也談“再錯(cuò)”現(xiàn)象的成因分析及對(duì)策

上海市嶺南中學(xué)

劉華為 (郵編：200435)

拜讀了發(fā)表在《中學(xué)數(shù)學(xué)月刊》2017年第5期上《“微探”學(xué)生“再錯(cuò)”背后的原因》(以下簡(jiǎn)稱(chēng)文[1])一文后，深受啟發(fā)，特別是文[1]從教師和學(xué)生兩方面對(duì)造成“再錯(cuò)”現(xiàn)象的成因進(jìn)行的分析，總結(jié)出“先講錯(cuò)解后講正解所造成的前攝抑制”“讀題時(shí)定音不當(dāng)引發(fā)學(xué)生誤解”和“重技巧與方法輕概念與思想的教學(xué)導(dǎo)致根基不穩(wěn)”等教層面成因，以及“態(tài)度不正造成糾而不思”“讀題不全引發(fā)理解歧義”和“審題不透導(dǎo)致理解不深”等學(xué)習(xí)層面成因，給人留下了深刻的印象．但筆者覺(jué)得上述原因只是“一錯(cuò)再錯(cuò)”現(xiàn)象屢屢發(fā)生的表面誘因，其背后深層次的成因卻是教師“對(duì)錯(cuò)解成因分析不透”“糾錯(cuò)策略針對(duì)性不強(qiáng)”和“學(xué)生的糾錯(cuò)習(xí)慣存在偏差”等．

1 案例回顧

案例1文[1]提到對(duì)于習(xí)題“若函數(shù)f(x)=log2(x2+2ax-a)的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____”，學(xué)生求解時(shí)常犯“把值域與定義域混淆”之錯(cuò)，利用△<0(其中△為一元二次方程x2+2ax-a=0的判別式)求出-1

案例分析表面上看是學(xué)生混淆了定義域與值域致錯(cuò)，其真正的原因卻是學(xué)生沒(méi)有理解為什么“當(dāng)定義域?yàn)镽時(shí)要依據(jù)△<0求a的取值范圍”和“當(dāng)值域?yàn)镽時(shí)又依據(jù)△≥0求a的取值范圍”，而其背后推手就是教師“重結(jié)果輕過(guò)程”的糾錯(cuò)方式，只告訴學(xué)生“這樣做”，至于“為什么這樣做”卻不作深究．也許優(yōu)秀生能依靠自己的悟性無(wú)師自通，但大部分學(xué)生卻只能依賴(lài)自己“超強(qiáng)”記憶力強(qiáng)記結(jié)論，時(shí)間一長(zhǎng)由“混淆”而引發(fā)“一錯(cuò)再錯(cuò)”也就在所難免了．

如此通過(guò)層層抽絲剝繭的方法，透過(guò)現(xiàn)象挖掘出問(wèn)題的本質(zhì)，不僅知曉“錯(cuò)在哪里”，還明白“為什么犯錯(cuò)”以及“如何防錯(cuò)”，方能真正提升學(xué)生的糾錯(cuò)能力．

案例分析文[1]指出學(xué)生對(duì)“概念理解不透方法掌握不牢”是出錯(cuò)的主要原因，其實(shí)未必，教師在函數(shù)奇偶性概念教學(xué)時(shí)的處理失策可能才是幕后的真正推手．眾所周知，函數(shù)有三要素(定義域、對(duì)應(yīng)法則和值域)，其中定義域和對(duì)應(yīng)法則起決定性作用．但不少教師在組織“函數(shù)奇偶性”教學(xué)時(shí)往往關(guān)注點(diǎn)只放在解析式推導(dǎo)上，對(duì)定義域?yàn)槭裁匆P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)則是“重結(jié)果輕過(guò)程”式地點(diǎn)到為止，忽視對(duì)其生成的探究，以致學(xué)生對(duì)處理“函數(shù)奇偶性”問(wèn)題必須要從定義域和解析式兩方面入手的意識(shí)不強(qiáng)，為犯錯(cuò)埋下了隱患．

糾錯(cuò)策略在生成“函數(shù)奇偶性”概念后，教師可通過(guò)問(wèn)題“認(rèn)識(shí)某一函數(shù)應(yīng)從哪幾個(gè)方面入手(定義域、對(duì)應(yīng)法則和值域，其中值域是由定義域和對(duì)應(yīng)法則決定的，因此要認(rèn)識(shí)一個(gè)函數(shù)切不可忽視定義域)”“函數(shù)的奇偶性對(duì)定義域有何要求(由任意實(shí)數(shù)x必須滿(mǎn)足f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)探究可知奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng))”驅(qū)動(dòng)學(xué)生思考，并逐步認(rèn)識(shí)到定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)是函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件，要判斷一個(gè)函數(shù)的奇偶性必須先確定定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．然后，通過(guò)一組類(lèi)似本案例中題目的習(xí)題剖析，強(qiáng)化學(xué)生養(yǎng)成先確定定義域?qū)ΨQ(chēng)性再依據(jù)解析式變形來(lái)判定函數(shù)奇偶性的良好解題習(xí)慣，并明析依據(jù)定義域的對(duì)稱(chēng)性和舉反例也是說(shuō)明一個(gè)函數(shù)是非奇非偶函數(shù)的重要方法．

如此處理的優(yōu)越性在于，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的必要性是學(xué)生依據(jù)奇偶函數(shù)的定義探究而得，并通過(guò)適量的習(xí)題強(qiáng)化后上升到方法的高度，必然對(duì)理解其必要性大有裨益，用起來(lái)也會(huì)更加得心應(yīng)手，犯錯(cuò)率自然也就大大降低了．

案例分析文[1]認(rèn)為“雙基不穩(wěn)能力欠缺”導(dǎo)致學(xué)生選擇了“對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論”的繁瑣方法(“分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)既不易厘清且計(jì)算量又大”)，以致無(wú)謂失分；相反采用“圖象觀察法(即數(shù)形結(jié)合)”則可巧奪天工．事實(shí)果真如此嗎？顯然這是個(gè)分段函數(shù)的迭代式與解不等式的綜合問(wèn)題，通性通法就是先求出f(f(a)) 表達(dá)式再解不等式，雖然需要分類(lèi)討論，但分類(lèi)依據(jù)就是分段函數(shù)定義域的劃分標(biāo)準(zhǔn)，即使迭代時(shí)需二次分類(lèi)，不過(guò)分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)并沒(méi)有改變，只是劃分情形增多，計(jì)算量增大而已，理解上并沒(méi)有難度．而運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”思想解決本題時(shí)確有一定的優(yōu)越性，但需對(duì)同一圖象進(jìn)行兩次觀察，既有違常規(guī)(直接作出目標(biāo)函數(shù)圖象一次觀察可得)且需逆向思維，認(rèn)識(shí)上有一定的難度，不易想到．更何況“數(shù)形結(jié)合”畢竟是一種技巧，無(wú)法通解一類(lèi)題(因?yàn)椴⒉皇撬械那樾味寄墚?huà)出對(duì)應(yīng)圖形)，過(guò)分夸大其功能，必定會(huì)產(chǎn)生負(fù)遷移．

糾錯(cuò)策略首先從通性通法入手，放手讓學(xué)生嘗試用基本方法求解，明確解決此類(lèi)問(wèn)題的常規(guī)思維起點(diǎn)，提升學(xué)生運(yùn)用分類(lèi)討論思想解決問(wèn)題的能力．

通性通法1(由里到外) 考慮到在求f(f(a))表達(dá)式的過(guò)程中需對(duì)f(a)的符號(hào)進(jìn)行分類(lèi)討論，顯然當(dāng)a≥0時(shí)，f(a)=-a2≤0；當(dāng)a<0時(shí)，由f(a)=a2+a≥0得a≤-1，所以本題需對(duì)a分下列情形討論求解：

毋庸諱言，上述解法確有“分類(lèi)繁瑣”之嫌，且涉及解一元高次不等式，技巧性強(qiáng)計(jì)算量大．不妨以此為突破口，引導(dǎo)學(xué)生從“正難則反”的角度引導(dǎo)學(xué)生對(duì)上述方法進(jìn)行優(yōu)化，提升思維的品質(zhì)．

本解法借助于整體思想，通過(guò)兩次轉(zhuǎn)化，一氣呵成，不僅方法常規(guī)技巧性不強(qiáng)，而且計(jì)算量也不大，便于理解、掌握與運(yùn)用．更重要的是有此鋪墊，學(xué)生理解“數(shù)形結(jié)合”的方法就更加得心應(yīng)手了．

圖1

如此遞進(jìn)處理，不僅讓學(xué)生體會(huì)了由繁到簡(jiǎn)的推進(jìn)過(guò)程，感受到“數(shù)形結(jié)合”水到渠成之妙，而且還從本質(zhì)上加深了知識(shí)的理解，強(qiáng)化了方法間的聯(lián)系，優(yōu)化了思維品質(zhì)，極大地提升了糾錯(cuò)能力．應(yīng)當(dāng)指出的是，關(guān)于“數(shù)形結(jié)合”方法的教學(xué)務(wù)必要引領(lǐng)學(xué)生不但知道“怎樣做”，還要知道“什么情況下才可以這樣做”，避免陷入過(guò)于追求“以形助數(shù)”的誤區(qū)，導(dǎo)致失策失分．

2 幾點(diǎn)體會(huì)

2.1 “挖掘本質(zhì)”是避免“一錯(cuò)再錯(cuò)”的前提

常規(guī)的糾錯(cuò)模式是教師指出幾種典型錯(cuò)解，再統(tǒng)一給出正解，并通過(guò)一組類(lèi)似問(wèn)題強(qiáng)化．這是一種典型的“以錯(cuò)論錯(cuò)”處理方式，弊端是缺乏深入的犯錯(cuò)成因剖析，學(xué)生只知道“錯(cuò)在哪里”，卻不知道“為什么犯錯(cuò)”，無(wú)法從根本上杜絕“再錯(cuò)”現(xiàn)象的發(fā)生．相反，若能象本文案例分析那樣，從教法和學(xué)法上透過(guò)現(xiàn)象，深入挖掘問(wèn)題存在的本質(zhì)，找出犯錯(cuò)背后深層次的成因，并積極尋求改進(jìn)對(duì)策，必能徹底扭轉(zhuǎn)“一錯(cuò)再錯(cuò)”現(xiàn)象的屢屢發(fā)生，起到事半功倍之效．

2.2 “對(duì)癥下藥”是避免“一錯(cuò)再錯(cuò)”的抓手

學(xué)生犯錯(cuò)的原因五花八門(mén)、因人而異，糾錯(cuò)時(shí)只有“對(duì)癥下藥”，方能力求“藥到病除”．有的是書(shū)寫(xiě)規(guī)范性問(wèn)題，導(dǎo)致看錯(cuò)數(shù)字或字母甚至看錯(cuò)位置引發(fā)錯(cuò)誤，則需從養(yǎng)成良好書(shū)寫(xiě)習(xí)慣入手，改掉字跡潦草和做事毛糙的壞毛病；有的是審題不透問(wèn)題，只知其一不求其二，則需從培養(yǎng)“解后反思”的良好思維習(xí)慣入手，學(xué)會(huì)用“數(shù)學(xué)腦子做數(shù)學(xué)題”，加強(qiáng)思維深度的訓(xùn)練，確立三思而后行的良好審題意識(shí)，改掉“一看就會(huì)一做就錯(cuò)”的眼高手低的陋習(xí)；有的是知識(shí)理解有偏差或缺失，則需針對(duì)性地個(gè)別輔導(dǎo)補(bǔ)缺補(bǔ)漏；有的是教學(xué)失策留下的隱患，則需象本文案例回顧中的“糾錯(cuò)策略”那樣處理，從根本上消除學(xué)生犯錯(cuò)的隱患……

關(guān)于糾錯(cuò)，筆者最大的體會(huì)是:訂正作業(yè)一定要面批．對(duì)于典型錯(cuò)誤一定要讓學(xué)生“說(shuō)錯(cuò)”，即說(shuō)明“錯(cuò)在哪里”“為什么犯錯(cuò)”“正解思路是什么”“應(yīng)該怎樣想”和“同一類(lèi)型如何避錯(cuò)”，力求知其然更要知其所以然，從而有效防止“再錯(cuò)”現(xiàn)象的發(fā)生，甚至防患于未然．

2.3 “養(yǎng)成良好學(xué)習(xí)習(xí)慣”是避免“一錯(cuò)再錯(cuò)”的保障

不少老師和同學(xué)偏愛(ài)把錯(cuò)誤歸咎于“粗心”，似乎稍加留心，錯(cuò)誤就可完全避免．殊不知，這只是表象，真正的根源在于平時(shí)未能養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，因此從培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣入手，才是避免“一錯(cuò)再錯(cuò)”現(xiàn)象屢屢發(fā)生的根本保障！當(dāng)然，良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣涵蓋內(nèi)容甚廣，如課前預(yù)習(xí)、認(rèn)真聽(tīng)課、巧記筆記、及時(shí)鞏固、獨(dú)立作業(yè)、規(guī)范解題、大膽質(zhì)疑、勇于反思等，各種習(xí)慣間又相互交融，也與“再錯(cuò)”現(xiàn)象屢屢發(fā)生有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，其養(yǎng)成必能極大地有效遏制“再錯(cuò)”現(xiàn)象的發(fā)生概率．值得注意的是，這些習(xí)慣的養(yǎng)成不可能一蹴而就，而要做好長(zhǎng)期滲透的謀劃，力“潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲”之妙也．

筆者就借助用活頁(yè)紙記筆記培養(yǎng)學(xué)生善于系統(tǒng)歸類(lèi)整理筆記的良好習(xí)慣，即要求學(xué)生拋棄硬面抄筆記本，改為用活頁(yè)紙記筆記，且是一紙一類(lèi)(同一張紙上只記同一類(lèi)問(wèn)題，甚至一紙一問(wèn)題)，再借助于活頁(yè)紙的可移動(dòng)性，把在不同時(shí)期遇到的同類(lèi)問(wèn)題或某系列問(wèn)題進(jìn)行歸類(lèi)整理，便于系統(tǒng)化理解、反思與吸收．如忽視分類(lèi)討論致錯(cuò)就是各類(lèi)考試中學(xué)生失分的重災(zāi)區(qū)，常有防不勝防之感．但筆者借助于活頁(yè)紙整理錯(cuò)題集的做法，由于可以把不同時(shí)期收集的分類(lèi)討論錯(cuò)題，經(jīng)過(guò)移動(dòng)按同一類(lèi)型與分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行系統(tǒng)整理，并定時(shí)反思，吃透分類(lèi)的依據(jù)，起到溫故而知新之妙，從而極大地減少了因忽視分類(lèi)致錯(cuò)的概率．

總之，“再錯(cuò)”是難免的，但屢屢發(fā)生就值得教師從教與學(xué)兩方面進(jìn)行反思，并積極尋求對(duì)策，力求做到“亡羊補(bǔ)牢猶未晚矣”．