文/林革
生活中有不少數(shù)學題.這些題看似簡單,解題方法卻獨特.請看下面兩道題.
【試題1】在鐘表上,時針和分針每天重合多少次?
大多數(shù)人的第一感覺答案是24次.理由是一天有24小時,分針比時針轉(zhuǎn)的速度要快,似乎每小時都會追上時針,即每小時重合一次,每天重合24次.
這種分析不能說完全沒有道理,只是結(jié)果與實際情況有些誤差.在數(shù)學計算中,要求結(jié)果準確無誤.
下面從12時入手,這時分針和時針重合.時針比分針走得慢,它們經(jīng)過一定的時間后會再次重合.重合的特征是什么呢?它們經(jīng)過多少時間才能重合呢?這是解答此題的關(guān)鍵.
我們知道,時針和分針都是繞同一定點旋轉(zhuǎn).分針1小時轉(zhuǎn)一周,即60分鐘轉(zhuǎn)360度,每分鐘轉(zhuǎn)6度;時針12小時轉(zhuǎn)一周,即720分鐘轉(zhuǎn)360度,即每分鐘轉(zhuǎn)0.5度.當分針比時針多轉(zhuǎn)一周,即多轉(zhuǎn)360度時,它們就重合了.你這么思考,就把時針與分針的重合問題轉(zhuǎn)化成了行程中的追及問題.
從12時開始,設經(jīng)過t分鐘后,時針與分針第一次重合.由已知得
一天有24小時,即24×60=1440分鐘,時針與分針每隔分鐘重合一次,共重合
如果你還要把一天結(jié)束時的午夜12點與第二天零點的那一次重合計算進來,就是23次.這就是正確的答案.
【試題2】一個正三角形的每一個角各有一只螞蟻.每只螞蟻同時朝另一只螞蟻做直線運動,方向隨機選擇.問:螞蟻不相撞的概率是多少?
這是一道生動而有趣的題.三只螞蟻在每個角上都有兩種方向可供選擇,每只螞蟻選擇的方向不確定,組成的各種運動情形較為繁雜.
如果這樣思考,你就沒抓住問題的本質(zhì).解數(shù)學題,就要排除習慣因素的干擾,找到解決問題的突破口.
為了說明這道題所蘊含的數(shù)學思維,我們先來看下面這道趣味數(shù)學題:
一家錄像廳,原門票8元一張,降價后平均每場觀眾增加了3倍,收入增加了1.5倍.請問門票降價多少元?
這個問題按常規(guī)思路來解答似乎缺少條件.我們不妨從最簡單的情形入手,把問題簡化成只有一個觀眾,解答過程就非常簡單快捷.
假設原來平均每場有一個觀眾,那么降價后平均每場就有1×(1+3)=4人,收入有8元×(1+1.5)=20元.
20÷4=5(元),8-5=3.
由此可知,門票降價后的價格為5元,即門票降價3元.
由此可見,從最簡單的情形入手,可以收到意想不到的效果.
類似的,我們可以解答螞蟻不相撞的概率問題.
從整體來看,只有兩種方法可以讓螞蟻避免相撞:它們?nèi)宽槙r針運動或者全部逆時針運動.否則,肯定會相撞.
既然如此,我們不妨選擇一只螞蟻A作為參照標準,只要A確定了是逆時針或者順時針運動,那么其他的螞蟻就必須同方向運動才能避免相撞.由于螞蟻運動的方向是隨機選擇的,那么第二只螞蟻B有的概率選擇與A相同的運動方向;第三只螞蟻C也有的概率選擇與A相同的運動方向.
怎么樣?解答很簡單吧.只是我們習慣性把問題復雜化,不自覺地給自己增加了難度.為了強化這種十分有效的極端化思維,最后向大家介紹一個有趣的數(shù)學游戲:兩個人往一張普通的圓桌上輪流放一枚硬幣,交替進行.規(guī)則是每一枚硬幣都必須平放在桌上,而且不許重疊.誰在桌上放下最后一枚硬幣,誰就獲勝.現(xiàn)在有一個問題:有沒有方法判斷哪一方一定能獲勝呢?答案是:選擇先放的一方必獲勝.有的同學會問:這是為什么呢?最簡單直觀的方法是,想象硬幣變大,最極端的情形是硬幣與圓桌一樣大,那么顯然先放的那個人必獲勝.因為這個人放了以后,另一個人就不能再放了.這正是利用極端化原理,很快就得出了正確答案.