Carlson不等式在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用及思考

甘肅省張掖市肅南縣第一中學(xué)

嚴(yán)天珍 (郵編：734400)

1 問題提出

自20世紀(jì)初著名德國數(shù)學(xué)家菲利克斯·克萊因(Felix Christian Klein)的代表作品《高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)》聞世至今，用高等數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)、原理和方法，認(rèn)識、理解和解決中學(xué)數(shù)學(xué)問題成為廣大數(shù)學(xué)教育工作者近百年來研究的熱點(diǎn)．伴隨著科學(xué)技術(shù)的高速發(fā)展和中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的日益革新，向量、概率論、微積分等高等數(shù)學(xué)中的內(nèi)容均已逐步引入高中數(shù)學(xué)教材；不僅如此，高等數(shù)學(xué)背景的數(shù)學(xué)題在近年高考和競賽數(shù)學(xué)中更是頻頻出現(xiàn)．

Carlson不等式作為高等數(shù)學(xué)中的重要不等式之一，它與許多經(jīng)典代數(shù)不等式和著名幾何不等式有著很深的淵源[1]，因而近年來得到了諸多數(shù)學(xué)愛好者和考試研究者的廣泛關(guān)注．本文從Carlson不等式入手，例析其在高中數(shù)學(xué)解題中的有力工具性和優(yōu)美簡潔性，同時(shí)論述了利用高等數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)、原理和方法解決中學(xué)數(shù)學(xué)問題的一些思考和啟示．

2 Carlson不等式

定理Carlson不等式：設(shè)A為非負(fù)數(shù)構(gòu)成的n×m矩陣

3 應(yīng)用舉例

例1(2017年高考數(shù)學(xué)全國卷II第23題)已知a>0,b>0,a3+b3=2.證明：(I)(a+b)(a5+b5)≥4;(II)a+b≤2．

解(I)因?yàn)閍>0,b>0且a3+b3=2，

則由Carlson不等式得

兩邊平方，得 (a+b)(a5+b5)≥4．

則由Carlson不等式得

解因?yàn)閤1,x2,x3是非負(fù)實(shí)數(shù)，滿足x1+x2+x3=1，

則可構(gòu)造非負(fù)數(shù)構(gòu)成的3×2矩陣

則由Carlson不等式得

證明因?yàn)?a-1)2(a+1)≥0，所以a3+2≥a2+a+1，同理可得

b3+2≥b2+b+1，c3+2≥c2+c+1，

則由Carlson不等式得

證明因?yàn)閍>0,b>0,c>0,abc=1，

構(gòu)造正數(shù)構(gòu)成3×2的矩陣

由Carlson不等式得

=bc+ac+ab，

再由基本不等式得

4 一些思考

從Carlson不等式在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用舉例不難看出，高等數(shù)學(xué)的知識不僅豐富了解決高中數(shù)學(xué)問題的方法和手段，而且它在解決高中數(shù)學(xué)問題方面體現(xiàn)出的優(yōu)越性更是不一而足；同時(shí)，用高等數(shù)學(xué)的知識解決高中數(shù)學(xué)問題的觀點(diǎn)對指導(dǎo)高中數(shù)學(xué)教學(xué)、促進(jìn)高中數(shù)學(xué)教材改革等方面具有重要啟示．

1.4 借用高等數(shù)學(xué)知識，巧解高中數(shù)學(xué)難題

初等數(shù)學(xué)是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，高等數(shù)學(xué)是初等數(shù)學(xué)發(fā)展到一定階段的必然結(jié)果，但高等數(shù)學(xué)較于初等數(shù)學(xué)更具思想性．因而對于某些中學(xué)數(shù)學(xué)難題，如果借用高等數(shù)學(xué)中的知識直接解決，或者先用高等數(shù)學(xué)的思想方法加以分析、再從中受到某種啟示進(jìn)而尋找一種技巧性的初等解法進(jìn)行解決[2]，就會顯得簡潔有效、思路大開，從而克服遇到某些技巧性較強(qiáng)的高中數(shù)學(xué)難題束手無策的困境．

4.2 領(lǐng)悟高等數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，指導(dǎo)高中數(shù)學(xué)教學(xué)

德國數(shù)學(xué)家菲利克斯·克萊因曾指出：教師應(yīng)具有較高的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，理由是，觀點(diǎn)越高，事物顯得越簡單．教師是否具有較高的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，是衡量教師數(shù)學(xué)素質(zhì)的重要標(biāo)準(zhǔn)[3].教師作為教學(xué)的直接實(shí)施者和課堂的主導(dǎo)者，如果在教學(xué)中能夠內(nèi)化高等數(shù)學(xué)觀點(diǎn)并適時(shí)應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)教學(xué)，才能更好地理清數(shù)學(xué)知識本質(zhì)、進(jìn)而在教學(xué)中真正做到深入淺出．

4.3 下移高等數(shù)學(xué)內(nèi)容，革新高中數(shù)學(xué)教材

1977年8月，鄧小平同志在科學(xué)和教育工作座談會講話中談到：教材要反映出現(xiàn)代科學(xué)文化的先進(jìn)水平，要符合我國的實(shí)際情況，要合乎現(xiàn)代科學(xué)的發(fā)展水平，要用最新的科學(xué)知識教育青年．因此在科學(xué)技術(shù)高速發(fā)展的今天，抓住高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)知識的結(jié)合點(diǎn)，將需要的高等數(shù)學(xué)內(nèi)容下移到高中數(shù)學(xué)教材，這將成為我國新一輪教材改革的方向之一．

1 沈文選．卡爾松不等式——一批著名不等式的綜合[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)(湖北)，1994(7)：28-30

2 呂世虎等．從高等數(shù)學(xué)看中學(xué)數(shù)學(xué)[M]．北京：科學(xué)出版社，2012

3 楊遠(yuǎn)廷．用高等數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)看中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)[J]．德陽教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2000，14(1)：44-45