習(xí)題為源生拓展 能力為本蘊(yùn)發(fā)展
——基于圓的一個最值問題題根的應(yīng)用與拓展

江蘇無錫市格致中學(xué)

陳 鋒 (郵編：214125)

江蘇無錫市東絳實驗學(xué)校

薛 鶯 (郵編：214125)

1 背景

動點(diǎn)運(yùn)動的最值問題是近幾年中考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)之一，這類中考試題多如牛毛，如果只是一味地見題做題，不對試題的本質(zhì)進(jìn)行研究和歸納整理，進(jìn)而形成通性通法，則容易形成題海戰(zhàn)術(shù)，不利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.筆者在研究近幾年的中考真題和模擬卷中，發(fā)現(xiàn)這類試題形式看似千變?nèi)f化.但解題的本質(zhì)是一樣的，他們有著相同的本源，即“題根”，本文就是通過探究一個圓的最值問題的求解，來說明這個“題根”的精彩應(yīng)用與拓展.

2 題根

2.1 問題

圖1

(蘇課版九年級上冊教科書補(bǔ)充習(xí)題)如圖1，P是⊙O外的一定點(diǎn)，試探求點(diǎn)P與圓上點(diǎn)的最小距離與最大距離.

2.2 解析

這個問題的本源是兩點(diǎn)之間的距離，其中，一個點(diǎn)是圓外的一個定點(diǎn)，另一個點(diǎn)是圓上的動點(diǎn).從變與不變的哲學(xué)辯證關(guān)系入手，我們發(fā)現(xiàn)，這里有兩個定點(diǎn)，分別是點(diǎn)P點(diǎn)O，無論這個動點(diǎn)在圓上如何運(yùn)動，這兩個點(diǎn)的位置始終是不變的，再從特殊與一般的辯證關(guān)系出發(fā)，我們能自然生成作直線PO，如圖2，直線PO與⊙O交于M、N兩點(diǎn)，那么M、N兩點(diǎn)是否就是我們所需要找的特殊點(diǎn)？我們需要進(jìn)一步思考.

圖2

如圖2，在⊙O上任取一點(diǎn)A，連接OA、AP，易得：AO+AP≥OP(當(dāng)O、A、P三點(diǎn)共線時，取等號)，所以AP≥OP-OA，所以AP的最小值=OP—OA=OP—OM=PM，即如果點(diǎn)P與⊙O上的所有點(diǎn)都連接起來，那么，PM的長是所有這些線段長度中的最小值.

因為OP+OA≥AP(當(dāng)O、A、P三點(diǎn)共線時，取等號)，所以AP的最大值=OP+OA=OP+ON=PN，即如果點(diǎn)P與⊙O上的所有點(diǎn)都連接起來，那么PN的長是所有這些線段長度中的最大值.

綜上所述，如圖2所示，P是⊙O外的一定點(diǎn)，直線PO與⊙O交于兩點(diǎn)M、N，其中PM的長度是點(diǎn)P與圓上各點(diǎn)間的最小距離，PN的長度是點(diǎn)P與圓上各點(diǎn)間的最大距離.

3 演繹

可以發(fā)現(xiàn)，求這類線段長的最值問題，要將題根的解法運(yùn)用進(jìn)去，這條線段的兩個端點(diǎn)，必然一個是定點(diǎn)，另一個在一個定圓上運(yùn)動，基于對題根的理解，我們明確解題的方向：尋找是否有線段的另外一個端點(diǎn)在圓上運(yùn)動.

3.1 應(yīng)用1——圖中有圓見動點(diǎn)，利用條件直接運(yùn)用題根

圖3

例1(2014年三明市中考題)如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC為直徑的半圓交AB于點(diǎn)D、P是弧CD上的一個動點(diǎn)，連接AP，則AP的最小值是______.

圖4

點(diǎn)評對于同類求線段最值的問題，如果線段的兩個端點(diǎn)，一個點(diǎn)是圓外的定點(diǎn)，另一個點(diǎn)是圓上的一個動點(diǎn)，那么，我們可以直接運(yùn)用題根進(jìn)行分析和解答.

3.2 應(yīng)用2——圖中無圓思構(gòu)造，創(chuàng)建隱圓間接運(yùn)用題根

例2(2016年無錫市區(qū)中考二模)如圖4，等腰直角△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D為線段AC上一動點(diǎn)，連接BD，過點(diǎn)C作CH⊥BD于H，連接AH，則AH的最小值為( )

圖5

解析點(diǎn)A為定點(diǎn)，所以關(guān)鍵在于確定點(diǎn)H的運(yùn)動軌跡，由CH⊥AD，得∠CHB=90°，可知點(diǎn)H是在以BC為直徑的圓上運(yùn)動.如圖5， 以BC為直徑作⊙O，由題意可得，點(diǎn)H的運(yùn)動軌跡是⊙O在△ABC內(nèi)部的部分.

圖6

圖7

例3(2013年武漢市中考題)如圖6，E、F是正方形ABCD的邊AD上的兩個動點(diǎn)，滿足AE=DF，連接CF交BD于點(diǎn)G，連接BE交AG于點(diǎn)H.若正方形的邊長為2，則線段DH長度的最小值是__________.

圖8

例4(2014年南京市中考模擬題)如圖8，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知正三角形ABC的邊長為2，點(diǎn)A從點(diǎn)O開始沿x軸的正方向移動，點(diǎn)B在∠xOy的平分線上移動，則點(diǎn)C到原點(diǎn)O的最大距離是______.

圖9

解析運(yùn)用動靜互化的辯證方法，我們可以把△ABC看作是靜止的，那么，相對而言，則O點(diǎn)為動點(diǎn)，因為∠AOB=45°，其中點(diǎn)A、B為定點(diǎn)，點(diǎn)O為動點(diǎn)，如圖9所示，

由隱形圓的知識，我們可以構(gòu)造一個⊙S，其中，圓心S與點(diǎn)C在AB的異側(cè)，∠ASB=90°，

圖10

點(diǎn)評例題2、 3、4，都還是一定點(diǎn)，一動點(diǎn)的情況.通過挖掘隱含條件，我們可以發(fā)現(xiàn)動點(diǎn)其實還是在一個圓上運(yùn)動，這種在題目和圖形中沒有直接出現(xiàn)的圓，我們通常把它稱為隱形圓或隱圓，挖掘出隱形圓，從而將問題轉(zhuǎn)化為題根進(jìn)行求解.因為題中并沒有直接出現(xiàn)動點(diǎn)在圓上這一條件，所以我們要明晰對“隱圓”的識別：如圖10，在△ABC中，定線段AB的長度與∠ACB的大小均為定值，且點(diǎn)C是動點(diǎn)，則點(diǎn)C在△ABC的外接圓⊙O的如圖所示的一段弧上運(yùn)動(點(diǎn)A、B除外).如果沒有特別限制，我們要考慮如圖10的兩種情況.

3.3 應(yīng)用3——對題根應(yīng)用的進(jìn)一步推廣

圖11

我們不妨進(jìn)一步思考，是否可以把題根進(jìn)行推廣：如圖11，P是⊙O內(nèi)的一定點(diǎn)，試探求點(diǎn)P與圓上點(diǎn)的最小距離與最大距離.

圖12

圖13

由對題根的解法我們易得，如圖12所示，直線PO與⊙O交于兩點(diǎn)A、B，其中，線段PA的長度是點(diǎn)P與⊙O各點(diǎn)距離的最小值，線段PB的長度是點(diǎn)P與⊙O各點(diǎn)距離的最大值.

圖14

例5(2015江陰市初三第一學(xué)期期末)如圖13，已知△ABC的外心為O，BC=10，∠BAC=60°，分別以AB、AC為腰向形外作等腰直角三角形△ABD與△ACE，連接BE、CD交于點(diǎn)P.

(1)判斷DC與BE的關(guān)系；

(2)求OP的最小值.

圖15

圖16

圖17

例6(2012年浙江義烏中考題)在銳角△ABC中,AB=4，BC=5，∠ACB=45°，將△ABC繞點(diǎn)B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到△A1BC1.

(1)如圖15，當(dāng)點(diǎn)C1在線段CA的延長線上時，求∠CC1A1的度數(shù)；

(2)如圖16，連結(jié)AA1、CC1.若△ABA1的面積為4，求△CBC1的面積；

(3)如圖17，點(diǎn)E為線段AB中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AC上的動點(diǎn)，在△ABC繞點(diǎn)B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)P1，求線段EP1長度的最大值與最小值.

圖18

點(diǎn)評我們對題根進(jìn)行推廣之后，題根中的定點(diǎn)，可以是平面內(nèi)的任何一點(diǎn)，題根適合的范圍進(jìn)行了擴(kuò)大，解題的主要重點(diǎn)放在動點(diǎn)的確定上，確定動點(diǎn)是否在一個圓上是解題的重點(diǎn).這個圓可以是已知圓，也可以是隱圓，這對隱圓，我們結(jié)合隱圓的判定方式即可.

4 對題根應(yīng)用的進(jìn)一步思考

題根在解題時的運(yùn)用，并不是依樣畫葫蘆的套用，還是要在理解題根的基礎(chǔ)上，再對問題展開分析，只有最后適合題根應(yīng)用的時候，才能進(jìn)行運(yùn)用.

圖19

圖20

例7(2016年啟東市一模)如圖19，正方形ABCD中，AB=2，動點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)D運(yùn)動，同時動點(diǎn)F從點(diǎn)D出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動，點(diǎn)E、F運(yùn)動的速度相同，當(dāng)它們到達(dá)各自終點(diǎn)時停止運(yùn)動，運(yùn)動過程中線段AF、BE相交于點(diǎn)P，M是線段BC上任意一點(diǎn)，則MD+MP的最小值為__________.

圖21

點(diǎn)評思維是靈活的，解題時我們不能局限在一題、一法之中.解一題，得一法，通一片，固然是我們所期待的思維增長的境界，我們其實更希望有更多的“通一片”的產(chǎn)生，從而構(gòu)造出一個全面的思維觀.

5 思考收獲

數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)對原來的初中教學(xué)要求進(jìn)行了重新修訂，對原有的教學(xué)知識點(diǎn)進(jìn)行了刪減，而進(jìn)一步強(qiáng)化了對學(xué)生能力的要求.使得各地的數(shù)學(xué)中考試題的設(shè)計已經(jīng)突破了書本知識結(jié)論直接運(yùn)用的簡單模式，而是立足教材，對教材例題的典型題根進(jìn)行不斷變化、挖掘和拓展，讓試題朝著考查學(xué)生的知識轉(zhuǎn)化和能力運(yùn)用的角度發(fā)展，因此對典型題根的研究不僅成為了中考命題的一個熱點(diǎn)，也成為教師平時教學(xué)的一個方向.這就要求教師以題根這一隱性資源為突破，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有效的觀察、實驗、猜想、歸納、類比等思維活動，不斷探尋題根的內(nèi)涵與外延，力求理順問題的來龍去脈.這對于激發(fā)學(xué)生探索精神、求異創(chuàng)新思維等都有積極的意義.同時，這對教師也提出了更高的要求，首先，平時在接觸了大量的數(shù)學(xué)題之后，如果數(shù)學(xué)教師能對題目中的條件進(jìn)行分析，做好典型題根的分析和整理，明確題目題根的出處，了解出題者的考查意圖，去發(fā)現(xiàn)當(dāng)去除掉題目的背景干擾后隱藏的解決問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，因此，加強(qiáng)對題根的學(xué)習(xí)和運(yùn)用，對于數(shù)學(xué)解題，也將是一筆巨大的財富.其次，教學(xué)過程中教師注重對典型問題的發(fā)生、發(fā)散、發(fā)展過程的挖掘，明確問題的來龍去脈，尋求問題的解決方法，探究結(jié)論推廣的可能，是非常重要和必要的.

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)離不開解題，解題是掌握數(shù)學(xué)、學(xué)會數(shù)學(xué)的基本途徑，而從手頭的第一手資料題根出發(fā)，反思題根的解題的思路、解題的方法、解題的過程對培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)的思維顯得尤為重要，這樣做對于對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，也是大有幫助的.只有這樣，才能使更多的充滿數(shù)學(xué)味道的鮮活問題為提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)服務(wù).

1 陳鋒,薛鶯.對初三“圓的復(fù)習(xí)課”的幾點(diǎn)感悟[J] .中學(xué)數(shù)學(xué)(初中版)，2013(5):17-19

2 陳鋒,薛鶯.多元化的“微探究”：從機(jī)械記憶走向理解建構(gòu)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(初中版)，2013(9):76-78

3 陳鋒,薛鶯.從課堂“微探究”談初中數(shù)學(xué)有效教學(xué)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(初中版)，2013(4)