采用權(quán)值配比優(yōu)化的超級(jí)電容等效電路模型參數(shù)辨識(shí)

張樂,續(xù)丹,王斌,馬光亮,李其玉,周歡

(西安交通大學(xué)機(jī)械電子工程研究所,710049,西安)

超級(jí)電容作為一種新型的儲(chǔ)能裝置,具有功率密度大、充放電速度快、工作效率高、循環(huán)壽命長(zhǎng)等優(yōu)點(diǎn)而受到研究者的廣泛關(guān)注[1-3]。建立一個(gè)能夠?qū)崟r(shí)反映超級(jí)電容充放電及自放電等特性的模型,對(duì)超級(jí)電容儲(chǔ)能系統(tǒng)的均衡、控制和性能優(yōu)化等都有重要的意義[4-5]。常見的超級(jí)電容模型包括電化學(xué)模型和等效電路模型[6-7]。電化學(xué)模型能很好地反映超級(jí)電容的內(nèi)部工作機(jī)理,但無(wú)法反映超級(jí)電容的物理特性。等效電路模型采用電阻、電容元件描述超級(jí)電容的動(dòng)態(tài)工作特性,具有實(shí)際的物理意義,因此具有很強(qiáng)的實(shí)用性。由于超級(jí)電容等效電路參數(shù)辨識(shí)的結(jié)果直接影響模型精度,因此在建立超級(jí)電容等效電路模型的基礎(chǔ)上,采用合適的方法對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行有效辨識(shí)顯得尤為重要。

目前,超級(jí)電容模型參數(shù)辨識(shí)方法包括最小二乘法、粒子群算法、自適應(yīng)模糊估計(jì)算法、二元二次方程擬合等[8-10]。最小二乘法簡(jiǎn)單直觀,對(duì)非線性模型參數(shù)具有很好的統(tǒng)計(jì)計(jì)算效果,但辨識(shí)精度不高;粒子群算法能提高模型參數(shù)辨識(shí)的精度,但計(jì)算復(fù)雜,特別是對(duì)時(shí)變系統(tǒng)不易實(shí)現(xiàn)在線參數(shù)辨識(shí);自適應(yīng)模糊估計(jì)對(duì)非線性系統(tǒng)有較好的魯棒性,但穩(wěn)態(tài)誤差難以補(bǔ)償;二元二次擬合方法求解結(jié)果為特定的解,常因虛根問(wèn)題造成辨識(shí)結(jié)果不準(zhǔn)確。

考慮超級(jí)電容的容量隨電壓變化,還需要辨識(shí)超級(jí)電容的可變電容分支參數(shù)[11-12]。為了采用簡(jiǎn)單有效的方法辨識(shí)超級(jí)電容模型參數(shù),本文提出一種基于權(quán)值配比優(yōu)化的超級(jí)電容等效電路模型參數(shù)辨識(shí)方法?；诔?jí)電容三分支等效電路模型,首先通過(guò)可變電容和電壓之間的關(guān)系擬合可變電容的比例參數(shù),然后結(jié)合遞推最小二乘法(RLS)和雙線性變換方法在不同工步條件下參數(shù)辨識(shí)的優(yōu)點(diǎn)對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行修正,以獲得更加精確的參數(shù)估計(jì)值,最后通過(guò)等效電路模型計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果比較,驗(yàn)證了所提出的基于權(quán)值配比優(yōu)化方法的有效性。

1 超級(jí)電容模型

超級(jí)電容的等效電路建模具有方法簡(jiǎn)單、便于計(jì)算等優(yōu)點(diǎn)。已有的等效電路模型包括經(jīng)典等效電路模型、梯形電路模型、多分支RC模型等[11,13-14]。經(jīng)典等效電路模型結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、參數(shù)辨識(shí)容易,但在長(zhǎng)時(shí)間充放電和靜置條件下,模型仿真精度不高;梯形電路模型在較寬的頻率范圍內(nèi)有較高的擬合精度,但階次越高,模型精度越高,參數(shù)辨識(shí)也越復(fù)雜,并且梯形等效電路不同分支中的電阻和電容耦合度高,不易求解;多分支RC模型考慮了超級(jí)電容電壓與電容的依賴關(guān)系,各分支上電阻和電容相對(duì)獨(dú)立,可以根據(jù)精度要求選擇分支數(shù)[15]。

本文采用三分支等效電路對(duì)超級(jí)電容建模,可以有效保證模型精度,并且模型復(fù)雜度適中,如圖1所示。考慮超級(jí)電容的容量隨電壓變化,在模型第1分支中采用固定電容Ci0和固定電容Ci1與時(shí)變電壓V的乘積組合而成的“可變電容”Ci1V組成快速分支,采用Ri模擬快速分支等效串聯(lián)內(nèi)阻,根據(jù)電容隨電壓的變化關(guān)系描述超級(jí)電容充放電時(shí)的時(shí)變動(dòng)態(tài)特性;采用Rd和Cd串聯(lián)構(gòu)成慢速分支;采用Rl構(gòu)成自放電分支,主要描述超級(jí)電容在充放電結(jié)束后的自放電特性。因此,通過(guò)第1、第2和第3分支等效電路設(shè)計(jì),可以有效描述超級(jí)電容內(nèi)部電荷的重新分配現(xiàn)象和充放電、自放電等特性。

圖1 超級(jí)電容等效電路模型

2 參數(shù)辨識(shí)

在新威爾測(cè)試平臺(tái)上對(duì)超級(jí)電容進(jìn)行多工步條件測(cè)試?；诔?jí)電容三分支等效電路模型,分別采用RLS法和雙線性變換法對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)。

2.1 遞推最小二乘法辨識(shí)

(1)

(2)

式中:z(k)為輸出量的第k次觀測(cè)值;y(k-j)是系統(tǒng)第k-j個(gè)輸出值;u(k-j)為系統(tǒng)的第k-j個(gè)輸入值;v(k)是系統(tǒng)的測(cè)量噪聲;αj、βj分別是RLS算法中輸出量和輸入量的待求解系數(shù)。

h(k)=[-y(k-1),…,-y(k-n),

u(k-1),…,u(k-n)]

(3)

(4)

RLS法具體遞推算法為

(5)

根據(jù)圖1所示的超級(jí)電容等效電路模型,選擇電流i(t)作為系統(tǒng)的輸入,電壓u(t)作為系統(tǒng)的輸出。在超級(jí)電容充放電過(guò)程中可實(shí)時(shí)采集得到N個(gè)輸入值i(1),…,i(N)和N個(gè)輸出值u(1),…,u(N)。首先,求超級(jí)電容模型傳遞函數(shù)

(6)

式中:X=RiRl+RdRl+RiRd,Ri、Rd、Rl分別為模型第1、第2和第3分支的電阻;Ci為第1分支的總電容值;Cd為第2分支的電容;s為拉式變換的復(fù)變量。對(duì)式(6)進(jìn)行拉氏變換

G(s)=(b2s2+b1s+b0)/(s2+a1s+a0)

(7)

其中拉氏變換系數(shù)a1、a0、b2、b1、b0分別為

(8)

對(duì)連續(xù)傳遞函數(shù)進(jìn)行離散化,即對(duì)傳遞函數(shù)進(jìn)行z變換

G(z)=

(9)

相應(yīng)的差分方程為

u(z)=α1u(z-1)+α2u(z-2)+β1i(z)+

β2i(z-1)+β3i(z-2)

(10)

式中:u(z)為系統(tǒng)輸出量的第z次觀測(cè)值;u(z-n)為系統(tǒng)第z-n次輸出值(n=1,2,…);i(z-n)為系統(tǒng)的第z-n次輸入值(n=0,1,2,…);α1、α2、β1、β2、β3為RLS算法的待求解系數(shù)

(11)

實(shí)驗(yàn)輸入輸出數(shù)據(jù)矩陣和系統(tǒng)待辯識(shí)參數(shù)矩陣的z變換分別為

h(z)=

[-u(z-1),-u(z-2),i(z),i(z-1),i(z-2)]

(12)

(13)

式(10)可改寫為

(14)

2.2 雙線性變換辨識(shí)

應(yīng)用雙線性變換方法對(duì)超級(jí)電容等效電路模型進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)。通過(guò)將由連續(xù)信號(hào)采樣所得的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行離散化區(qū)域劃分,對(duì)模型的傳遞函數(shù)進(jìn)行離散化處理,從而實(shí)現(xiàn)對(duì)模型參數(shù)的有效估計(jì)。對(duì)式(7)進(jìn)行雙線性變換

G(z)=(β3z-2+β2z-1+β1)/(-α2z-2-α1z-1+1)

(15)

相應(yīng)的差分方程為

u(z)=α1u(z-1)+α2u(z-2)+β1i(z)+

β2i(z-1)+β3i(z-2)

(16)

其中

(17)

采用雙線性反變換求實(shí)際參數(shù)模型得

(18)

即

(19)

3 實(shí)驗(yàn)測(cè)試和模型計(jì)算分析

本文具體研究的雙電層超級(jí)電容型號(hào)規(guī)格為SAMWHA 350F。額定電壓為2.7 V,在恒流條件下對(duì)其進(jìn)行充放電和自放電實(shí)驗(yàn),電流選擇為15 A,實(shí)驗(yàn)環(huán)境溫度為20 ℃,采樣周期為1 s。實(shí)驗(yàn)所用的新威爾超級(jí)電容測(cè)試平臺(tái)如圖2所示,實(shí)驗(yàn)測(cè)試的超級(jí)電容單體充放電特性曲線如圖3所示。

圖2 超級(jí)電容測(cè)試平臺(tái)

圖3 超級(jí)電容單體實(shí)驗(yàn)曲線

為確定超級(jí)電容等效電容Ci隨端電壓U變化的函數(shù)關(guān)系,采用曲線擬合方法對(duì)實(shí)驗(yàn)所得數(shù)據(jù)進(jìn)行處理,有

Ci=Ci0+Ci1V=0.114 8V-0.083 14

(20)

通過(guò)電容和電壓的擬合曲線得Ci1=0.114 8。

基于可變分支電容比例參數(shù)的辨識(shí)結(jié)果,分別采用RLS法和雙線性變換方法對(duì)超級(jí)電容等效電路模型進(jìn)行參數(shù)辨識(shí),并通過(guò)模型計(jì)算結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證所辨識(shí)參數(shù)的準(zhǔn)確性,基本思路如圖4所示,參數(shù)辨識(shí)結(jié)果見表1。

圖4 參數(shù)辨識(shí)與模型驗(yàn)證流程圖

方法Ri/ΩRd/ΩRl/ΩCi/FCd/FRLS0.01250.013930328.586919.1526雙線性變換0.01180.017821.31327.298525.1575

分別采用RLS法和雙線性變換方法進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)后獲得的超級(jí)電容充放電及自放電對(duì)應(yīng)的電壓曲線如圖5、圖6所示。

圖5 RLS法計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較

由圖5可以看出,RLS方法在平穩(wěn)環(huán)境下能有效模擬超級(jí)電容的充放電特性,而在非平穩(wěn)環(huán)境下對(duì)突變和時(shí)變信號(hào)的跟蹤能力不夠[16]。超級(jí)電容充放電結(jié)束節(jié)點(diǎn)前后,由于電流突變?yōu)?,RLS方法對(duì)參數(shù)的修正能力下降,計(jì)算結(jié)果在工作條件突變時(shí)發(fā)生較大偏差;在充放電結(jié)束階段和靜置階段,RLS方法能夠較準(zhǔn)確地模擬超級(jí)電容的自放電特性。根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果和仿真結(jié)果對(duì)比可得,采用RLS方法的綜合誤差約為2.35%。

圖6 雙線性變換法仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較

由圖6可以看出,雙線性變換方法能較好地反映超級(jí)電容的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性。在超級(jí)電容充放電結(jié)束前后,電流的突變對(duì)超級(jí)電容的充放電過(guò)程影響不大,有效反映了超級(jí)電容的充放電動(dòng)態(tài)特性,但是在超級(jí)電容靜置階段和自放電階段,雙線性變換方法不能很好地描述其靜態(tài)特性,模擬計(jì)算結(jié)果在超級(jí)電容靜置時(shí)偏差較大。根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果和仿真結(jié)果對(duì)比可得,采用雙線性變換方法的綜合誤差約為2.68%。

對(duì)比分析結(jié)果表明,RLS法和雙線性變換方法均能對(duì)超級(jí)電容等效電路模型進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)。針對(duì)超級(jí)電容不同工步測(cè)試條件進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)時(shí),2種方法有各自不同的優(yōu)缺點(diǎn)。

4 權(quán)值配比優(yōu)化

根據(jù)上述2種方法的參數(shù)辨識(shí)結(jié)果分析,為了保證等效電路模型能準(zhǔn)確反映超級(jí)電容充放電、自放電特性,即超級(jí)電容模型在平穩(wěn)環(huán)境下有良好的自放電特性,在時(shí)變環(huán)境下有準(zhǔn)確的充放電特性。本文綜合了2種辨識(shí)方法的優(yōu)點(diǎn),采用權(quán)值配比優(yōu)化的方法將RLS方法和雙線性變換方法的計(jì)算機(jī)理進(jìn)行有機(jī)結(jié)合,對(duì)所辨識(shí)出的參數(shù)值進(jìn)行加權(quán)優(yōu)化配比,通過(guò)控制2種方法在超級(jí)電容不同工步階段的權(quán)值對(duì)參數(shù)辨識(shí)結(jié)果進(jìn)行修正。分別設(shè)計(jì)RLS方法和雙線性變換方法的權(quán)值為wr和wb,則令

wr+wb=10

(21)

在充放電階段,令wb>wr;在自放電階段,令wb

表2 不同權(quán)值配比時(shí)的工作階段端電壓誤差

注:加粗?jǐn)?shù)值指不同工步條件下的端電壓誤差最小結(jié)果。

結(jié)合超級(jí)電容三分支等效電路模型快慢分支的特點(diǎn),在權(quán)值配比優(yōu)化的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行分析和修正。在超級(jí)電容等效電路模型中,電阻Ri、電容Ci0和可變電容Ci1V組成的快速分支主要完成超級(jí)電容的快速充電過(guò)程,電容Ci0主要完成超級(jí)電容在充滿電后的放電工作。因此,對(duì)于Ri和Ci0,應(yīng)選擇的權(quán)值配比為wrwb。由于模型各參數(shù)相互影響,基于上述分析和大量的實(shí)驗(yàn)測(cè)試統(tǒng)計(jì),最終確定的權(quán)值優(yōu)化配比結(jié)果見表3。在表3權(quán)值配比情況下的模型工作階段端電壓的計(jì)算結(jié)果如圖7所示。

表3 模型各參數(shù)權(quán)值配比情況

圖7 最優(yōu)取值配比條件下工作階段端電壓的仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果

超級(jí)電容的自放電和靜置指在放電結(jié)束后電壓出現(xiàn)的下降和自恢復(fù)現(xiàn)象[17],主要是由于超級(jí)電容在充放電過(guò)程中和結(jié)束后其內(nèi)部電荷的重新分配和內(nèi)部尚未完全停止的電化學(xué)反應(yīng)[18]。為解決這一問(wèn)題,在充電結(jié)束后,給超級(jí)電容等效電路模型增加一個(gè)微小的電流補(bǔ)償模擬其電化學(xué)反應(yīng)過(guò)程,并結(jié)合權(quán)值配比優(yōu)化后的參數(shù)修正結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。為驗(yàn)證權(quán)值配比優(yōu)化方法的有效性和適用性,在超級(jí)電容測(cè)試平臺(tái)上,分別在恒流條件下將超級(jí)電容充電至額定電壓和2.5 V后再進(jìn)行放電的實(shí)驗(yàn),并采用權(quán)值配比優(yōu)化方法進(jìn)行參數(shù)辨識(shí),將最終的實(shí)驗(yàn)結(jié)果和模型計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,如圖8所示。

(a)超級(jí)電容充電至額定電壓

(b)超級(jí)電容充電至2.5 V圖8 多組實(shí)驗(yàn)條件下自放電過(guò)程優(yōu)化結(jié)果

實(shí)驗(yàn)結(jié)果和采用權(quán)值配比優(yōu)化方法計(jì)算結(jié)果的最終誤差約為0.9%,因此基于權(quán)值配比優(yōu)化對(duì)超級(jí)電容等效電路模型參數(shù)進(jìn)行修正,結(jié)合超級(jí)電容自放電特點(diǎn)對(duì)自放電分支進(jìn)行電流補(bǔ)償,能準(zhǔn)確表征超級(jí)電容的實(shí)時(shí)工作響應(yīng)特性,驗(yàn)證了所提出的權(quán)值配比優(yōu)化方法對(duì)超級(jí)電容等效電路模型參數(shù)辨識(shí)的正確性,提高了超級(jí)電容等效電路模型的精度,與RLS法和雙線性變換方法相比,辨識(shí)精度分別提高了1.45%和1.78%。

5 結(jié) 論

采用傳統(tǒng)的RLS方法和雙線性變換方法辨識(shí)超級(jí)電容等效電路模型參數(shù)時(shí),模型不能完全反映超級(jí)電容的動(dòng)態(tài)充放電特性、自放電特性和靜態(tài)特性。為有效解決上述問(wèn)題,提高模型精度,本文提出一種基于權(quán)值配比優(yōu)化的超級(jí)電容等效電路模型參數(shù)辨識(shí)方法。在超級(jí)電容三分支等效電路模型的基礎(chǔ)上,通過(guò)可變電容和電壓之間的關(guān)系擬合可變電容分支的比例參數(shù)。分別采用RLS方法和雙線性變換方法辨識(shí)超級(jí)電容等效電路模型各分支的參數(shù),并就2種方法對(duì)快速分支、慢速分支與自放電分支的影響進(jìn)行深入分析,得出權(quán)值配比方法在不同工步測(cè)試條件下的最優(yōu)結(jié)果。結(jié)合RLS方法和雙線性變換方法的優(yōu)點(diǎn)設(shè)計(jì)了針對(duì)超級(jí)電容等效電路各分支參數(shù)的權(quán)值配比優(yōu)化方法。搭建超級(jí)電容等效電路模型,并代入基于權(quán)值優(yōu)化方法計(jì)算的參數(shù),將模型計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果比較分析。與遞推最小二乘法和雙線性變換方法相比,采用權(quán)值配比優(yōu)化方法可以更加準(zhǔn)確地反映超級(jí)電容的充放電特性、自放電特性和靜置特性,模型精度分別提高了1.45%和1.78%。

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