求生活中概率的五種方法

文 /李繼龍

概率在生活中的應用很廣泛，也是中考的重點.下面以生活中的概率為例，歸納求概率的五種常用方法，供你學習時參考.

例1把分別寫有數(shù)字1，2，3，4，5的5張同樣的小卡片放進不透明的盒子里，攪拌均勻后隨機取出一張小卡片，則取出的卡片上的數(shù)字大于3的概率是______．

解析：在1,2,3,4,5中大于3的只有4,5，

點評：如果一個事件有n種可能，而且這些事件發(fā)生的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結果，那么事件A發(fā)生的概率.用公式求概率是最常見的方法.

例2小明向如圖1所示的正方形ABCD區(qū)域內投擲飛鏢，點E是以AB為直徑的半圓與對角線AC的交點．如果小明投擲飛鏢一次，則飛鏢落在陰影部分的概率為（ ）

解析：如圖1所示,連接BE，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠CAB=45°，

根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得∠AEB=90°，

∴AE=BE，

圖1

選B．

點評：求幾何圖形概率，需要熟悉圖形的性質，運用整體思想、轉化思想、割補思想、補形思想等求面積.這類題已成為近年中考的常見題，一般用幾何圖形的面積比求概率.

三、用頻率估計概率

例3圖2顯示了用計算機模擬隨機投擲一枚圖釘?shù)哪炒螌嶒灥慕Y果．

下面有三個推斷：

①當投擲次數(shù)是500時，計算機記錄釘尖向上的次數(shù)是308，所以釘尖向上的概率是0.616；

②隨著試驗次數(shù)的增加，釘尖向上的頻率總在0.618附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性，可以估計釘尖向上的概率是0.618；

③若再次用計算機模擬此實驗，則當投擲次數(shù)為1000時，釘尖向上的頻率一定是0.620．

其中合理的是（ ）

A．①. B．②. C．①②. D．①③.

圖2

解析：當投擲次數(shù)是500時，計算機記錄釘尖向上的次數(shù)是308，所以此時釘尖向上的頻率是：308÷500＝0.616，但釘尖向上的概率不一定是0.616.①錯誤.

隨著實驗次數(shù)的增加，釘尖向上的頻率總在0.618附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性，可以估計釘尖向上的概率是0.618．②正確.

若再次用計算機模擬實驗，當投擲次數(shù)為1000時，釘尖向上的頻率可能是0.620，不一定是0.620.③錯誤.

選B．

點評：大量重復實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定值附近擺動，并且擺動的幅度越來越小，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．

四、用列表法求概率

例4如圖3，有四張背面完全相同的紙牌A，B，C，D，正面分別畫有四個不同的幾何圖形，將這四張紙牌背面朝上洗勻．

（1）從中隨機摸出一張，求摸出的牌是中心對稱圖形的概率；

（2）小明和小亮約定做一個游戲，其規(guī)則為：先由小明隨機摸出一張紙牌，不放回，再由小亮從剩下的紙牌中隨機摸出一張，若摸出的兩張牌都是軸對稱圖形，則小明獲勝，否則小亮獲勝.這個游戲公平嗎？請用列表法（或樹形圖）說明理由（紙牌用A，B，C，D表示）．

圖3

解析：（1）共有4張牌，正面是中心對稱圖形的紙牌有B，C，D共3張，所以摸到中心對稱圖形的紙牌的概率是

（2）把摸出的兩張牌的情況列表如下：

A B C D A（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（C，B）（D，B）（D，C）C（A，C）（B，C）D（A，D）（B，D）（C，D）

共有12種結果，每種結果出現(xiàn)的可能性相同，其中兩張牌都是軸對稱圖形的有（A，B），（A，D），（B，A），（B，D），（D，A），（D，B）6種，

因此這個游戲公平．

點評：列表的目的在于不重不漏地列舉出所有可能的結果，即求出n，從中算出符合事件A的數(shù)目m，利用公式求出概率.列舉法求概率的關鍵在于列舉出所有可能的結果.當有兩個元素時，可以用列表法列舉，也可用樹形圖列舉.判斷游戲是否公平的關鍵在于雙方獲取的概率是否相等.若游戲雙方獲勝的概率相等，說明游戲是公平的，否則游戲不公平.

五、用樹形圖求概率

例5端午節(jié)放假期間，小明和小華準備到宜賓的蜀南竹海（記為A）、興文石海（記為B）、夕佳山民居（記為C）和李莊古鎮(zhèn)（記為D）中的一個景點去游玩.他們各自在這四個景點中任選一個，每個景點被選中的可能性相同．

（1）小明選擇去蜀南竹海旅游的概率為______；

（2）用樹形圖或列表的方法求小明和小華都選擇去興文石海旅游的概率．

解析：（1）∵小明選擇游玩的景點有A，B，C，D四種，

（2）小明和小華選擇游玩的景點的樹形圖如圖4所示：

圖4

兩人選擇的方案共有16種等可能的結果，其中都選擇興文石海B只有1種，

點評：畫樹形圖法適用于事件涉及兩個或更多元素，它能不重不漏地列出所有可能的結果.當事件分三步或三步以上時，用樹形圖求解比較方便.