解題教學(xué)應(yīng)重在揭示思維的探索過程

廣東省廣州市真光中學(xué)

金 明 (郵編：510380)

波利亞說：“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)就是加強解題訓(xùn)練”“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題”.解題在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著不容置疑的重要性.在中學(xué)數(shù)學(xué)課堂，教師們非常重視解題教學(xué)，然而，很多教師在教學(xué)時常常掩蓋了必要的分析、探索過程，實行注入式、結(jié)論式教學(xué).解題思路要么一猜就中，一選就準(zhǔn)、一證就對、一用就靈；要么采用題海戰(zhàn)術(shù)，強調(diào)純技能技巧，指望學(xué)生通過多練而形成條件反射，以套路與程式讓學(xué)生對號入座，機械模仿.解題教學(xué)缺乏對思維過程的揭示；缺少解題思路是如何想到的？為什么這樣想的分析；缺少解題思路出現(xiàn)偏差的剖析；解題受阻時如何聯(lián)想轉(zhuǎn)化突破的揭示.怎樣進行解題教學(xué)呢，本文通過幾個具體實例揭示解題時需揭示思維的過程.

1 揭示解題錯誤的產(chǎn)生、發(fā)現(xiàn)、糾正過程

解題出錯，人皆有之.但解題錯誤的產(chǎn)生是有原因的，只有分析出錯的原因才能避免再次出錯.為此教學(xué)時要抓住典型錯誤，引導(dǎo)學(xué)生剖析錯誤的成因，找到對應(yīng)解決問題的策略.

案例1已知數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1=2an+3n+1，求數(shù)列{an}的通項公式

師：剛才我們學(xué)習(xí)了形如an+1=pan+q,(p,q為常數(shù))數(shù)列的通項公式，請同學(xué)們思考一下案例1如何求解？(8分鐘后)教師投影生1的解法

生1：設(shè)an+1+λ=2(an+λ)，由于an+1=2an+3n+1，可求得λ=3n+1.

即an+1+3n+1=2(an+3n+1)，故an+3n+1是首項為a1+32=11，公比為2的等比數(shù)列，所以an+3n+1=11×2n-1，即an=11×2n-1-3n+1.

師：(追問)你是怎么想的？解題思路是怎樣的？

生1：剛才不是學(xué)過一題：已知數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1=2an+3，求數(shù)列{an}的通項公式.通過設(shè)an+1+λ=2(an+λ)構(gòu)造等比數(shù)列求解，我的做法就是仿效這一題的.

師：生1的做法對嗎，請同學(xué)們思考一下.

生2：生1的答案肯定是錯誤的.因為由已知條件求得a2=13,而由生1的答案求得a2=-5，很明顯不對.

師：生2通過驗算發(fā)現(xiàn)了生1的解答存在問題，到底是什么地方存在問題呢？

生3：生2的思路中，由an+1+3n+1=2(an+3n+1)，認為an+3n+1是等比數(shù)列，事實上若設(shè)bn=an+3n+1，則bn+1=an+1+3n+2，這樣才能構(gòu)成等比數(shù)列.顯然生1的解答不是這樣的.

師：生3非常不錯，他發(fā)現(xiàn)了生1的出錯根源.此題到底怎么解呢？請同學(xué)們分小組討論.

師：同學(xué)們討論得怎么樣？有無答案.

師：非常好，你是怎么想到此方法的.

生5：我看到將等式an+1=2an+3n+1兩邊同時除以2n+1得到形如bn+1=bn+qn的形式，正好可用到累加法.

師：生5通過等式兩邊同除以一個式構(gòu)造出能用累加法的形式.非常好，還有別的解法嗎？

生6：我是這樣構(gòu)造的：an+1-λ×3n+1=2(an-λ×3n)，求得λ=3，故an+1-3×3n+1=2(an-3×3n)，所以an-3×3n=(a1-3×31)2n-1，即an=3n+1-7×2n-1.

師：非常好，生6也是構(gòu)造等比數(shù)列求解的.但是她的構(gòu)造與生4不同.以上三位同學(xué)用三種不同的解法解答了此題.同學(xué)們能否總結(jié)一下an+1=pan+qn,(p，q為常數(shù))這樣數(shù)列通項的方法并探索一下哪種方法運算量少一點.

教學(xué)反思教師首先投影學(xué)生1的解題過程，并追問其解題思路，為學(xué)生的討論作準(zhǔn)備.然后讓學(xué)生共同分析、討論，找出存在的問題與不足.再讓學(xué)生討論此題的解法，展示不同學(xué)生的不同解法，并點評追問其解題思路，方便其它學(xué)生判斷分析.問題從學(xué)生中來，解決措施也來自學(xué)生，問題情境貼近學(xué)生的實際，吸引更多的學(xué)生參與到教學(xué)中來.通過這樣的教學(xué)設(shè)計讓學(xué)生能明確錯誤產(chǎn)生的原因，體驗查找錯誤、發(fā)現(xiàn)錯誤的過程，領(lǐng)悟糾正錯誤的方法，提煉了解題的方法與經(jīng)驗.

2 揭示解題思路受阻時的突破過程

學(xué)生在解題時探求解題思路并非一帆風(fēng)順，往往會遇到許多挫折，甚至達不到目的.教師在備課時要充分考慮學(xué)生思維上可能遇到的困難，尋找受阻時如何轉(zhuǎn)換的策略.教師在授課或答疑時可采用現(xiàn)推現(xiàn)想的做法，將解題時思維受阻的一面暴露出來，并展示受阻時是如何想的？如何突破思維障礙的，讓學(xué)生從中學(xué)到教師突破困境時的思維過程.

案例2已知函數(shù)f(x)=ex+m-x3，g(x)=ln(x+1)+2.

當(dāng)m≥1時，證明：f(x)>g(x)-x3.

綜上可知，當(dāng)m≥1時，f(x)>g(x)-x3.

思路2要證ex+m-ln(x+1)-2>0，只需證明ex+1-ln(x+1)-2>0.

聯(lián)想到常用不等式：ex≥x+1，可先證明ex+1≥x+2 .由此要證明ex+1-ln(x+1)-2>0的不等式可轉(zhuǎn)化為：證明(x+2)-ln(x+1)-2>0.即證明x-ln(x+1)≥0.到此此題的解法就簡單了.

思路3要證ex+m-ln(x+1)-2>0，只需證明ex+1-ln(x+1)-2>0.

聯(lián)想到常用不等式：ex≥x+1，可先證明ex+1≥x+2.同時也聯(lián)想到常用不等式：lnx-x，故ex+1-ln(x+1)-2>(x+2)-x-2=0，原題得證.

當(dāng)然本題還有其它很多解題思路，如參數(shù)m不去直接求解或放縮求解等，教學(xué)時要根據(jù)不同層次的學(xué)生可選擇不同的解法.

教學(xué)反思解題受阻是解題過程中經(jīng)常出現(xiàn)的問題.受阻了怎么辦？是直接告知結(jié)論還是展示受阻的過程及解除障礙的過程.若直接告知表面上節(jié)省了時間，學(xué)生也可能當(dāng)時理解但記憶不會長久，學(xué)生沒有體驗到知識的發(fā)生發(fā)展過程.而教師放低姿態(tài)從學(xué)生的角度，展示受阻過程，受阻后的想法，如何通過變形轉(zhuǎn)化突破難點等，這樣學(xué)生就能體驗到老師解題時也會遇到障礙，受阻時怎樣轉(zhuǎn)換思維，體驗到問題從受阻到脫困直至解決問題的全過程.

3 揭示解題沒思路時的聯(lián)想轉(zhuǎn)化過程

解題時遇到陌生的問題、情境新穎的問題，有時想不到思路怎么辦？這時聯(lián)想、化歸很重要.教學(xué)時，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生多方嘗試，積極聯(lián)想，將陌生的問題化歸為熟悉的、已經(jīng)解決過的問題，使學(xué)生體驗到解題思路的獲得過程.

教學(xué)時，教師先引導(dǎo)學(xué)生剖析解此題時學(xué)生常出現(xiàn)的解法.

教師投影展示學(xué)生1的解法：

師：上述解題思路有問題嗎？

師：生2說得很好 ，用基本不等式解題時，要注意一正、二定、三相等.生1的解法兩次取等號的條件不一致，故解法不對，那怎么解答此題呢？

生眾：沉默無語(顯然沒有一點思路)

師：我們不妨回憶一下以前做過的一道習(xí)題的解法.請同學(xué)們思考一下此題有哪些解法.

習(xí)題若實數(shù)x、y滿足x2+y2+xy=1，求x+y的最大值.

師：生3從不等式的視角，利用基本不等式建立x+y與xy的關(guān)系，消去xy，解答了此題.還有別的方法嗎？

師：生4從三角的視角聯(lián)想到三角換元，將問題轉(zhuǎn)化為三角問題解答了.還有別的方法嗎？

生5：設(shè)x+y=t，則y=t-x，將其代入x2+y2+xy=1并化簡得x2-tx+t2-1=0.

師：生5從方程的視角解答了此題，將要求的代數(shù)式x+y設(shè)為t，化末知為已知，將方程組有解的問題轉(zhuǎn)化為方程有解的問題，從而使問題得到解決.

師：通過此題的解答，你能探討剛才那一題的解法嗎？

有了此題作鋪墊，余下的問題就讓學(xué)生自行探索求解，相信學(xué)生一定會解答的.

教學(xué)反思有時解題時學(xué)生一點思路也想不出來，這時就要引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想以前做過的習(xí)題.本案例中，學(xué)生解題沒有思路，老師引導(dǎo)學(xué)生從不等式的視角、三角函數(shù)的視角、方程的視角解答了一道從前做過的習(xí)題，學(xué)生學(xué)到了含兩個參變量問題的解決方法，自然會聯(lián)想、類比找到解此題的方法.

4 揭示解題思路的嘗試探索過程

解題思路不可能總是一猜就中，一選就準(zhǔn)、一證就對、一用就靈.解題思路的獲得常常要經(jīng)過嘗試——出錯——總結(jié)反思——找方向——再嘗試——還是不對——再總結(jié)反思——再調(diào)整方向——再嘗試……等多次循環(huán)，直至成功解題.在此過程中，思維能力得到了提升.

案例4在數(shù)列{an}中，a1=1,a2=3,an+2=3an+1-kan(k≠0)對任意n∈N·成立，令bn=an+1-an，且{bn}是等比數(shù)列.

此題第(1)(2)問較容易，結(jié)果為k=2，an=2n-1(過程略).

解答第(3)問時作了如下探索，過程簡錄如下：

探討1能放縮為等比數(shù)列求和嗎？

探討2保留一項會有什么結(jié)果呢？

反思盡管沒有證明出所需結(jié)果，但是可發(fā)現(xiàn)放縮的結(jié)果變小了.由此可見，保留一項，可使結(jié)果更接近.

探討3保留二項會有什么結(jié)果呢？

探討4能放縮為裂項相消法求和嗎？

反思此放縮所得結(jié)果比題目所求結(jié)果要大，解題不成功.

探討5用二項式定理時，放的結(jié)果還能小嗎？

教學(xué)反思解題不可能每次一嘗試就成功，有時需要反復(fù)嘗試、調(diào)整、反思總結(jié)，再嘗試.這樣的過程能磨練意志，促使自信心、耐心、恒心提升，思維品質(zhì)得到錘煉，思維能力得到提升.在本例的教學(xué)法中經(jīng)歷的嘗試、反思，再嘗試，再反思…等過程，在此過程中，不斷嘗試、不斷反思，一步一步地接近目標(biāo)，不僅思維能力得到提升，意志品質(zhì)等非智力因素也得到了錘練.

1 林婷.突出主體地位 追尋高效復(fù)習(xí)[J].數(shù)學(xué)通訊，2013(3)(下半月)

2 金明.課堂教學(xué)應(yīng)讓學(xué)生盡情地“說”.中學(xué)數(shù)學(xué)，2013(3)

3 金明.這節(jié)課的教學(xué)設(shè)計為什么不成功.中學(xué)教研，2016(5)

4 張松年.把學(xué)習(xí)過程中的思維空間讓給學(xué)生[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2009(10)