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    對稱點(diǎn)的特殊與一般

    2018-02-26 16:41:39葉智超
    初中生世界·八年級 2018年2期
    關(guān)鍵詞:中畫圖略對稱點(diǎn)

    葉智超

    同學(xué)們,我們在課堂上研究了平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸、原點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn),當(dāng)我們把對稱軸、對稱中心進(jìn)行適當(dāng)平移后,這些對稱點(diǎn)的坐標(biāo)又會有什么樣的變化呢?下面,讓我們共同來研究.

    請同學(xué)們思考這樣一道題目:

    1.在直角坐標(biāo)系中,△ABC的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-4,5),B(-5,2),C(-1,3).

    (1)△A0B0C0與△ABC關(guān)于y軸對稱.在圖1中畫出△A0B0C0,并寫出△A0B0C0三個頂點(diǎn)的坐標(biāo);

    (2)觀察圖中對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系,寫出直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)P(a,b)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo):______.

    【解析】(1)分別作出各點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn),再順次連接即可,圖略,A0(4,5),B0(5,2),C0(1,3);(2)(-a,b).

    【說明】本題主要考查在直角坐標(biāo)系中根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作圖,以及圖形的軸對稱變換與點(diǎn)的坐標(biāo)變化之間的關(guān)系.作關(guān)于y軸對稱的圖形是同學(xué)們平常接觸過的問題,難度不大.

    請同學(xué)們再觀察下列兩題:

    2.在直角坐標(biāo)系中,△ABC的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-4,5),B(-5,2),C(-1,3).

    (1)直線l1經(jīng)過點(diǎn)(1,0),并且與y軸平行, △A1B1C1與△ABC關(guān)于直線l1對稱.在圖2中畫出△A1B1C1,并寫出△A1B1C1三個頂點(diǎn)的坐標(biāo);

    (2)比較圖2中△A1B1C1與圖1中△A0B0C0的位置關(guān)系,你發(fā)現(xiàn)了什么?

    (3)寫出直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)P(a,b)關(guān)于直線l1的對稱點(diǎn)的坐標(biāo):______.

    3.在直角坐標(biāo)系中,△ABC的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-4,5),B(-5,2),C(-1,3).

    (1)若直線l2經(jīng)過點(diǎn)(2,0),并且與y軸平行,△A2B2C2與△ABC關(guān)于直線l2對稱.在圖3中畫出△A2B2C2,并寫出△A2B2C2三個頂點(diǎn)的坐標(biāo);

    (2)比較圖3中△A2B2C2與圖1中△A0B0C0的位置關(guān)系,你發(fā)現(xiàn)了什么?

    (3)寫出直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)P(a,b)關(guān)于直線l2的對稱點(diǎn)的坐標(biāo):______.

    【解析】問題2中:(1)圖略,A1(6,5),B1(7,2),C1(3,3);(2)把△A0B0C0向右平移2個單位,得到△A1B1C1;(3)(-a+2,b).問題3中:(1)圖略,A2(8,5),B2(9,2),C2(5,3);(2)把△A0B0C0向右平移4個單位,得到△A2B2C2;(3)(-a+4,b).

    下面請同學(xué)們仔細(xì)觀察上述3個題目:

    (1)你能發(fā)現(xiàn)對稱的兩個點(diǎn)的坐標(biāo)有何關(guān)系嗎?

    (2)你能用語言描述你的發(fā)現(xiàn)并解釋其中的道理嗎?

    (3)若直線l經(jīng)過點(diǎn)(n,0)(n>0)并且與y軸平行,你能寫出直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)P(a,b)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)嗎?

    (4)當(dāng)n<0時,情況又怎樣呢?

    (5)若直線l′經(jīng)過點(diǎn)(0,m)并且與x軸平行,你能用上面所獲得的活動經(jīng)驗(yàn)研究直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)P(a,b)關(guān)于直線l′的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)嗎?

    同學(xué)們,把對稱軸改變后,這些對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是否具有某種規(guī)律性?經(jīng)過嘗試,我們發(fā)現(xiàn)這種規(guī)律性是存在的,大家應(yīng)該學(xué)著闡述對稱軸的平移和對稱圖形的平移之間的關(guān)系,以及點(diǎn)的坐標(biāo)的變化情況.當(dāng)n>0時,點(diǎn)P(a,b)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是(-a+2n,b),當(dāng)n<0時,坐標(biāo)仍然滿足上述規(guī)律.

    我們在平時的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中要學(xué)會對問題進(jìn)行反思,把問題的條件或結(jié)論一般化,可能就會挖掘出更有價值的知識,形成對圖形變換的整體認(rèn)識.當(dāng)然,再碰到較難問題時,我們也可先將條件或結(jié)論特殊化,去尋找特殊情形時的方法,然后再類比到所求問題中.

    因此,同學(xué)們在學(xué)習(xí)與解題時,應(yīng)多去感悟“特殊與一般”的數(shù)學(xué)思想,力爭做一題會一類,掌握研究問題和解題的方法,提高學(xué)習(xí)能力.

    練習(xí):

    1.在直角坐標(biāo)系中, △ABC的位置如圖4所示.

    (1)先將△ABC向下平移2個單位后,再作該三角形(平移后的三角形)關(guān)于y軸成軸對稱的圖形,記為△A′B′C′,寫出所作△A′B′C′各頂點(diǎn)的坐標(biāo);

    (2)若先將△ABC向下平移m(m>0)個單位后,再作該三角形(平移后的三角形)關(guān)于直線l[直線l經(jīng)過點(diǎn)(n,0),并且與y軸平行]成軸對稱的圖形,記為△A′′B′′C′′,你能寫出△A′′B′′C′′的各頂點(diǎn)的坐標(biāo)嗎?

    【答案】(1)圖略,A′(-3, 2),B′(-2,-1),C′(-6,0);(2)A′′(-3+2n,4-m),B′′(-2+2n,1-m),C′′(-6+2n,2-m ).

    (作者單位:南京航空航天大學(xué)附屬初級中學(xué))endprint

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