妙解高中數(shù)學填空題四大技巧詳述

福建省龍巖高級中學 盧文勝

福建省龍巖二中 張南福

高中數(shù)學試卷中的填空題普遍呈現(xiàn)先易后難的階梯型分布，從基礎的計算和公式運用到綜合運用邏輯推理的拓展題均有考查，覆蓋知識面廣，題型較為靈活，因此教師應當引導學生掌握更多的填空題解題技巧，針對不同的題型大膽嘗試不同的解題技巧，提升分析問題和解決問題的能力。以下筆者將從基礎知識、合理推導、代入特值以及等價轉換四個最常用的填空題解題技巧進行具體闡述。

一、打牢基礎，尋找知識關聯(lián)

解決任何數(shù)學問題的首要前提和關鍵因素在于牢固掌握基礎知識。高中數(shù)學知識點多而雜，且填空題出題形式靈活多樣，涉及的知識點較為全面，多以綜合考查多個知識點的形式出現(xiàn)。因此，教師應當注意對學生知識體系建立的引導，促使學生在平時的學習中就形成建立完整知識體系的意識，注重知識點之間的關聯(lián)運用，輔以適當?shù)牧曨}進行鞏固和拓展。只有知識點掌握得更加全面，對知識點之間的聯(lián)系更加清晰，才能確保簡單題不失分，并且冷靜應對填空題中出現(xiàn)的各種各樣的新穎題型或難度較大的問題。

例如，筆者在課堂最后的練習鞏固環(huán)節(jié)，給學生設計了這樣幾道基礎填空題，供學生在有限的時間里完成：

1） 已知集合 A={-7，-3，0，3，4，6}，集合 B={-3，0，3，4}，則 A∪B=______，A∩B=________。

2）已知函數(shù) f(x)=1+x/(1-x)的定義域為A，函數(shù)f[f(x)]的定義域是B，則集合A與集合B之間的關系是_______。

第一小題是最為基礎的“集合”問題，考查的是學生對集合中的“交集”和“并集”的概念，同時這樣的基礎題也存在著學生易犯的錯誤點，即交集和并集也是集合，因此答案呈現(xiàn)出來也應當是集合的形式，這往往是學生認為題目相對簡單而容易忽視的問題；第二小題考查的是函數(shù)和復合函數(shù)的定義域問題，定義域A尚不難理解，學生理解f[f(x)]的定義域就是f(x)的值域是本道題的解題關鍵點，理解這一點學生才能了解A和B之間的關系為A?B。

完善學生的數(shù)學知識體系，離不開適量的習題作為鍛煉，只有學會將知識點實際運用到解決問題之中，才算是真正掌握了知識點，在面對陌生題時才能有從容不迫的心態(tài)。

二、合理推導，思維靈活轉變

直接推導是學生在解決填空類問題時最為常用的一種方法，也是最簡單而實用的一種方法，通過分析題中所給條件，找出條件之間的相互關系，并思考與問題和條件相對應的知識點，層層遞進。在實際教學中，筆者發(fā)現(xiàn)學生往往會因為填空題短小精練，而忽略文字中隱含的一些關鍵信息，導致推導鏈中斷，卡在一個思維關鍵點，很難進行下一步推導。因此，教師應當引導學生仔細閱讀題干信息，不放過題干中每一個隱藏條件，從而保證思維更加全面和完善，實現(xiàn)流暢的思維推導，保證思維的縝密性，提高填空題正確率以及信息提取和分析的能力。

例如，筆者針對推導這一解題方法給學生設計了這樣一道應用題：

箱子中共有紅、黃、藍三種顏色的小球，一人有9次抽取小球的機會，在9次嘗試中，均抽中紅球的人獲得一等獎，8次抽中紅球的人獲得二等獎，7次抽中紅球的人獲得三等獎，抽中7次以下紅球的人不獲獎。請問，一個人獲得一等獎的概率是________。

這道填空題中分別有三個獎項對應的條件，但不是每一個條件都對解決問題有作用，問題是獲一等獎的概率，因此二等獎和三等獎的條件則是無用條件，也可以說是本題的干擾條件，因此面對這些無用條件，學生應當懂得分析和舍棄，將思維集中在有用條件上，共三個小球，抽中紅球的概率為1/3，共9次機會，由于每一次時間都相互獨立，因此最后獲得一等獎的概率即1/3的9次方。

此外，填空題雖然答案固定，但也不乏出現(xiàn)多解的情況，答案往往缺一不可。因此，在利用條件進行推導的過程中，應當尤其注意個別條件的表達方式，諸如圓和直線的位置關系等等可能會出現(xiàn)多解情況的問題，教師應當在平時的教學中注重一題多解意識的引導和滲透，確保學生思維的全面性和嚴密性。

三、代入特值，巧用逆向求證

代入特值是針對填空題無需完整解題過程這一特點的特殊方法。通常運用于問題推導過程中思維受阻的情況下，以及答題時間緊迫或是答題經(jīng)驗相對豐富的情況下。代入特值這一方法簡便快速，不需要經(jīng)過復雜的邏輯思考和判斷，而是根據(jù)大致題意，選取合適的特值代入，作為條件來逆向證明是否符合題意，適用于含有不定量和定論的題目。代入特值這一方法不局限于選取特殊的代數(shù)值，學生可根據(jù)題目的具體需要來選取一個點、一個坐標或一個特殊狀態(tài)的幾何圖形、一個特殊數(shù)列等等，可根據(jù)題意隨機應變，有利于學生將復雜抽象的問題簡單化、具體化。

例如，已知△ABC的三條邊a，b，c成等差數(shù)列，則 (sinA+sinB)/(1+sinAsinB)=__________。

本題條件中未提及三角形三條邊的具體長度，但由“三條邊長度成等差數(shù)列”可知三條邊長度的數(shù)量關系，若在解答題中，設三條邊為相應的未知數(shù)進行解答，過程較為煩瑣，而在填空題中可用快速而簡單的特值方法來解決，比如學生在日常的習題練習中常常會見到邊長為3，4，5的直角三角形，而三條邊的長度又剛好滿足等差數(shù)列的條件，因此是可以代入的合理特值，這樣就能輕松得到最終結果，節(jié)省大量推理和演算的時間。

特值代入法是建立在有根據(jù)可循的基礎上，不可憑空臆造數(shù)值代入計算，而在實際解題過程中，學生代入之所以能夠快速想到合理數(shù)值，除了條件提示，與平時做題積累的經(jīng)驗是分不開的，比如針對此題學生若平時肯多做題多琢磨，對三邊長分別為3，4，5的這一直角三角形不會陌生，從而能夠在綜合填空題的考查中以更快的反應速度完成這道題的解答。

四、等價轉換，深入淺出分析

高中數(shù)學填空題形式多樣，新穎靈活，尤其是在后半部分難度較大的幾道題中，常常綜合考查多個知識點，因此在面對新穎題時，學生往往無從下手。實際上，只要知識點的考查不變，那么任憑題目條件如何變化，都不會影響到最根本的解題方法，尤其是在填空題方面，與解答題相比，填空題無需過程且分值較小，無需耗費大量時間去解一道難題，這種做法在考場上是得不償失的。因此，面對新穎題，教師應當引導學生靈活運用等價轉換的方法，透過題干中的表層文字，剖析條件的根本所在，從而在大腦中搜索到相似、熟悉的問題，將新問題轉換為老問題來解決，能夠大大減小解題難度，實現(xiàn)高效做題。

例如，筆者在講授圓錐曲線和直線的位置關系時，曾設計了這樣一道經(jīng)典的填空題：已知曲線x2+y2-2px+p2-2p-4=0與直線y=mx+1(a∈R)始終有一交點，求p的取值范圍_____。

這道題中涉及到了p和m兩個未知參數(shù)，給學生解題增加了難度，但學生完全可以運用等價轉換這一思想來解決這個問題，即y=mx+1這一直線與y軸有一交點（0，1），無論 m 值如何變動，這個交點都不會發(fā)生變化，因此本題的解題思路也就轉換為只要（0，1）在曲線內(nèi)，兩者就始終有一交點，將這一交點坐標代入曲線令1+2p2-2p-4≤0即可得出最終答案。

題中所給的條件看似都是數(shù)值之間的關系，但圓錐曲線與直線的位置關系實際上應當放在坐標系中去分析，找出直線不受參數(shù)所影響的一個點，排除其中一個參數(shù)對解決問題的干擾，由此才能將題目的難度減小一半，代入得正確答案。

總之，雖然填空題覆蓋知識面廣且靈活多變，但其難易程度成階梯形規(guī)律分布，因此學生首先應當牢固掌握基礎計算方法和公理運用，確?；A題的正確率和解題高效性。在面對新穎題型時學會運用等價轉換的方法，學會轉換，在學生思維受阻時采用合理推導或代入特值來疏通思路，選對解題技巧，同時在此過程中提升信息分析和策略選擇的能力，實現(xiàn)數(shù)學綜合素養(yǎng)的提升。

[1]華騰飛.巧用特殊法 妙解選擇題[J].高中數(shù)學教與學，2012，9.

[2]楊偉達.用好平行線妙解高考題[J].中學數(shù)學雜志，2016，11.

[3]靳自忠.巧用整體思想 妙解數(shù)學問題[J].高中數(shù)學教與學，2017，3.