在數(shù)學(xué)活動(dòng)中滲透分類思想的價(jià)值與策略

摘 要：分類，作為一種基本的數(shù)學(xué)思想或數(shù)學(xué)思維方法，在數(shù)學(xué)活動(dòng)中有提供數(shù)學(xué)化的基礎(chǔ)、簡化思維的可能路徑、豐富學(xué)生的組織策略的價(jià)值。文章以“圖形的認(rèn)識(shí)”教學(xué)為例，探討了在數(shù)學(xué)活動(dòng)中滲透分類思想時(shí)應(yīng)注意分類探索新知需緊扣標(biāo)準(zhǔn)，分類解決問題時(shí)需遷移經(jīng)驗(yàn)，分類表達(dá)關(guān)系時(shí)需重視多元。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)活動(dòng)；分類思想；價(jià)值；策略

作者簡介：趙琴，江蘇省揚(yáng)州市育才小學(xué)東區(qū)校教師。（江蘇 揚(yáng)州 225000）

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1671-0568（2018）34-0018-03

數(shù)學(xué)思想是人類對數(shù)學(xué)及其研究對象，對數(shù)學(xué)知識(shí)以及數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)性的認(rèn)識(shí)，是在數(shù)學(xué)的發(fā)展史上形成和發(fā)展的。它與具體的知識(shí)技能相比，具有潛隱性，如“分類”“一一對應(yīng)”“轉(zhuǎn)化”“模型化”一些基本的數(shù)學(xué)思想方法貫穿于整個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，卻并未作為一個(gè)知識(shí)點(diǎn)專門教學(xué)，而是隱藏在學(xué)生的認(rèn)知活動(dòng)中，逐步滲透，直至學(xué)生感悟并能自覺運(yùn)用。史寧中教授指出，在認(rèn)識(shí)圖形的教學(xué)中，重要的是讓學(xué)生學(xué)會(huì)對圖形分類。本文以“圖形的認(rèn)識(shí)”教學(xué)為例，探討如何在數(shù)學(xué)活動(dòng)中深化學(xué)生的分類思想，感悟數(shù)學(xué)的理性思維。

一、數(shù)學(xué)活動(dòng)中分類的價(jià)值

數(shù)學(xué)中的分類思想是指根據(jù)數(shù)學(xué)對象本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，將其分成不同種類的數(shù)學(xué)思想，是根據(jù)一定標(biāo)準(zhǔn)，對事物進(jìn)行有序劃分和組織的過程。分類，作為一種基本的數(shù)學(xué)思想或數(shù)學(xué)思維方法，在數(shù)學(xué)活動(dòng)中對促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展、認(rèn)知發(fā)展、提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)有著重要的作用。同時(shí)，分類也可被看成一種基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)。

1. 提供數(shù)學(xué)化的基礎(chǔ)。弗賴登塔爾認(rèn)為，學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)，與其說是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，倒不如說是學(xué)習(xí)“數(shù)學(xué)化”。數(shù)學(xué)化分為水平數(shù)學(xué)化和垂直數(shù)學(xué)化兩個(gè)層次。水平數(shù)學(xué)化是指由現(xiàn)實(shí)問題到數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化，是從“生活”到“符號(hào)”的轉(zhuǎn)化。垂直數(shù)學(xué)化是從具體問題到抽象概念的轉(zhuǎn)化，是從“符號(hào)”到“概念”的轉(zhuǎn)化。分類活動(dòng)中，需要學(xué)生對研究事物進(jìn)行分析、比較，關(guān)注相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，抽象出事物的一般特點(diǎn)與本質(zhì)屬性，建立概念。分類，作為數(shù)學(xué)化的前奏，為學(xué)生順利進(jìn)行數(shù)學(xué)化提供了必要的研究基礎(chǔ)。

2. 簡化思維的可能路徑。分類具有明確的目的性，一是歸類，二是區(qū)分類別，建立清晰的序。面對復(fù)雜的事物和現(xiàn)象時(shí)，歸類與區(qū)分類別都可以梳理復(fù)雜的現(xiàn)象，有序、有層次地呈現(xiàn)多種可能路徑，簡化問題的解決路徑，突出關(guān)鍵要素，讓學(xué)生在可能路徑中有條理地確定思路、優(yōu)化思路，逐漸推進(jìn)問題的解決，接近概念的本質(zhì)。

3. 豐富學(xué)生的組織策略。組織策略是整合所學(xué)新知識(shí)之間、新舊知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，形成新的知識(shí)結(jié)構(gòu)的策略。在學(xué)習(xí)分類的過程中，學(xué)生可以逐步清晰概念的外延與內(nèi)涵，也可以應(yīng)用分類整理已有的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，深度加工已有經(jīng)驗(yàn)，完善已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)。更為重要的是，學(xué)生可以將分類的方法遷移到其他學(xué)科的學(xué)習(xí)中去，潛移默化中受分類思想的影響，運(yùn)用分類學(xué)習(xí)或解決生活中其他類似的問題。分類的經(jīng)歷，幫助學(xué)生豐富問題解決的組織策略，助推學(xué)生能力的增強(qiáng)。

二、數(shù)學(xué)活動(dòng)中滲透分類思想的策略

1. 分類探索新知，緊扣標(biāo)準(zhǔn)。在小學(xué)一年級(jí)會(huì)單獨(dú)安排課時(shí)教學(xué)分類，要求學(xué)生掌握分類時(shí)做到不重復(fù)不遺漏，理解不同的分類標(biāo)準(zhǔn)分得的結(jié)果會(huì)不相同。在后續(xù)的學(xué)習(xí)中，分類依然存在于各種活動(dòng)中，但分類標(biāo)準(zhǔn)逐漸淡化。如《三角形的分類》教學(xué)中，教師會(huì)出示多種三角形（如圖1）讓學(xué)生分類，并填入設(shè)計(jì)好的表格中，然后觀察角的特點(diǎn)，形成共識(shí)：①和⑥一類，②和④一類，③和⑤一類，因?yàn)棰俸廷薅加幸粋€(gè)直角，②和④都有三個(gè)銳角，③和⑤都有一個(gè)鈍角。在此基礎(chǔ)上，教師進(jìn)行總結(jié)，像①和⑥這樣的三角形叫作直角三角形，像②和④這樣的三角形叫作銳角三角形，像③和⑤這樣的三角形叫作鈍角三角形。再觀察所填表格中銳角的個(gè)數(shù)，確定每個(gè)三角形至少有兩個(gè)銳角。

這是《三角形的分類》教學(xué)中常見的設(shè)計(jì)，學(xué)生對三角形內(nèi)角的情況進(jìn)行記錄再分類，過程中學(xué)生并不清晰分類標(biāo)準(zhǔn)是什么。教師需要引導(dǎo)學(xué)生觀察表格，在都有銳角的情況下還有什么不同，確定最大角為分類的標(biāo)準(zhǔn)。當(dāng)清晰分類的標(biāo)準(zhǔn)與最大角有關(guān)時(shí)，三角形中至少有兩個(gè)銳角就容易理解了，無需記憶和分辨。緊扣標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，不僅可以全面地考慮問題，也可深入理解概念的本質(zhì)。分類是活動(dòng)中的一部分，緊扣分類標(biāo)準(zhǔn)，可以幫助學(xué)生逐漸學(xué)會(huì)制定分類標(biāo)準(zhǔn)，并遵循標(biāo)準(zhǔn)分類，聚焦關(guān)鍵問題，做到不重復(fù)、不遺漏，形成清晰的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

2. 分類解決問題，遷移經(jīng)驗(yàn)。遷移是指一種學(xué)習(xí)對另一種學(xué)習(xí)的影響，或習(xí)得的經(jīng)驗(yàn)對完成其他活動(dòng)的影響。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有螺旋上升的特點(diǎn)，其中蘊(yùn)含著如何發(fā)揮分類經(jīng)驗(yàn)的遷移。首先，關(guān)注分類經(jīng)驗(yàn)的積累。教學(xué)中，學(xué)生的分類訓(xùn)練可以從質(zhì)性分類逐步走向量性分類、從局部找不同到整體分類，不同層次要求的分類可以幫助學(xué)生拓展分類的角度，獲取分類的經(jīng)驗(yàn)。如在一年級(jí)圖形的認(rèn)識(shí)中，可以讓學(xué)生找出圖2中哪個(gè)圖形與其他三種不一樣，找的過程就是訓(xùn)練學(xué)生分析圖形特征的過程。其次，關(guān)注橫向遷移和縱向遷移。橫向遷移指先行學(xué)習(xí)內(nèi)容與后繼學(xué)習(xí)內(nèi)容在難度、復(fù)雜程度和概括層次上屬于同一水平的學(xué)習(xí)活動(dòng)之間產(chǎn)生的影響?？v向遷移指先行學(xué)習(xí)內(nèi)容與后續(xù)學(xué)習(xí)內(nèi)容是不同水平的學(xué)習(xí)活動(dòng)之間產(chǎn)生的影響。在圖形的認(rèn)識(shí)中，有些分類的教學(xué)是相通的。如在研究長方形和正方形的特征后，引導(dǎo)學(xué)生分析正方形具有長方形所有的特征，所以正方形是特殊的長方形。在學(xué)習(xí)長方體和正方體時(shí)，可以將已有的分類經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行遷移，正方體具有長方體所有的特征，正方體是特殊的長方體。

分類思想的滲透，分類經(jīng)驗(yàn)的遷移可以幫助學(xué)生理清數(shù)學(xué)問題，概括并總結(jié)有規(guī)律性的數(shù)學(xué)問題，尋求解題的策略，提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維的條理性。

3. 分類表達(dá)關(guān)系，重視多元。數(shù)學(xué)是研究關(guān)系的一門學(xué)科，分類表達(dá)關(guān)系，可以幫助學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，接近數(shù)學(xué)的本質(zhì)。表達(dá)關(guān)系有多種形式，一般有表格式（圖3）、樹狀式（圖4）、韋恩圖（圖5）；表格式一般將圖形特征進(jìn)行對比，描述具體，對比鮮明；樹狀式一般表示圖形之間的層次關(guān)系；韋恩圖一般表示集合和圖形關(guān)系。在實(shí)際運(yùn)用中，只需根據(jù)學(xué)生理解的需要進(jìn)行選擇。

在分類表達(dá)關(guān)系時(shí)，教師要保持開放的心態(tài)，鼓勵(lì)學(xué)生用多種方式自主表達(dá)，展現(xiàn)其對圖形本質(zhì)的理解。

4. 分類整理知識(shí)，優(yōu)化思路。在“圖形的認(rèn)識(shí)”教學(xué)中，學(xué)生需根據(jù)圖形的特征或相互間的關(guān)系進(jìn)行分類整理，借助比較、對比、舉例等方法來突出圖形間的聯(lián)系與區(qū)別。如立體圖形可以按面是否是曲面進(jìn)行分類，長方體與正方體為一類，圓柱與圓錐為一類；也可以按是否是直柱體分類，長方體、正方體和圓柱為一類，圓錐為一類。兩種分類都可以開展研究，但從知識(shí)的化歸角度分析，按是否是直柱體分類，研究圖形體積的計(jì)算公式時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)側(cè)面積的計(jì)算公式是相通的，也可以歸納出直柱體的體積計(jì)算公式，底面積乘高等于體積，從而利于呈現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)部的和諧。

數(shù)學(xué)知識(shí)是一個(gè)有機(jī)整體，各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間存在包含、并列等關(guān)系，復(fù)習(xí)時(shí)可以將平時(shí)所學(xué)的孤立的、分散的知識(shí)作橫向、縱向或不同角度的分類，進(jìn)行有序的整理，使其系統(tǒng)化，連成片，結(jié)成網(wǎng)，以便學(xué)生理解、記憶和應(yīng)用。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生按一定的標(biāo)準(zhǔn)把有關(guān)知識(shí)進(jìn)行整理、分類、綜合，并針對學(xué)生的整理情況，幫助學(xué)生優(yōu)化分類的思路，完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

分類作為數(shù)學(xué)思想方法，其在教學(xué)中的運(yùn)用還需遵循滲透性、反復(fù)性、明確性和實(shí)踐性的教學(xué)原理。分類的價(jià)值需在學(xué)生親歷的活動(dòng)中體悟，讓學(xué)生進(jìn)行實(shí)踐、探索，積累分類的經(jīng)驗(yàn)，感悟分類的需要，形成對分類的個(gè)體感悟，領(lǐng)悟分類思想的價(jià)值所在，逐漸形成面對問題時(shí)能自覺分類的意識(shí)。

參考文獻(xiàn)：

[1] 史寧中.基本概念與運(yùn)算法則[M].北京：高等教育出版社，2013.

責(zé)任編輯 黃 晶