辨析貝特朗問題中“一題多解”的誤區(qū)

湖北省武漢市洪山區(qū)華中科技大學(xué)附屬中學(xué)

馬 俊 (郵編：430074)

在幾何概型中，時(shí)常會(huì)遇到一些概率模型，通過不同的角度去分析得出不同的結(jié)果，并且?guī)熒诿鎸?duì)這種“一題多解”的困境時(shí)，只能抱著模棱兩可的態(tài)度，給師生雙方的教與學(xué)帶來了很大的困惑.筆者結(jié)合教材中的例題、同行的研究以及自己的思考，談?wù)勛约簩?duì)幾何概型中“一題多解”的幾點(diǎn)思考.

1 回顧歷史 理清思路

貝特朗問題：在圓內(nèi)任作一弦，求其長(zhǎng)大于其內(nèi)接正三角形邊長(zhǎng)的概率.

圖1

圖2

圖3

通過三種思路卻得到了三種不同的結(jié)果，這與數(shù)學(xué)中一個(gè)概率問題只有一個(gè)結(jié)果是相矛盾的，但是每個(gè)思路又似乎合情合理.筆者對(duì)比貝特朗問題，從幾個(gè)類似的問題進(jìn)行探究.

2 對(duì)比探究 揭示緣由

在這里需要說明的是幾何概型通過一一映射變換后，得到新的概率模型依舊滿足無限性和等可能性兩個(gè)特點(diǎn)，即變換后仍然是一個(gè)幾何概型.

在上面兩個(gè)解法中已經(jīng)得出了不同的結(jié)果，解法1是通過直接表示試驗(yàn)隨機(jī)結(jié)果的變量(我們不妨把這個(gè)變量稱之為真變量)來完成的，解法2是尋找一個(gè)能與真變量建立一一映射的變量(我們不妨把這個(gè)變量稱之為假變量)來完成的.也就是說一一映射產(chǎn)生的假變量所計(jì)算的概率并不能真實(shí)反應(yīng)幾何概型中的概率.

為了進(jìn)一步探究緣由，我們可以類比例1的思路來解決下面三個(gè)變式.

類比法2的思路，因?yàn)?/p>

B={y|y=x3,x∈A}=[0,1]，

類比法2的思路，因?yàn)?/p>

B={y|y=x+1,x∈A}=[1,2]，

通過觀察上面的例題和變式題，可以很直觀的發(fā)現(xiàn)在思路1的基礎(chǔ)上得到了相同的結(jié)果，而在思路2的基礎(chǔ)上得到的結(jié)果卻是各不相同.原因是思路1并沒有使用集合B這個(gè)條件，而思路2使用了集合B這個(gè)條件，而由于集合B的中對(duì)應(yīng)關(guān)系的不同而產(chǎn)生了不同的結(jié)果.其實(shí)細(xì)觀題目，不難發(fā)現(xiàn)所求的概率其實(shí)與集合B毫無關(guān)系，例題和變式題的實(shí)質(zhì)都是同一個(gè)問題(如下).

在這個(gè)問題解決中，建立一個(gè)一一映射的解題“思路”是何其之多，結(jié)果又將是何其之多.顯然建立一一映射來實(shí)現(xiàn)幾何概型的求解是一個(gè)誤區(qū)，因此可以得到第一個(gè)命題.

命題1幾何概型中，通過一一映射得到的新的隨機(jī)事件概率并不能等價(jià)原隨機(jī)事件的概率.

在變式3中，我們發(fā)現(xiàn)通過一一映射變換后得到的新隨機(jī)事件概率卻與原隨機(jī)事件概率相等，難道這是一個(gè)巧合？通過對(duì)比不難發(fā)現(xiàn)變式3中的一一映射是一種線性變換，難道線性變換不會(huì)改變?cè)S機(jī)事件概率？

命題2在幾何概型中，通過一一映射(線性)得到的新隨機(jī)事件概率等價(jià)于原隨機(jī)事件的概率.

現(xiàn)在再來分析貝特朗問題，首先它的真變量是弦長(zhǎng)，但是解法1中的變量是直徑上任一點(diǎn)到圓心的距離，解法2中的變量是弦切角，解法3中的變量是任一點(diǎn)到圓心的距離，都是與真變量弦長(zhǎng)建立的一一映射關(guān)系的假變量.

在解法2中，設(shè)∠DAH=θ，弦長(zhǎng)AF=l，連接FD，

則在Rt△ADF中，l=2Rsinθ，θ∈(0,π)；

3 把握本質(zhì) 避免誤區(qū)

在教學(xué)中，幾何概型的誤區(qū)主要是源于對(duì)幾何概型知識(shí)和本質(zhì)理解不透徹所致，導(dǎo)致在解題時(shí)容易將問題憑主觀轉(zhuǎn)化成為另一個(gè)問題.因此在幾何概型的教學(xué)中，需要充分尊重原問題，把握原問題中到底什么是直接表示實(shí)驗(yàn)結(jié)果的變量，切不可盲目轉(zhuǎn)化，陷入“一題多解”的誤區(qū).

1 唐銳光.“一道幾何概型問題的對(duì)話引起的思考”[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(上旬)，2012(9):8-10

2 李文明.“追根溯源 釋疑解惑”[J].數(shù)學(xué)通訊(教師版)，2014(9):28-31