另類代入解圓錐曲線中的兩類問題

甘肅蘭州新區(qū)舟曲中學

李守明 (郵編：730087)

在高三復習圓錐曲線章節(jié)的過程中，常會遇到經過原點的兩條直線斜率之和與斜率之積為定值這兩類問題及其變式，這兩類問題及其變式反映了直線與圓錐曲線之間的關系，結合韋達定理，解決起來也較為容易.但著名數(shù)學家波利亞說：“數(shù)學問題的解決僅僅只是一半，更重要的是解題之后的回顧與反思”.那么這兩類試題及其變式還有沒有其他的解決方法？如果當定點不是原點時，又如何解決呢？筆者帶著這樣的思考，走向解題之旅.

1 兩道題目及其常規(guī)解法

先看這兩道題的常規(guī)解法：

題1的解法：

②代入①消去y，得到

x2+2x-1-2a2=0，

設M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1+x2=-2，x1x2=-(2a2+1)，

故雙曲線方程為4x2-2y2=1.

題2的解法：

①

y=kx+4

②

②代入①消去y,得：

解得k=-15，故直線方程為y=-15x+4.

2 兩道題目的齊次化解法

題1的齊次化解法：

題2的齊次化解法：

化簡整理得15y2+2kxy+(4-k2)x2=0，因x≠0，方程兩邊同除以x2，得

解得k=-15，故直線方程為y=-15x+4.

3 兩道題目的變式及解決

上述兩個題目，都是過定點是原點的直線的斜率之積和斜率之和問題，如果定點不是原點，那么還能利用“1”代換，構造齊次化方程來解這兩類試題嗎？不妨來看下面的題目：

(I)求橢圓C的方程；

(II)E、F是橢圓上的兩個動點，①如果直線AE的斜率與AF的斜率之和為2，證明直線EF恒過定點，②如果直線AE的斜率與AF的斜率之積為2，證明直線EF恒過定點.

(II)平移坐標系，使坐標原點和點

直線EF平移后變?yōu)镋′F′，其方程不妨設為mx′+ny′=1，

代入橢圓方程得3x′2+4y′2+6x′(mx′+ny′)+12y′(mx′+ny′)=0，

此方程的兩個根即為AE′和AF′的斜率.

4 兩道題目有關的高考鏈接

(1)求直線AB的斜率；

(2)設M為曲線C上一點，C在M處的切線與直線AB平行，且AM⊥BM，求直線AB的方程.

解(1)kAB=1；

直線A′B′的方程為x′-y′=-8，則直線AB的方程為x-2-(y-1)=-8，

即x-y+7=0.

(1)求C的方程；

(2)設直線l不經過點P2且與C相交于A、B兩點，若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1，證明：l過定點.

直線l即AB平移后變?yōu)锳′B′，其方程不妨設為mx′+ny′=1，

代入橢圓方程得

5 一點想法

受常規(guī)解題思路的影響，我們習慣于用固化的套路解決數(shù)學問題，如果我們能夠變換問題解決的角度，則往往能夠迎來耳目一新的解決方案，這對培養(yǎng)學生思維的廣闊性和靈活性大有裨益.

1 趙維浩.二次齊次式在圓錐曲線中的妙用[J].中學數(shù)學教學參考(上旬),2016(10)：43-44