鐘表上的數(shù)學(xué)題

文/林革

生活中有不少數(shù)學(xué)題.這些題看似簡(jiǎn)單,解題方法卻獨(dú)特.請(qǐng)看下面兩道題.

【試題1】在鐘表上,時(shí)針和分針每天重合多少次？

大多數(shù)人的第一感覺(jué)答案是24次.理由是一天有24小時(shí)，分針比時(shí)針轉(zhuǎn)的速度要快，似乎每小時(shí)都會(huì)追上時(shí)針，即每小時(shí)重合一次，每天重合24次.

這種分析不能說(shuō)完全沒(méi)有道理，只是結(jié)果與實(shí)際情況有些誤差.在數(shù)學(xué)計(jì)算中,要求結(jié)果準(zhǔn)確無(wú)誤.

下面從12時(shí)入手,這時(shí)分針和時(shí)針重合.時(shí)針比分針走得慢，它們經(jīng)過(guò)一定的時(shí)間后會(huì)再次重合.重合的特征是什么呢?它們經(jīng)過(guò)多少時(shí)間才能重合呢?這是解答此題的關(guān)鍵.

我們知道，時(shí)針和分針都是繞同一定點(diǎn)旋轉(zhuǎn).分針1小時(shí)轉(zhuǎn)一周，即60分鐘轉(zhuǎn)360度，每分鐘轉(zhuǎn)6度；時(shí)針12小時(shí)轉(zhuǎn)一周,即720分鐘轉(zhuǎn)360度，即每分鐘轉(zhuǎn)0.5度.當(dāng)分針比時(shí)針多轉(zhuǎn)一周,即多轉(zhuǎn)360度時(shí)，它們就重合了.你這么思考，就把時(shí)針與分針的重合問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了行程中的追及問(wèn)題.

從12時(shí)開(kāi)始,設(shè)經(jīng)過(guò)t分鐘后,時(shí)針與分針第一次重合.由已知得

一天有24小時(shí),即24×60=1440分鐘,時(shí)針與分針每隔分鐘重合一次,共重合

如果你還要把一天結(jié)束時(shí)的午夜12點(diǎn)與第二天零點(diǎn)的那一次重合計(jì)算進(jìn)來(lái)，就是23次.這就是正確的答案.

【試題2】一個(gè)正三角形的每一個(gè)角各有一只螞蟻.每只螞蟻同時(shí)朝另一只螞蟻?zhàn)鲋本€運(yùn)動(dòng)，方向隨機(jī)選擇.問(wèn)：螞蟻不相撞的概率是多少？

這是一道生動(dòng)而有趣的題.三只螞蟻在每個(gè)角上都有兩種方向可供選擇，每只螞蟻選擇的方向不確定，組成的各種運(yùn)動(dòng)情形較為繁雜.

如果這樣思考,你就沒(méi)抓住問(wèn)題的本質(zhì).解數(shù)學(xué)題,就要排除習(xí)慣因素的干擾,找到解決問(wèn)題的突破口.

為了說(shuō)明這道題所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思維，我們先來(lái)看下面這道趣味數(shù)學(xué)題：

一家錄像廳，原門票8元一張，降價(jià)后平均每場(chǎng)觀眾增加了3倍，收入增加了1.5倍.請(qǐng)問(wèn)門票降價(jià)多少元？

這個(gè)問(wèn)題按常規(guī)思路來(lái)解答似乎缺少條件.我們不妨從最簡(jiǎn)單的情形入手,把問(wèn)題簡(jiǎn)化成只有一個(gè)觀眾，解答過(guò)程就非常簡(jiǎn)單快捷.

假設(shè)原來(lái)平均每場(chǎng)有一個(gè)觀眾，那么降價(jià)后平均每場(chǎng)就有1×（1+3）=4人，收入有8元×（1+1.5）=20元.

20÷4=5（元），8-5=3.

由此可知，門票降價(jià)后的價(jià)格為5元，即門票降價(jià)3元.

由此可見(jiàn)，從最簡(jiǎn)單的情形入手,可以收到意想不到的效果.

類似的，我們可以解答螞蟻不相撞的概率問(wèn)題.

從整體來(lái)看，只有兩種方法可以讓螞蟻避免相撞：它們?nèi)宽槙r(shí)針運(yùn)動(dòng)或者全部逆時(shí)針運(yùn)動(dòng).否則，肯定會(huì)相撞.

既然如此，我們不妨選擇一只螞蟻A作為參照標(biāo)準(zhǔn)，只要A確定了是逆時(shí)針或者順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，那么其他的螞蟻就必須同方向運(yùn)動(dòng)才能避免相撞.由于螞蟻運(yùn)動(dòng)的方向是隨機(jī)選擇的，那么第二只螞蟻B有的概率選擇與A相同的運(yùn)動(dòng)方向;第三只螞蟻C也有的概率選擇與A相同的運(yùn)動(dòng)方向.

怎么樣？解答很簡(jiǎn)單吧.只是我們習(xí)慣性把問(wèn)題復(fù)雜化，不自覺(jué)地給自己增加了難度.為了強(qiáng)化這種十分有效的極端化思維，最后向大家介紹一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)游戲：兩個(gè)人往一張普通的圓桌上輪流放一枚硬幣，交替進(jìn)行.規(guī)則是每一枚硬幣都必須平放在桌上，而且不許重疊.誰(shuí)在桌上放下最后一枚硬幣，誰(shuí)就獲勝.現(xiàn)在有一個(gè)問(wèn)題：有沒(méi)有方法判斷哪一方一定能獲勝呢？答案是：選擇先放的一方必獲勝.有的同學(xué)會(huì)問(wèn)：這是為什么呢？最簡(jiǎn)單直觀的方法是，想象硬幣變大，最極端的情形是硬幣與圓桌一樣大，那么顯然先放的那個(gè)人必獲勝.因?yàn)檫@個(gè)人放了以后，另一個(gè)人就不能再放了.這正是利用極端化原理，很快就得出了正確答案.