基于“認(rèn)知規(guī)律”優(yōu)化數(shù)學(xué)課堂教學(xué)
——以“用計(jì)算器探索規(guī)律”教學(xué)為例

江蘇淮安市天津路小學(xué)（223005）

蘇教版教材編排“用計(jì)算器探索規(guī)律”這一單元的目的是讓學(xué)生掌握用計(jì)算器計(jì)算較大數(shù)的乘除法技能，并在此基礎(chǔ)上探索發(fā)現(xiàn)其中包含的積的變化規(guī)律和商不變的規(guī)律，讓學(xué)生初步應(yīng)用所學(xué)的規(guī)律解決一些計(jì)算問(wèn)題，從而感受并體驗(yàn)規(guī)律的實(shí)際價(jià)值。在讓學(xué)生用計(jì)算器探索商不變的規(guī)律時(shí)，教材呈現(xiàn)了這樣的素材：已知8400÷40=210，如果被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以一個(gè)數(shù)（零除外），商有什么變化？通過(guò)這個(gè)素材推動(dòng)教學(xué)進(jìn)程：讓學(xué)生列算，初步發(fā)現(xiàn)“在除法中，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以一個(gè)數(shù)（零除外），商不變”的規(guī)律，并以此作為一個(gè)猜想讓學(xué)生繼續(xù)舉例，進(jìn)行計(jì)算例證，最后歸納概括得出商不變的規(guī)律。也就是說(shuō)，教材安排的是一個(gè)過(guò)程性的目標(biāo)，是要讓學(xué)生經(jīng)歷規(guī)律探索的一般過(guò)程，從而積累探索的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律有更深刻的理解。然而，如果我們站在學(xué)生的立場(chǎng)，以學(xué)生的視角來(lái)探尋，學(xué)生的需求會(huì)在哪里呢？很顯然，學(xué)生會(huì)產(chǎn)生一系列的困惑：為什么要把被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以一個(gè)數(shù)，而不是同時(shí)去加或者是去減一個(gè)數(shù)呢？為什么要強(qiáng)調(diào)“同時(shí)”呢？為什么必須是乘或除以同一個(gè)數(shù)呢？不同的數(shù)為什么不行？為什么還要“零除外”呢？……基于學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，我們可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)這些問(wèn)題的質(zhì)疑和探索，是讓學(xué)生經(jīng)歷“商不變的規(guī)律”從萌芽到生長(zhǎng)再到形成這整個(gè)過(guò)程的關(guān)鍵所在。也就是說(shuō)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)商不變的規(guī)律并不是教學(xué)的重點(diǎn)，教學(xué)的重點(diǎn)是讓學(xué)生去探究和思考商不變規(guī)律客觀存在的根本原因，而這需要遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，重新設(shè)計(jì)課堂教學(xué)進(jìn)程。筆者現(xiàn)根據(jù)自己的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)劷虒W(xué)過(guò)程的優(yōu)化設(shè)計(jì)。

[片段一]引導(dǎo)學(xué)生開展探究活動(dòng)，引發(fā)猜想。

筆者先出示算術(shù)題“①40÷10，8÷2；②60÷20，120÷40；③9÷3，90÷30；④150÷30，5÷1”讓學(xué)生計(jì)算并比較，看看有什么新的發(fā)現(xiàn)；學(xué)生口算后發(fā)現(xiàn)四組算式中的商都是相等的，這引發(fā)了學(xué)生強(qiáng)烈的認(rèn)知沖突，由此促進(jìn)學(xué)生深入探究、思考。很顯然，學(xué)生由于年齡和認(rèn)知的局限，從表層上觀察和捕捉到了“商相等”這個(gè)現(xiàn)象，這僅僅只是第一步，還需要將學(xué)生的思維引向深處，使其透過(guò)現(xiàn)象探求隱藏在現(xiàn)象背后的本質(zhì)。于是筆者引導(dǎo)學(xué)生思考：比較每組算式中的兩道算式，它們的被除數(shù)和除數(shù)之間有什么聯(lián)系？如果要將這四組算式進(jìn)行分類，你認(rèn)為怎么分？能分成幾類？學(xué)生經(jīng)過(guò)分組討論，認(rèn)為可分成兩類，一類是①和④兩組算式，它們的被除數(shù)和除數(shù)都同時(shí)變小了，另一類是②和③兩組算式，它們的被除數(shù)和除數(shù)都同時(shí)變大了。筆者追問(wèn)：“①④兩組算式中的被除數(shù)和除數(shù)為什么同時(shí)變?。竣冖蹆山M算式中的被除數(shù)和除數(shù)為什么同時(shí)變大？”學(xué)生認(rèn)為，①④兩組算式中被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)除以一個(gè)數(shù)，所以變小了；②③兩組算式中被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘以一個(gè)數(shù)，所以變大了。學(xué)生經(jīng)過(guò)討論和交流后得到結(jié)論：被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)除以同一個(gè)數(shù)，商不變，并強(qiáng)調(diào)必須是同時(shí)。

[反思]上述教學(xué)中，筆者分兩個(gè)層次來(lái)進(jìn)行教學(xué)。層次一，先引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察和比較，通過(guò)分類活動(dòng)，讓學(xué)生初步感知每一組算式的基本特征，再借助小組討論交流等活動(dòng)，讓學(xué)生逐步發(fā)現(xiàn)四組算式的不同分類標(biāo)準(zhǔn)：一是被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)變小，二是被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)變大。層次二，在學(xué)生已有的感性認(rèn)識(shí)及已經(jīng)建立被除數(shù)和除數(shù)共同發(fā)生變化的表象的基礎(chǔ)上，追問(wèn)學(xué)生“這四組算式中的兩組為什么同時(shí)變小，另兩組為什么又同時(shí)變大”，由此激發(fā)學(xué)生繼續(xù)深入思考，繼續(xù)借助加減乘除等混合運(yùn)算進(jìn)行試算和思考，初步獲得“被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以一個(gè)數(shù)（零除外）商不變”的結(jié)論，由此概括出商不變的規(guī)律。

[片段二]引導(dǎo)學(xué)生驗(yàn)證猜想。

環(huán)節(jié)一，先讓學(xué)生計(jì)算驗(yàn)證。

筆者先追問(wèn)學(xué)生：“從四組算式中發(fā)現(xiàn)蘊(yùn)含著‘商不變’的規(guī)律，如何才能確定這個(gè)規(guī)律是否具有普遍性呢？”學(xué)生認(rèn)為需要進(jìn)行驗(yàn)證，于是筆者給學(xué)生出示教材例題中的計(jì)算題“8400÷40=210”，并讓學(xué)生思考：如果被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以一個(gè)數(shù)，商會(huì)有什么變化？學(xué)生立刻運(yùn)用計(jì)算器來(lái)進(jìn)行計(jì)算，然后展開交流，發(fā)現(xiàn)“商不變”。筆者要求學(xué)生舉例說(shuō)明用計(jì)算器計(jì)算的優(yōu)點(diǎn)（例子中的數(shù)字要含一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)等）。

環(huán)節(jié)二，讓學(xué)生歸納概括。

筆者追問(wèn)學(xué)生：“通過(guò)舉例和驗(yàn)證，你得到了什么結(jié)論？能不能找到反例？為什么被除數(shù)和除數(shù)要同時(shí)乘或除以相同的數(shù)？”學(xué)生在自己的計(jì)算和驗(yàn)證結(jié)果中，并沒(méi)有找到反例，由此認(rèn)識(shí)到被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)，也就同時(shí)發(fā)生了相同的變化，所以商是不變的。

環(huán)節(jié)三，讓學(xué)生展開思辨。

筆者讓學(xué)生比較教材總結(jié)的商不變的規(guī)律和自己探索概括出來(lái)的結(jié)論有什么不同。學(xué)生發(fā)現(xiàn)教材中有一個(gè)條件就是“零除外”，為什么一定要“零除外”呢？學(xué)生根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)指出零不能做除數(shù)，因?yàn)榱阕龀龜?shù)時(shí)算式就沒(méi)有任何意義。

[反思]在探究“商不變的規(guī)律”的過(guò)程，學(xué)生親身經(jīng)歷了“猜想→驗(yàn)證→結(jié)論”的過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生不僅僅獲得了數(shù)學(xué)知識(shí)，激活了探究體驗(yàn)的興趣和動(dòng)力，還感知了豐富的數(shù)學(xué)表征和深切體驗(yàn)了數(shù)學(xué)驗(yàn)證方法。

[教后思考]

對(duì)于“用計(jì)算器探索規(guī)律”一課的教學(xué)，筆者基于學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行了優(yōu)化。整個(gè)教學(xué)過(guò)程顯示，學(xué)生積極踴躍，思維活躍，課堂氣氛非常好。這非常成功的一節(jié)課，也給了筆者很多啟示和思考。現(xiàn)從兩個(gè)方面談?wù)勛约旱捏w會(huì)。

1.基于認(rèn)知規(guī)律，增設(shè)探索環(huán)節(jié)

“商不變的規(guī)律”這一內(nèi)容的教學(xué)，如果單純從知識(shí)目標(biāo)看，依照教材提供的學(xué)習(xí)線索，能夠多、快、好、省地幫助學(xué)生探索和發(fā)現(xiàn)知識(shí)的規(guī)律，然而從學(xué)生思維能力發(fā)展的角度來(lái)看，教材的安排完全屏蔽了學(xué)生從感知到領(lǐng)悟數(shù)學(xué)規(guī)律之間因果關(guān)系的思考過(guò)程。這樣的教學(xué)，不僅不利于學(xué)生建構(gòu)知識(shí)，而且也不利于學(xué)生感知數(shù)學(xué)規(guī)律的應(yīng)用價(jià)值。因此在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，就需要適度地拉大教材“空間”，對(duì)教材進(jìn)行重新“布局”，增強(qiáng)探索環(huán)節(jié)。為此，筆者在學(xué)生首次感知數(shù)學(xué)實(shí)例之后，讓學(xué)生自主探索規(guī)律，并展開猜測(cè)和驗(yàn)證。這整個(gè)環(huán)節(jié)讓學(xué)生充分感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)之旅的美麗風(fēng)景。

2.基于認(rèn)知規(guī)律，增設(shè)過(guò)程環(huán)節(jié)

“商不變的規(guī)律”教學(xué)的關(guān)鍵不是讓學(xué)生熟記規(guī)律，而是讓學(xué)生了解規(guī)律的來(lái)龍去脈，理解規(guī)律的本質(zhì)并內(nèi)化于心，最終學(xué)會(huì)應(yīng)用規(guī)律。為此，筆者拉長(zhǎng)了“猜測(cè)→驗(yàn)證→結(jié)論”的探究過(guò)程，增強(qiáng)了“課堂探索過(guò)程”這個(gè)環(huán)節(jié)，其中，猜測(cè)環(huán)節(jié)是探究性學(xué)習(xí)的關(guān)鍵一步。學(xué)生通過(guò)積極參與猜測(cè)、驗(yàn)證、推理、歸納等活動(dòng)，親身經(jīng)歷了思考過(guò)程，從而真實(shí)地感知到了計(jì)算中蘊(yùn)含的規(guī)律所在，經(jīng)歷了數(shù)學(xué)知識(shí)萌芽、生長(zhǎng)、發(fā)展的過(guò)程，很好地發(fā)展了數(shù)學(xué)思維能力。