對(duì)一道高考試題的解法探究

安徽省樅陽(yáng)縣宏實(shí)中學(xué)

江保兵 (郵編：246700)

1 試題和它的解法

圖1

解法1如圖1所示，建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)

A(0,0),B(0,-1),C(-2,-1),D(-2,0),P(x,y).

故λ+μ的最大值為3.

圖2

評(píng)析由于向量同時(shí)具有幾何與代數(shù)的特性，如果在方便建立坐標(biāo)系的情況下用坐標(biāo)的方法處理問(wèn)題，具有構(gòu)思簡(jiǎn)單，操作方便的優(yōu)點(diǎn).但是用代數(shù)方法去處理幾何問(wèn)題，用運(yùn)算代替思維，忽略幾何圖形的特性，總覺(jué)得有一些缺憾.

2 解法2的來(lái)龍去脈

解法2使我們既驚嘆，又困惑，既驚嘆于方法的簡(jiǎn)潔，又困惑于解法的來(lái)龍去脈.數(shù)學(xué)教育家波利亞說(shuō)過(guò)：“有些題目的解答就像魔術(shù)師帽子里的兔子，不知道從哪里冒出來(lái)的，這些想法是如何想到的？揭示了這類問(wèn)題的本質(zhì)，我們就能站在更高位置來(lái)看待這個(gè)問(wèn)題，問(wèn)題就迎刃而解.”事實(shí)上在解法2中，運(yùn)用了我們非常熟悉的平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2.但在平時(shí)的考查，更多的時(shí)候以考查它的推論為主，我們把它稱之為平面向量共線定理.

圖3

在圖3中，如果點(diǎn)C擺脫直線AB的束縛，轉(zhuǎn)而在平面PAB上運(yùn)動(dòng)，則有下列結(jié)論，我們把它稱之為平面向量等高線定理.

圖4

推論(1)當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)P在直線AB異側(cè)時(shí)，λ+μ=k>1；(2) 當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)P在直線AB同側(cè)時(shí)，λ+μ=k<1.

3 等高線在解題中的應(yīng)用

圖5

圖6

1 江保兵.平面向量的共線定理及其推論[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究(上半月)，2014(2)

2 江保兵.一類含絕對(duì)值函數(shù)最值問(wèn)題解法探究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究(上半月)，2017(4)

3 江保兵.一道向量試題的探究和思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2015(5)

4 波利亞.怎樣解題[M].上海：上海教育出版社，2001