簡(jiǎn)化運(yùn)算 助力高考

江蘇省如皋中學(xué)高一(1) 班

孫心怡 (郵編：638400)

江蘇高考對(duì)數(shù)學(xué)能力的考查主要包括空間想象、抽象概括、推理論證、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理這幾方面的能力.其中運(yùn)算能力的考查要求是：能夠根據(jù)法則、公式進(jìn)行正確運(yùn)算、變形和數(shù)據(jù)處理；能夠根據(jù)問(wèn)題的條件尋找與設(shè)計(jì)合理、簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑；能夠根據(jù)要求對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)或近似計(jì)算.

一道直線與橢圓的試題，老師給出了參考答案供我們學(xué)習(xí)，布置各小組從參考答案出發(fā)研究計(jì)算的方法.有沒(méi)有其他簡(jiǎn)單的運(yùn)算途徑？如何簡(jiǎn)化？激發(fā)了我們小組思考、探究的熱情.多角度思考，層層深入，鉆研的過(guò)程，讓我們經(jīng)歷了一次又一次思維的洗禮.鞏固了知識(shí)，熟悉了方法，有煩惱更有收獲.對(duì)江蘇高考運(yùn)算能力的考查要求有了切身的體會(huì)與理解.回味過(guò)程，其樂(lè)無(wú)窮，特此饗志趣相投者.

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若△ABC是以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，求直線l的方程.

1 學(xué)習(xí)總結(jié) 把握本質(zhì) 力求變化

通覽參考答案，其實(shí)第(2)小題就是解方程組

①

②

采用代入消元的方法，由于①式是關(guān)于y0的二次方程，②式是關(guān)于y0的一次方程，所以參考答案從②式中解出y0，再代入①式.

上述兩個(gè)方程均比較復(fù)雜，因此在運(yùn)算時(shí)要注意觀察式子的特點(diǎn)，尋找合理的運(yùn)算方向，切不可亂化，從而掩蓋式子的特征.

2 不同路徑 出現(xiàn)增解 等價(jià)相助

通過(guò)對(duì)解題過(guò)程的反復(fù)確認(rèn)，上述解題過(guò)程無(wú)誤，為什么會(huì)出現(xiàn)增解？如何取舍？為什么代入方程①就不會(huì)出現(xiàn)，代入方程②就出現(xiàn)麻煩，兩者的區(qū)別究竟在哪里？

小組成員一時(shí)陷入了沉思，或重新運(yùn)算，或回憶做過(guò)的一些試題，或查找資料，都想首先發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的癥結(jié)，大家都在挖空腦力地思考.

回憶慢慢襲來(lái)，老師曾經(jīng)說(shuō)過(guò)，如果在推導(dǎo)的過(guò)程中出現(xiàn)了不等價(jià)的現(xiàn)象，就會(huì)出現(xiàn)增解，而這樣的問(wèn)題從前向后去查找根本找不出，應(yīng)該從后向前來(lái)思考.一石激起千層浪，大家茅塞頓開(kāi)，興奮得手舞足蹈.

要滿足題意，必須同時(shí)滿足

①

②

而代入①式就是解方程組

只要將第二個(gè)方程代入第一個(gè)方程就可以推導(dǎo)到前面的兩個(gè)方程，因此這兩個(gè)方程組之間是等價(jià)的.不會(huì)出現(xiàn)增解.

3 反思過(guò)程 尋求突破 簡(jiǎn)化運(yùn)算

上述運(yùn)算較為繁瑣，方程組也較為復(fù)雜，有沒(méi)有更簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑.條件還有其他的使用方法嗎？點(diǎn)B的坐標(biāo)能求，一定要求嗎？帶著這些疑問(wèn)小組內(nèi)進(jìn)行了分工突破，再合作交流，分享智慧的成果.

突破一等腰直角三角形這個(gè)條件可不可以通過(guò)變形使用或等價(jià)使用，達(dá)到計(jì)算思路更明確，最終簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的.

當(dāng)k=0時(shí)，此時(shí)B(2,0)，AB的中垂線為y軸，在y軸上一定存在點(diǎn)C，使得△ABC是以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形.

上述等價(jià)使用等腰三角形這一條件，使得運(yùn)算的方向非常明確，運(yùn)算程序可操作，組內(nèi)成員都能夠快速算出，非常貼近我們學(xué)生的實(shí)際.

突破二等腰三角形ABC中AC=BC，除了等價(jià)使用可以簡(jiǎn)化外，在長(zhǎng)度計(jì)算上是否也可以有簡(jiǎn)化的方法？經(jīng)過(guò)討論研究發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)度除了使用兩點(diǎn)之間的距離外，還可使用弦長(zhǎng)公式.

突破三等腰直角三角形有很強(qiáng)的平面幾何性質(zhì)，能否通過(guò)平面幾何的方法實(shí)現(xiàn)對(duì)解析幾何運(yùn)算的簡(jiǎn)化？

突破四參考答案的運(yùn)算過(guò)程給人的感覺(jué)很煩，其原因在于B點(diǎn)的坐標(biāo)雖然能求，但比較復(fù)雜，是否可以不求而設(shè)出來(lái)，通過(guò)其滿足的等量關(guān)系來(lái)限制呢？我們進(jìn)行了嘗試，成功了.

代入橢圓方程可得

小組討論中大家既有分工又有合作，分工是速度與準(zhǔn)確率的比拼，合作則是數(shù)學(xué)思維的碰撞，全情的投入讓小組討論更高效，每一個(gè)一閃而過(guò)的念頭都不會(huì)放過(guò)，要么嘗試、要么否定，都需要給出充分的能讓組員認(rèn)可的理由.細(xì)細(xì)品味討論的過(guò)程，它讓所學(xué)知識(shí)靈動(dòng)起來(lái)、靈活起來(lái)、交匯起來(lái)，其中有困惑，有驚喜，更有滿滿的收獲，讓我們對(duì)下一次的討論研究充滿期待.