出電壓Um、標(biāo)定系數(shù)矩陣F和輸入磁場強(qiáng)度Bb之間的關(guān)系為

Um=FBb+U0，m

(2)

整理可得

(3)

令

(4)

則三軸磁強(qiáng)計(jì)的測量模型可表示為

(5)

在零位電壓U0，m的計(jì)算中，為了不引入偶然誤差，以線圈磁場強(qiáng)度為0 nT時(shí)三軸磁強(qiáng)計(jì)的輸出電壓作為零位電壓，不同溫度下計(jì)算出來的零位電壓對溫度進(jìn)行線性擬合，得出最終的零位電壓表達(dá)式。

在標(biāo)定系數(shù)矩陣F的計(jì)算中，不同溫度下，線圈磁場強(qiáng)度的梯度變化、三軸磁強(qiáng)計(jì)輸出電壓和已擬合得到的零位電壓，可構(gòu)成線性方程組。對于超定線性方程組，采用偽逆法可求出其最小二乘解。根據(jù)不同溫度下得出的標(biāo)定系數(shù)對溫度進(jìn)行線性擬合，得出最終的標(biāo)定系數(shù)矩陣。

1.2 磁場強(qiáng)度的計(jì)算過程

1)溫度的計(jì)算

根據(jù)不同溫度下三軸磁強(qiáng)計(jì)的溫度電壓輸出，線性擬合出溫度計(jì)算公式如下。

T=(Ut-Ui)/k

(6)

式中：T為環(huán)境溫度，℃；Ut為三軸磁強(qiáng)計(jì)的溫度測量輸出電壓，V；Ui為溫度測量截距，V；k為溫度比例系數(shù)，V/℃。

2)零位電壓的計(jì)算

根據(jù)不同溫度下磁場強(qiáng)度為0 nT時(shí)三軸磁強(qiáng)計(jì)的Xm軸、Ym軸、Zm軸磁場電壓輸出，利用三階線性擬合得出零位電壓的計(jì)算公式如下。

(7)

式中：UXm(0)，…，UZm(3)分別為Xm軸、Ym軸、Zm軸磁場電壓與溫度三階線性擬合得出的零階、一階、二階和三階系數(shù)。

3)標(biāo)定系數(shù)矩陣的計(jì)算

不同溫度下，求解超定線性方程組得出不同的標(biāo)定系數(shù)矩陣。利用三階擬合得出標(biāo)定系數(shù)矩陣和溫度的關(guān)系式如下。

(8)

式中：F11(0)，…，F(xiàn)33(3)分別為標(biāo)定系數(shù)矩陣F的9個(gè)矩陣元與溫度進(jìn)行三階線性擬合得出的零階、一階、二階和三階系數(shù)。

4)磁場強(qiáng)度的計(jì)算

根據(jù)三軸磁強(qiáng)計(jì)的四路遙測電壓，由式(6)～(8)計(jì)算三軸磁強(qiáng)計(jì)的零位電壓和標(biāo)定系數(shù)矩陣，根據(jù)式(5)可得出三軸磁強(qiáng)計(jì)的測量磁場強(qiáng)度。

2 測試及結(jié)果分析

2.1 溫度建模系數(shù)及零位電壓系數(shù)

標(biāo)定測試中，溫度范圍為-30～+60 ℃，溫度測量步長為10 ℃，磁場強(qiáng)度為0 nT的情況下線圈溫度和三軸磁強(qiáng)計(jì)的四路遙測電壓關(guān)系見表1。根據(jù)測試可得出溫度建模系數(shù)(見表2)和零位電壓系數(shù)(見表3)。

表1 溫度建模系數(shù)及零位電壓系數(shù)計(jì)算的測試數(shù)據(jù)

表2 溫度建模系數(shù)

表3 零位電壓系數(shù)

2.2 標(biāo)定系數(shù)矩陣

標(biāo)定測試中，磁場強(qiáng)度范圍為-80 000～+80 000 nT，磁場強(qiáng)度設(shè)定步長為20 000 nT。標(biāo)定中采用單軸標(biāo)定，即給三軸磁強(qiáng)計(jì)X軸加變化磁場時(shí)，Y軸和Z軸的磁場強(qiáng)度為0 nT。根據(jù)上文中三軸磁強(qiáng)計(jì)磁場強(qiáng)度測量的建模方法，利用偽逆法求解超定線性方程組，并對溫度進(jìn)行三階擬合，可得標(biāo)定系數(shù)矩陣擬合系數(shù)，見表4。

表4 標(biāo)定系數(shù)矩陣擬合系數(shù)

2.3 測試結(jié)果分析

線圈磁場強(qiáng)度分別為±80 000 nT、±40 000 nT和0 nT時(shí)，對標(biāo)定前后三軸磁強(qiáng)計(jì)的三軸測量誤差(測量值和標(biāo)稱值之差)和模值誤差(三軸測量值平方和的開方值與標(biāo)稱值之差)進(jìn)行對比，見圖3～7。可以看出：標(biāo)定前X軸、Y軸和Z軸的測量誤差最大可達(dá)700 nT，1400 nT， 1150 nT，模值誤差最大可達(dá)1500 nT，不同溫度下的測量誤差波動(dòng)很大。經(jīng)過標(biāo)定后的三軸磁強(qiáng)計(jì)，測量誤差可控制在300 nT以內(nèi)，測量精度明顯高于標(biāo)定前，姿態(tài)確定精度在0.8°以內(nèi)，可滿足一般微小衛(wèi)星的姿態(tài)確定要求[13]，充分體現(xiàn)了本文方法的實(shí)用性。由于本文采用偽逆法對三軸磁強(qiáng)計(jì)的測量誤差進(jìn)行修正，因此標(biāo)定后的測量誤差為統(tǒng)計(jì)意義上的最優(yōu)解，會(huì)存在不同磁場強(qiáng)度測量點(diǎn)誤差修正差異，即存在波動(dòng)現(xiàn)象；此外，三軸磁強(qiáng)計(jì)正負(fù)向敏感軸的不一致性，也會(huì)導(dǎo)致正負(fù)向磁場強(qiáng)度誤差標(biāo)定的波動(dòng)性不一致。

圖3 標(biāo)定前后的誤差(+80 000 nT磁場強(qiáng)度)Fig.3 Errors under +80000nT magnetic field intensity before and after calibration

圖4 標(biāo)定前后的誤差(+40 000 nT磁場強(qiáng)度)Fig.4 Errors under +40000nT magnetic field intensity before and after calibration

圖5 標(biāo)定前后的誤差(0 nT磁場強(qiáng)度)Fig.5 Errors under 0nT magnetic field intensity before and after calibration

圖6 標(biāo)定前后的誤差(-40 000 nT磁場強(qiáng)度)Fig.6 Errors under -40000nT magnetic field intensity before and after calibration

圖7 標(biāo)定前后的誤差(-80 000 nT磁場強(qiáng)度)Fig.7 Errors under -80000nT magnetic field intensity before and after calibration

3 結(jié)束語

本文對三軸磁強(qiáng)計(jì)的測量誤差進(jìn)行分析，對三軸磁強(qiáng)計(jì)的校正原理進(jìn)行數(shù)學(xué)建模并推導(dǎo)，利用偽逆法計(jì)算三軸磁強(qiáng)計(jì)的標(biāo)定系數(shù)。利用標(biāo)定系數(shù)和零位電壓對溫度進(jìn)行線性擬合，對三軸磁強(qiáng)計(jì)的測量進(jìn)行溫度補(bǔ)償，最后基于該模型在溫度可變的磁環(huán)境模擬器中對三軸磁強(qiáng)計(jì)進(jìn)行測試。測試結(jié)果表明，本文方法能有效地將磁場強(qiáng)度單軸測量誤差控制在300 nT以內(nèi)，明顯高于標(biāo)定前的精度，可滿足一般微小衛(wèi)星的姿態(tài)確定要求。由于產(chǎn)品的差異性，標(biāo)定后的測量誤差不是簡單的重復(fù)性關(guān)系，但是采用本文的標(biāo)定方法均可達(dá)到很好的標(biāo)定效果。

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