以導(dǎo)數(shù)為例淺談解題教學(xué)

張若謙

（浙江省浦江縣第三中學(xué)，浙江 金華）

有人說(shuō)，高三的數(shù)學(xué)教學(xué)就是解題教學(xué)。但是解題教學(xué)也并非是課堂上大量題目的堆砌，靠簡(jiǎn)單的題海戰(zhàn)術(shù)效率是極低的，學(xué)生對(duì)于這樣的課堂也會(huì)興趣索然。中學(xué)數(shù)學(xué)中主要的數(shù)學(xué)思想有：函數(shù)與方程的思想，分類討論的思想，數(shù)形結(jié)合思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想。教學(xué)時(shí)以體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想為訓(xùn)練的核心，以知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用為載體，以解法為外顯的形式，三者有機(jī)結(jié)合才更符合當(dāng)下高考對(duì)學(xué)生的要求。筆者以導(dǎo)數(shù)這一內(nèi)容為切入點(diǎn)，談?wù)剬?duì)解題教學(xué)的一些看法。

一、借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題

此類問(wèn)題的解決建立在函數(shù)圖形繪制上，而函數(shù)圖形的繪制最為核心的部分為函數(shù)在各區(qū)間上的單調(diào)性的確定。故此類問(wèn)題又可轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性。

例1.已知函數(shù)f（x）=（lnx+1）a-x恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解題分析：由題意，即方程（lnx+1）a-x=0在 x∈（0，+∞）上有兩根。對(duì)于此類問(wèn)題，解答思路有三種：（1）構(gòu)造函數(shù)法；（2）變量分離法；（3）數(shù)形結(jié)合法。

思路探求1：直接考慮f（x）圖形，函數(shù)定義域?yàn)閤∈（0，+∞），求得

（1）若a≤0，則f（′x）＜0，（fx）在x∈（0，+∞）上單調(diào)遞減，不符合題意2。 ＞0∈0＞0∈+

（ ）若a，當(dāng)x（ ，a），f（′x） ，（fx）單調(diào)遞增。當(dāng)x（a，∞），f（′x）＜0，（fx）單調(diào)遞減。故 （fx）max=（fa）=（lna+1）a-a＞0，得a＞1。

思路探求2：令 （fx）=（lnx+1）a-x=0，轉(zhuǎn)化為方程a（lnx+1）=x，按變量分離的思路，通常會(huì)習(xí)慣性地把左邊的式子除到右邊得記原問(wèn)題可等價(jià)轉(zhuǎn)化為y=a與y=g（x）在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。討論y=g（x）的單調(diào)性，求得

當(dāng)單調(diào)遞減。

當(dāng)x∈（1，+∞），g（′x）＞0，g（x）單調(diào)遞增。

但是 g（x）在處無(wú)意義，由分析可得，當(dāng)時(shí)，lnx+1→0，整個(gè)式子的值會(huì)趨向于無(wú)窮大。在的左邊區(qū)域內(nèi)函數(shù)值恒正，因而會(huì)趨向于正無(wú)窮大。在的右邊區(qū)域內(nèi)函數(shù)值恒負(fù)，因而會(huì)趨向于負(fù)無(wú)窮大。g（x）極小值=g（1）=1，得 a＞1。

方法優(yōu)化：變量分離后，在繪制右側(cè)函數(shù)圖形時(shí)由于其在定義域內(nèi)存在一個(gè)沒有意義的點(diǎn)≠，0對(duì)繪制的過(guò)程產(chǎn)ln生+1了=極為不便的影響。重新考慮分離，顯然a，故對(duì)方程a（x）x分離后可得記，當(dāng)＞0，h（x）單調(diào)遞增。

當(dāng)x∈（1，+∞），h（′x）＜0，h（x）單調(diào)遞減。

因?yàn)閤→+∞時(shí)，lnx+1→+∞，x→+∞，但lnx+1的增長(zhǎng)速率遠(yuǎn)小于x的增長(zhǎng)速率，故h（x）→0。當(dāng)然也可以用洛必達(dá)法則求極限可得 h（x）極小值=h（1）=1，故知 0a＞1。

思路探求 3：轉(zhuǎn)化為方程 a（lnx+1）=x后，顯然 a≠0，可整理得原問(wèn)題可等價(jià)轉(zhuǎn)化為 k（x）=lnx+1 與在x∈（0，+∞）有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。可得，只需算出過(guò)原點(diǎn)的切線l的斜率，設(shè)切點(diǎn)為Q（x0，lnx0+1），有斜率的兩種表達(dá)形式可得方程解得可得

方法點(diǎn)睛：借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題通常要繪制函數(shù)圖形，而在繪制過(guò)程中函數(shù)單調(diào)性的分析必不可少。有時(shí)往往需要把函數(shù)零點(diǎn)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)方程根的問(wèn)題。對(duì)于求參數(shù)范圍的問(wèn)題就可以使用普遍的三種解決策略進(jìn)行嘗試。

二、借助導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立問(wèn)題

不等式恒成立問(wèn)題作為考查函數(shù)知識(shí)點(diǎn)的經(jīng)典題型，通常的解決策1略也是較為固定： ?

（ ）（fx）＞c（常數(shù)）在區(qū)間［a，b］上恒成立 在區(qū)間［a，b］上，

（2）（fx）＞g（x）在區(qū)間［a，b］上恒成立?在區(qū)間［a，b］上，［（fx）-g（x）］min＞0；

（3）f（x1）＞g（x1）在區(qū)間［a，b］上恒成立?在區(qū)間［a，b］上，［（fx）］min＞［g（x）］max。

若是函數(shù)中帶有參數(shù)，那么其解決的策略也為變量分離法、構(gòu)造函數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法。

例2.已知若（fx）＜x2在（1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍。

思路探求：由題意可得恒成立。此時(shí)不等式兩邊均含有x，且左邊式子中帶有參數(shù)a。進(jìn)行變量分離處理，a＞-x3+xlnx，記 g（x）=-x3+xlnx，只需 a＞g（x）max，x∈（1，+∞）。若能繪制y=g（x）的函數(shù)圖形，則自然可得。故分析y=g（x）單調(diào)性，并求0其導(dǎo)數(shù)g（′x）=-3x2+lnx+1。但發(fā)現(xiàn)y=g（′x）并不容易直接得出與 的大小關(guān)系。若能繪制y=g（′x）圖形，自然可得。求其導(dǎo)數(shù)得可得x∈（1，+∞），g″（x）＜0，g（′x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞減。又因?yàn)間（′1）=-2，故y=g（′x）圖形，

可知當(dāng) x∈（1，+∞），g′（x）＜0，可知 g（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞減。g（x）＜g（1）=-1，得 a≥-1。

方法點(diǎn)睛：不等式恒成立問(wèn)題利用三種解題策略，經(jīng)轉(zhuǎn)化后大多能變?yōu)楹瘮?shù)的最值問(wèn)題。在函數(shù)結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜的情況下，可使用導(dǎo)數(shù)討論其單調(diào)并以此繪制函數(shù)草圖。在一階導(dǎo)數(shù)的數(shù)值還是較難分析時(shí)，就需要分析其二階導(dǎo)數(shù)。為了明晰解題思路，可在解題時(shí)繪制“思維流程圖”進(jìn)行輔助思考。

當(dāng)然，解決這類問(wèn)題需要從概念出發(fā)，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)結(jié)合、分類討論等多種思想方法。需要從解題策略和數(shù)學(xué)思想方法上進(jìn)行思維的優(yōu)化，只有這樣才能培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻度、靈活度，使解題教學(xué)更為有效。