也談數(shù)學教育應追求數(shù)學精神

江蘇省江陰市第一初級中學

鐘珍玖 (郵編：638400)

拜讀孫偉剛老師的文章《數(shù)學教育應追求數(shù)學精神》后深有同感：數(shù)學的方式是數(shù)學育人的根本途徑，數(shù)學精神的激發(fā)是數(shù)學教育工作者追尋的教育價值.在平時的教學中，對于數(shù)學教育的價值也有一些思考，作為對前文觀點的補充特撰寫下文，以期同行斧正.

《數(shù)學教育應追求數(shù)學精神》認為數(shù)學精神應包含三個方面：理性精神、求真精神、創(chuàng)新精神，從數(shù)學本身特點和數(shù)學發(fā)展的歷史來看，數(shù)學精神還應包括：自由的精神、追求“數(shù)學美”的情感和哲學的思辯.

1 數(shù)學教育追求自由的精神

從數(shù)學的本質(zhì)來看，數(shù)學是模式建構(gòu)的學科，這就決定了數(shù)學在模式建構(gòu)的過程就有多樣性的特點，也就是數(shù)學創(chuàng)造的自由性. 因此，學生在學習數(shù)學和解決數(shù)學問題時也具有思考的多樣性，具有思想馳騁的自由性.

案例1“一元二次方程復習課”教學片段

問題定義：如果關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)滿足a+b+c=0，那么我們稱此方程為“完美”方程. 已知方程ax2+bx+c=0(a≠0)是“完美”方程，且有兩個相等的實數(shù)根，則下列結(jié)論正確的是( )

A.a=cB.a=bC.b=cD.a=b=c

生1：根據(jù)一元二次方程的求根公式：

由方程有兩個相等的實數(shù)根得x1=x2，所以b2-4ac=0，又a+b+c=0，即b=-a-c，代入b2-4ac=0,得a=c.

生2：可以簡化上述方法，由根的判別式知b2-4ac=0，又a+b+c=0，同樣可得a=c.

生4：由生3的解法得到啟發(fā)，方程必有兩個相等的實數(shù)根x1=x2=1，則原方程可表示為a(x-1)2=0，即ax2-2ax+a=0，比較ax2+bx+c=0的系數(shù)可得：a=c，還可以得出另一結(jié)論b=-2a.

上述簡單問題的解決，通過充分調(diào)動學生思維的主動性，解題的方法多樣，極大地體現(xiàn)了數(shù)學教學應追求自由的思考、自由的表達、自由的創(chuàng)造.這樣的教學方法也正體現(xiàn)了章建躍博士所提出的數(shù)學問題思考的“創(chuàng)新性”和“隨意性”.

2 數(shù)學教育追求數(shù)學美的情感

古希臘偉大的哲學家亞里士多德早就指出：“認為數(shù)學的科學全不涉及美或善是錯誤的……數(shù)學的科學特別體現(xiàn)秩序、對稱、和明確性，而這些正是美的主要形式. ”古今中外的數(shù)學家和數(shù)學教育家對于數(shù)學美都有很詳盡的表述和深入的研究，在數(shù)學發(fā)展史上曾經(jīng)把美學的標準作為數(shù)學研究的一個準則. 著名的數(shù)學家馮·諾伊曼曾經(jīng)說過：數(shù)學家選這個課題，或者選其他課題，基本上是自由的. 而對于決定選題、選題的標準、成功與否的標準，主要是美學的.

案例2蘇科版九年級上冊“圓的內(nèi)接四邊形”教學片段

師：經(jīng)過不在一直線上三點可以確定一個圓，經(jīng)過任意四個點(無三點共線)能夠確定一個圓嗎？

生1：經(jīng)過任意四個點(無三點共線)不一定能確定一個圓.

師：為什么？

生1：因為經(jīng)過平行四邊形的四個頂點不一定在同一個圓上.

師：數(shù)學追求嚴謹?shù)耐评?，能夠推導出上述結(jié)論嗎？

生1：假設平行四邊形的四個頂點在同一個圓上，那么圓心到四個頂點的距離相等，四邊的垂直平分線交于同一點，而平行四邊形的對邊平行，它們的垂直平分線也是平行的，這是不可能的.

師：很好，如果要證明某個命題是假命題，我們只需要舉出反例.類比“圓的內(nèi)接三角形”、“三角形的外接圓”的概念，你認為如何定義“圓的內(nèi)接四邊形”“四邊形的外接圓”的概念？

生2：四個頂點都在圓上的四邊形叫做圓的內(nèi)接四邊形，圓稱為四邊形的外接圓.

師：學習需要深入思考，那么圓的內(nèi)接四邊形有何性質(zhì)呢？

圖1

圖2

圖3

生3：圓的內(nèi)接四邊形對角互補，如圖1，∠A的度數(shù)等于______度數(shù)的一半，∠C的度數(shù)等于______度數(shù)的一半，則∠A+∠C=180°.

師：你能用所學的定理推導出圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)嗎？

學生陷入了沉思……

師：能否類比圓周角定理的發(fā)現(xiàn)過程，來發(fā)現(xiàn)和證明圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)呢？

生4：如圖2從特殊情況入手，當BD是⊙O的直徑時，結(jié)論是成立的.

因為BD是⊙O的直徑，所以∠A=∠C=90°，

所以∠A+∠C=180°，同理∠B+∠D=180°.

當點O不在四邊形ABCD的對角線上時，如圖3，證明如下：

連接BO并延長，交⊙O于點E,

由圖2證明可得：∠BAE+∠BCE=180°，

因為∠BAE=∠BAD+∠DAE，∠BCE=∠BCD-∠DCE，

所以∠BAD+∠DAE+∠BCD-∠DCE=180°，

因為∠DAE=∠DCE，

所以∠BAD+∠BCD=180°.

圖4

師：能用文字語言概括一下我們發(fā)現(xiàn)的結(jié)論嗎？

生4：圓的內(nèi)接四邊形對角互補.

(正當老師準備繼續(xù)講解后面的內(nèi)容時，還有學生舉手發(fā)言)

生5：還有其他的方法證明這個定理，如圖4，證明如下：

連接OA、OB、OC、OD，

因為OA=OB=OC=OD，所以∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8，

所以∠2+∠3+∠6+∠7=∠1+∠4+∠5+∠8=180°，所以∠BAD+∠BCD=∠ABC+∠ADC=180°.

從定理的發(fā)現(xiàn)與證明的過程可以看出，數(shù)學之美貫串其中，圓周角、圓心角、所對的弧的度數(shù)，其本身都是互相聯(lián)系的，體現(xiàn)了數(shù)學內(nèi)在統(tǒng)一美、和諧美.這種對于美的追求和補“美”的過程也具有方法論的價值，構(gòu)造直徑和半徑解題，是圓的問題中最為常用的輔助線的作法. 數(shù)學之美在數(shù)學中俯拾皆是，值得教者研究和應用.

3 數(shù)學教育追求哲學的思辨

從數(shù)學的發(fā)展史來看，數(shù)學與哲學從來就是密切相關(guān)的，數(shù)學教學理應培養(yǎng)學生的辯證唯物主義觀，有助于學生形成正確的數(shù)學觀、世界觀. 數(shù)學中的辨證思想很多如：變與不變、運動與靜止、一般與特殊、整體與局部等等，以下僅以“動”與“靜”的關(guān)系為例作說明.

案例3一道動態(tài)問題的教學過程

圖5

圖6

如圖5，Rt△PMN中，∠P=90°，PM=PN，MN=8cm，矩形ABCD的長和寬分別為8cm和2cm，點C和點M重合，BC和MN在一條直線上.令Rt△PMN不動，矩形ABCD沿MN所在的直線向右以1cm/s的速度移動(如圖6)，直到點C與點N重合為止.設移動t秒后，矩形ABCD與Rt△PMN重疊部分的面積為Scm2.求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式.

圖7

圖8

圖9

分析與解此題為典型的運動型問題，而且具有一定的綜合性，初看似乎和靜止無關(guān).實際上該問題的解決恰好就是運用了“動中有靜”，根據(jù)點C運動的三個臨界狀態(tài)：即點C在點M和F之間，點C在點F和點T之間，點C在點T和N之間，找到三種對應的靜止狀態(tài)：即重疊部分為三角形、梯形、五邊形，化動為靜，關(guān)鍵就是運用辯證的思想把運動過程中的三個臨界點看成靜止的狀態(tài)，找到分類標準進行分類討論，這種哲學的思考不僅可以培養(yǎng)學生的哲學觀，還提供了解動態(tài)問題的一般方法，簡解如下：

(2)當2

此時S=2t-2 ；

(3)當6

辨證唯物主義認為：運動是無條件的、絕對的，靜止是有條件的、相對的，動中有靜，靜中有動，世界上一切事物的存在和發(fā)展，都是絕對運動和相對靜止的統(tǒng)一. 數(shù)學中也存在運動和靜止的對立統(tǒng)一關(guān)系，動靜關(guān)系，相互依存，相互制約，在解題中若能運用好“動”與“靜”的關(guān)系，則能理解運動問題的實質(zhì)，增強解決運動類問題的能力，有助于形成哲學的思辨能力. 在教學中，教師若能根據(jù)教學內(nèi)容的特點，適時、循序漸進地進行辨證唯物主義觀點的滲透，可行并且是有效，學生定能中從受益，從而實現(xiàn)數(shù)學教育功能的最大化.

1 孫偉剛.數(shù)學教育應追求數(shù)學精神[J].中學數(shù)學教學參考，2016(12)：1-2

2 鄭毓信.數(shù)學哲學與數(shù)學教育哲學[M].南京：江蘇教育出版社，2007：165

3 曹才翰，章建躍.數(shù)學教育心理學[M].北京：北京師范大學出版社，2006：80-85