巧用直觀 建構概念
——蘇教版教材五年級下冊“認識因數(shù)”例談

江蘇海門市貨隆小學（226144）

數(shù)學教學中，“直觀”發(fā)揮了不可估量的助推作用，它讓數(shù)學概念“更容易被掌握”，讓理性思考“更有效率”，是學生學習的好幫手。

一、初步感知，引入課題

師：這里有一串鋼珠，如果一顆一顆地數(shù)，每次數(shù)幾顆鋼珠？一共有多少顆鋼珠？

生1：每次數(shù)1顆，一共有12顆。我認為一顆一顆地數(shù)太麻煩了。

生2：我認為每次數(shù)1顆最可靠，不論鋼珠總數(shù)是多少，都能一顆不漏地數(shù)完。

師：那么每次數(shù)幾顆，若干次后也能剛好數(shù)完呢？

生3：每次數(shù)2顆，6次正好數(shù)完。

生4：還可以每次數(shù)3顆，這樣4次就能數(shù)完。

師：通過操作，我們發(fā)現(xiàn)，只有以 2，3，4，6 作為每份數(shù)，才可以在若干次內恰好數(shù)完12。這幾個數(shù)與12有著特殊的關聯(lián)，它們被統(tǒng)稱為12的因數(shù)。因數(shù)本義指的是乘法計算中的乘數(shù)和被乘數(shù)，后來引申為能夠整除某個數(shù)的數(shù)。因此，因數(shù)必須在整數(shù)的范圍內討論。（板書課題：認識因數(shù)）

在“數(shù)鋼珠”的操作活動中，學生將“鋼珠總數(shù)”作為目標數(shù)，“每次數(shù)的顆數(shù)”設置為“目標數(shù)的因數(shù)”，“以該因數(shù)為標準去數(shù)，能否在若干次后剛好數(shù)完”是判定“每次數(shù)的顆數(shù)”是否是目標數(shù)的因數(shù)的準則，“每次數(shù)的顆數(shù)”能有多少種設置，目標數(shù)的因數(shù)就有多少個。將數(shù)學概念與數(shù)數(shù)的關鍵環(huán)節(jié)一一對應起來，降低了新知的難度，使抽象的“因數(shù)”變得形象直觀，易于學生理解，從而建立起正確的因數(shù)概念。

二、探索因數(shù)與乘除法的關系

師：因為4×6＝24，所以4是24的因數(shù)。這個命題是真的還是假的？

生1：真命題。4×6＝24，說明 6個 4 是 24，24 顆鋼珠，每次數(shù)4顆，6次正好數(shù)完。

師：那么6是24的因數(shù)嗎？

生2：是。因為 4×6=24，24÷4=6，24÷6=4。

師：依據(jù)乘法算式“4×6＝24”，我們可以知道 4和 6分別是24的兩個因數(shù)。這樣的乘法算式你們還能找出哪些？

師：這樣乘法算式太多了，你能用一個式子來統(tǒng)一代表它們嗎？

生3：可以用除法代數(shù)式來描述，比如c÷a=b，說明a和b都是c的因數(shù)。代數(shù)式中的字母可以代表任何符合條件的數(shù)，非常方便。

生4：用乘法代數(shù)式也可以，比如a×b=c，其中a和b都是c的因數(shù)。

師：“數(shù)鋼珠”讓我們深刻認識到因數(shù)就是那些可以把整體按這個標準一份份拆開的單位數(shù)，字母則將這種關系用乘法或者除法算式表現(xiàn)出來，基于乘法交換律，互換兩個乘數(shù)的位置，結果不變，所以份數(shù)和每份數(shù)都是總數(shù)的因數(shù)。

“因數(shù)”描述和反映的是整數(shù)之間的非線性關系，這種“關系”是隱形的，沒有大小關系那樣直觀，脫離了算式后更加抽象，而“數(shù)鋼珠”的操作活動讓這種關系富有質感，便于識別記憶，易于理解。

三、研究方法，完善學制

師：28的因數(shù)中，最大的是哪個？最小的是哪個？

生1：最小的是1，最大的是它本身，即28。

（多媒體軟件顯示數(shù)軸，閃現(xiàn)1和28兩個坐標點）

師：28如果還有別的因數(shù)，只能出現(xiàn)在1和28兩個坐標點之間，并由這兩個點不斷向中間靠近。

生2：由1和28這兩個端點同時向中間縮小范圍，下一對因數(shù)是2和14。

師：28的下一個因數(shù)是3嗎？

生3：不是，因為3不能被28整除。

生4：繼續(xù)看4。28÷4=7，所以28的下一對因數(shù)是4和7。

師：如果4和7之間還存在28的因數(shù)，應該考察誰？

生5：5和6，只可惜它們都不是。

利用數(shù)軸探尋因數(shù)，學生能夠獲得物象依托，這種物象來自于數(shù)形的完美結合，將抽象的數(shù)域投射成具體的物理空間，它使得學生在找尋“因數(shù)”的過程中更具方向感和參照物。通過數(shù)軸推演，學生很容易就發(fā)現(xiàn)：一個數(shù)一定存在它本身和1這兩個因數(shù)，然后以這兩個數(shù)作為坐標基點，不斷向中間收緊，因數(shù)會成對出現(xiàn)，并且分居中點兩側。

縱觀這節(jié)課，不難發(fā)現(xiàn)，將因數(shù)與以前學過的乘除法聯(lián)系起來，用數(shù)鋼珠、代數(shù)式表達、坐標推演等多種直觀方法教學，讓學生本能化接受因數(shù)概念，以小見大，教學效果更好。