重視學(xué)生的理性精神 讓思維活躍于數(shù)學(xué)活動(dòng)中

（蘇州工業(yè)園區(qū)星港學(xué)校 江蘇蘇州 215021）

“認(rèn)真聽講、積極思考、動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流等，都是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。”，已被老師們廣泛的認(rèn)同和采用。老師們會(huì)為學(xué)生創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)而有趣的問題情境，激發(fā)學(xué)生的探究欲望；為學(xué)生提供足夠的探索時(shí)間和空間，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)參與討論；為學(xué)生提供豐富的素材，不斷豐富學(xué)生探究的內(nèi)涵。但是，這些豐富的外在形式所生產(chǎn)的學(xué)習(xí)成果有否與學(xué)生主體的理性精神結(jié)合，以實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的意義建構(gòu)呢？這點(diǎn)不容樂觀，在很多“形式化”的教學(xué)背后，學(xué)生的理性精神是非常缺失的。先思考一些筆者觀察到的教學(xué)現(xiàn)場。

[教學(xué)現(xiàn)場1]在學(xué)習(xí)了倒推策略后，教師出示：小軍收集了一些畫片，他拿出畫片的一半還多1張送給小明，自己還剩25張。小軍原來有多少張畫片？

生：我是這樣算的25×2+1=51（張）

師：這位同學(xué)算得對嗎？

生：（異口同聲）對！

師：真的對嗎？

生（意見不一）：對！不對！

師：到底對不對呢？

（學(xué)生陷入沉默，然后你看看我，我看看你，小聲議論著。但無人能作肯定的回答）

思考：透視這個(gè)案例，我們不難發(fā)現(xiàn)，表面上有教師對學(xué)生的典型錯(cuò)誤有足夠的預(yù)判，適時(shí)的激疑，但從學(xué)生的反應(yīng)來看，只是對教師決策的一種猜測，這種猜測教師想法的思考，絕不是我們向往的學(xué)生的理性精神。學(xué)生在完成解答的時(shí)候并未采用一定的方法驗(yàn)證自己的學(xué)習(xí)結(jié)果是否正確。如此一來，面對教師的連續(xù)追問，學(xué)生只能茫然。

[教學(xué)現(xiàn)場2]出示問題：小明說：爸爸的年齡比我大28歲。爸爸說：今年，我的年齡是你的5倍。請問今年，爸爸幾歲？小明幾歲？

生：老師，這道題是不能做的。

師：為什么？

生：因?yàn)?8÷5，不能整除啊。

思考：案例中，學(xué)生似乎馬上提出了自己的思考，面對“不能整除”的計(jì)算結(jié)果，學(xué)生的第一反應(yīng)是題目數(shù)據(jù)出現(xiàn)了錯(cuò)誤，于是，他們會(huì)馬上把這個(gè)“皮球”踢給老師，很少會(huì)有學(xué)生去追究是否自己的審題出現(xiàn)了漏洞才導(dǎo)致“不能整除”現(xiàn)象的發(fā)生。

以上兩個(gè)案例場景在常態(tài)化的數(shù)學(xué)課堂中具有一定的典型性。盡管上述現(xiàn)象的產(chǎn)生，必然是受到多種因素的綜合影響，但細(xì)加分析，我們就不難發(fā)現(xiàn)一個(gè)共性問題，那就是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中理性精神的缺乏。我們的學(xué)生不善于（或不愿意）檢驗(yàn)自己的思維過程，不善于評(píng)價(jià)自己的學(xué)習(xí)策略，不善于尋找自己的認(rèn)識(shí)錯(cuò)誤，“自主建構(gòu)”異化成了教師牽制下的“被動(dòng)參與”，正如華應(yīng)龍老師所說，學(xué)生成了數(shù)學(xué)活動(dòng)的操作工而不是探索者。

其實(shí)，我們不難理解，真正的數(shù)學(xué)活動(dòng)，必須立足于學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)問題、提出猜想、思考驗(yàn)證和總結(jié)內(nèi)化的思維活動(dòng)基礎(chǔ)上，那些缺乏理性精神的學(xué)習(xí)活動(dòng)，是難以納入學(xué)生自主探究的實(shí)質(zhì)性范疇的。學(xué)生自主探究的有效性應(yīng)該有一條至關(guān)重要的內(nèi)涵指標(biāo)，那就是，學(xué)生能否在學(xué)習(xí)過程中具有理性精神。

一、在新知猜想的探究活動(dòng)中，注入理性精神激發(fā)的動(dòng)力

對新知強(qiáng)烈的好奇心，是推動(dòng)學(xué)生主動(dòng)探究的動(dòng)力所在，為了推動(dòng)新知探究的持續(xù)和深入，教學(xué)中我們要為學(xué)生創(chuàng)造理性精神孕育的契機(jī)，滿足學(xué)生探究的心理需求。

[片段寫真]《近似數(shù)》（蘇教版四年級(jí)下冊）

1.出示：蘇州工業(yè)園區(qū)常住人口（ ）人。

（在黑板上呈現(xiàn)6張數(shù)字卡片的空白背面。）

（1）蘇州工業(yè)園區(qū)常住人口數(shù)量是幾位數(shù)？

（2）（翻開最高位的兩張卡片，分別是4.1）如果后面的四位都是0，那就是？（23萬）

（3）很遺憾，它不是整萬數(shù)，你覺得它會(huì)接近四十幾萬呢？

2.接近41萬還是42萬呢？無法確定怎么辦？（得翻開后面的卡片。）

（1）（分別翻開最后面的兩張卡片9、4）可以了嗎？為什么還是無法確定？

（2）同桌交流：為什么一定要看千位？

3.請一個(gè)同學(xué)上來看看千位上的卡片到底是什么數(shù)字，并告訴大家根據(jù)你看到的數(shù)字，這個(gè)數(shù)接近多少萬。（41萬）

（1）他說接近41萬，猜猜看千位上的卡片到底是幾。

（2）為什么一定是0、1.2.3.4呢？如果是比5小的數(shù)呢？

（3）翻出千位的牌0.追問，百位的牌不知道，對判斷有影響嗎？出示數(shù)軸直觀說明。

4.小結(jié)：對，這就是用“四舍五入”求一個(gè)數(shù)的近似數(shù)。剛才省略萬后面的尾數(shù)，關(guān)注的是千位上的數(shù)字。如果要省略億后面的尾數(shù)，關(guān)鍵是看哪一位呢？

用四舍五入法求近似數(shù)和用萬作單位求一個(gè)大數(shù)目的近似數(shù)是本課的重點(diǎn)，而直到學(xué)生自主建構(gòu)求一個(gè)大數(shù)目的近似數(shù)時(shí)應(yīng)根據(jù)省略部分最高位數(shù)上的數(shù)字進(jìn)行判斷是本課難點(diǎn)。為了突破重難點(diǎn)，本環(huán)節(jié)反復(fù)使用的是最樸實(shí)、最常見的幾張數(shù)字卡片，用法也非常簡單——翻牌、猜數(shù)、說理由，但其中的思維含量非常高，共安排了三個(gè)層次的翻牌活動(dòng)：第一次翻牌，出示41□□□□，讓學(xué)生判斷數(shù)值接近多少萬。學(xué)生在41萬和42萬之間無法確定時(shí)，意識(shí)到無法確定的原因是后四位數(shù)未知，要求揭曉未知的數(shù)字。第二次翻牌，教師特意揭曉最后兩張，讓學(xué)生再次判斷，他們很快發(fā)覺仍然無法確定，這引發(fā)了學(xué)生的重新思考：“判斷的關(guān)鍵究竟是哪個(gè)數(shù)位上的數(shù)字？”學(xué)生通過思考達(dá)成共識(shí)后，并不馬上揭曉答案，而駐足反思：為什么必須看千位上的數(shù)字？至此，學(xué)生通過觀察、嘗試、思考掌握了求一個(gè)大數(shù)目的近似數(shù)時(shí)應(yīng)根據(jù)省略部分最高數(shù)位上的數(shù)字進(jìn)行判斷。第三次翻牌，為了讓學(xué)生進(jìn)一步內(nèi)化“舍”和“入”的道理，要求指定的學(xué)生單獨(dú)看卡片背面的數(shù)字說出近似值，再讓其他學(xué)生根據(jù)近似值來逆向思考：千位上的數(shù)字可能是幾？從不同層面上對學(xué)生提出新的挑戰(zhàn)。數(shù)軸用以幫助學(xué)生建立幾何直觀，讓不同層次的學(xué)生加深理解，理解“四舍五入”的實(shí)質(zhì)是一個(gè)范圍內(nèi)的數(shù)求近似值后都是同一個(gè)近似數(shù)。整個(gè)探索過程情境導(dǎo)入采用學(xué)生身邊的數(shù)據(jù)調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，由教材兩個(gè)數(shù)據(jù)的同時(shí)探索改為一個(gè)數(shù)據(jù)的深入思考，降低干擾因素，直奔探究主題，強(qiáng)化理性精神的“靶心”：用萬作單位的近似數(shù)“四舍五入”時(shí)為什么只考慮千位。將課本原有的例題改編為后續(xù)的練習(xí)，學(xué)生順利內(nèi)化解決。

二、在鞏固結(jié)論的探究討論中，留足理性精神產(chǎn)生的空間

“有效的教學(xué)活動(dòng)是學(xué)生學(xué)與教師教的統(tǒng)一，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者?！睂W(xué)生往往將結(jié)論的獲得看作是數(shù)學(xué)課堂活動(dòng)的唯一目的，這時(shí)，教師的引導(dǎo)者作用應(yīng)該發(fā)揮在幫助學(xué)生借助自己的回望反思來追溯探究過程、梳理認(rèn)知過程、完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)。這里的理性精神，可以是對學(xué)習(xí)內(nèi)容的梳理回顧，也可以是對學(xué)習(xí)方式的評(píng)價(jià)分析，還可以是對結(jié)論獲得的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，從而獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。專家組認(rèn)為“數(shù)學(xué)活動(dòng)既包括數(shù)學(xué)課堂上的探究性活動(dòng)，也包括學(xué)生的自主學(xué)習(xí)、調(diào)查研究、獨(dú)立思考、合作交流、作業(yè)練習(xí)等等?！边@種活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)通過積累，可以上升為抽象的高度，而抽象的數(shù)學(xué)思維水平能為更抽象的數(shù)學(xué)思維水平提供經(jīng)驗(yàn)，從而實(shí)現(xiàn)思維可持續(xù)發(fā)展，培養(yǎng)理性的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

[片段寫真]《倍數(shù)和因數(shù)》（蘇教版五年級(jí)下冊）

在學(xué)生通過自己的方法探究得到36的因數(shù)后，教師組織交流反饋。

師：你們是怎么找36的因數(shù)的？

生1：將36分成兩個(gè)數(shù)相乘，得到36的因數(shù)有1.36、2.18、3.12.4.9、6.

師：不錯(cuò)，還有其他的方法嗎？

生2：我是用除法找的，用36一個(gè)一個(gè)除以非0的自然數(shù)。

師：一個(gè)一個(gè)除是不是從1除到36？

生2：不用，36÷1=36中除數(shù)和所得的商都是36的因數(shù)。

師：你們明白了嗎？

生3：我聽懂了，他說36÷1=36，就得到36和1都是36的因數(shù)。

師：也就是說我們可以通過這一步一次找到兩個(gè)因數(shù)，除到什么地方為止呢？

生4：一半的地方，18.

生5：我覺得他說的不對，除到9就可以了。

生6：我覺得除到6就可以了，除以1.2.3.4都可以分別找到兩個(gè)，6只要寫一個(gè)就可以了。

生7：要一直除到出現(xiàn)重復(fù)為止，如36÷9=4，和上面36÷4=9重復(fù)了，就可以停止了。

師：我們從幾開始除起呢？

生8：1，因?yàn)?可以被所有的自然數(shù)整除，不從1開始的話就會(huì)有重復(fù)，有的還沒有。

師：說得真好！從1還是保證有序，不遺不漏。剛剛還有人提到了乘法呢，這兩種方法有什么相同的地方？

生9：除法反過來就是乘法，都是一對一對找到的。

師：說得真好，你會(huì)找一個(gè)數(shù)的因數(shù)了嗎？誰來出道題目讓大家試一試？

教師通過一個(gè)個(gè)的追問，比如“一個(gè)一個(gè)除是不是從1除到36？”“除到什么地方為止呢？”“如果中間的兩個(gè)數(shù)不一樣呢？”“我們從幾開始除起？”等，帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行了持續(xù)、嚴(yán)密的反思，將數(shù)學(xué)思維引向深處，學(xué)生的理解就有了根，在這些問題與對話中，我們分明可以感受到學(xué)生的思維由發(fā)散至精確的過程。即學(xué)生開始對問題的想象解答是很發(fā)散的，但是一旦找到可能的方向，在教師的引領(lǐng)下，就開始集中精確。

三、在尋找錯(cuò)因的探究操作中，彰顯理性精神的價(jià)值。

數(shù)學(xué)探究的過程，對學(xué)生而言是無法預(yù)知的領(lǐng)域。因此，他們往往會(huì)遇到一些難以逾越的探究障礙和學(xué)習(xí)挫折。并且，這些障礙和挫折因素的現(xiàn)實(shí)存在，將會(huì)直接影響課堂探究活動(dòng)的后續(xù)深入。這時(shí)，教師應(yīng)行使主導(dǎo)職責(zé)，適時(shí)介入，適度點(diǎn)撥，引導(dǎo)學(xué)生對已有探究經(jīng)歷的理性反思，從中發(fā)現(xiàn)探究受挫根源，調(diào)整探究后續(xù)過程。

[片段寫真]《商不變的性質(zhì)》(蘇教版四年級(jí)下冊)

（教師首先讓學(xué)生根據(jù)“12÷6=2”來猜想“被除數(shù)、除數(shù)怎樣變商才會(huì)不變”。有一位學(xué)生萌生了“被除數(shù)加上2，除數(shù)加上1，商不變”的猜想，并且舉出了多個(gè)實(shí)例來證明猜想是成立的）

生1：我把“12÷6=2”的被除數(shù)加2，除數(shù)加1，變成了“14÷7”，商仍舊是2.再比如把“20÷10=2”的被除數(shù)加2，除數(shù)加1，變成了“22÷11”，商也仍舊是2.還有“30÷15=2”“72÷36=2”“1000÷500=2”等很多例子都是這樣的，所以，我想我的猜想肯定是正確的。

（該生頭頭是道的論證，弄得很多已堅(jiān)信“被除數(shù)、除數(shù)同時(shí)乘或除以相同數(shù)，商不變”的同學(xué)也有些摸不著頭腦了）

師：這些實(shí)例的確能證明你的猜想。那么，這個(gè)猜想是否適用于所有的除法算式呢？

（教師特意把“所有”兩個(gè)字加了重音。于是，學(xué)生紛紛把目光聚焦在所舉的這些算式中，試圖從中發(fā)現(xiàn)了一些什么，2分鐘后，多位學(xué)生有話要說了）

生2：這位同學(xué)的猜想只適用于商是2的算式。如果換成商是其他數(shù)的算式，就不合適了。比如“12÷4=3”，把被除數(shù)、除數(shù)各加2和1，變成了“14÷5”，商不就變了嗎？

生3：如果是“12÷4=3”，這個(gè)猜想就要改成“被除數(shù)加3，除數(shù)加1，商不變”了。

生4：我發(fā)現(xiàn)，算式的商是幾，這個(gè)猜想就要改成“被除數(shù)加幾，除數(shù)加1，商不變”了。

生5：這位同學(xué)的猜想很有創(chuàng)意，但它要根據(jù)商的變化而不斷改變，缺乏一定的普遍意義。

盡管學(xué)生的猜想蘊(yùn)含了一定的創(chuàng)新成分，但對本課教學(xué)而言這一猜想并非目標(biāo)主流。假如全體學(xué)生在傾聽說理后接納了這一規(guī)律，那么，“商不變性質(zhì)”目標(biāo)結(jié)論的教學(xué)達(dá)成勢必會(huì)受到一定程度的影響。在這種情況下，教師的設(shè)問點(diǎn)撥有效地將全體學(xué)生的注意力集中到對該猜想普遍性的反思中來。從而，讓學(xué)生明確了該猜想的閃光點(diǎn)和局限性，既鼓勵(lì)了課堂的創(chuàng)新，又保證了探究有效。

“數(shù)學(xué)是思維的體操”是每位數(shù)學(xué)老師都耳熟能詳?shù)慕?jīng)典名言，表明了在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中思維的重要性。特級(jí)教師許衛(wèi)兵說過數(shù)學(xué)思維和一般思維之間存在很多共同點(diǎn)，同時(shí)他也強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思維有一定的特殊性，如歸納、推理、分類等?！靶W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要特點(diǎn)就是通過具體數(shù)學(xué)內(nèi)容的教學(xué)既要幫助學(xué)生學(xué)會(huì)抽象、類比等一般性的思維方法，同時(shí)又要幫助學(xué)生超越一般思維走向數(shù)學(xué)思維。”這些正是對數(shù)學(xué)包含的理性精神的闡釋，那么數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就應(yīng)該是重視學(xué)生的理性精神的培養(yǎng)，讓學(xué)生與教師的理性精神活躍于我們的課堂中央。只有從深層次上激發(fā)學(xué)生的理性精神并且獲得學(xué)習(xí)滿足感，才能長時(shí)間的維持學(xué)生的探究欲和學(xué)習(xí)力。