立體幾何易錯題歸類剖析

■河南省商丘市第一高級中學(xué) 郭 永

立體幾何由三部分組成,一是空間幾何體,二是空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系,三是立體幾何中的向量方法。高考在命制立體幾何試題時,對這三個部分的要求和考查方式是不同的。在空間幾何體部分,主要是以空間幾何體的三視圖為主展開,考查空間幾何體三視圖的識別判斷,通過三視圖給出的空間幾何體的表面積和體積的計算等問題,試題的題型主要是選擇題或者填空題,在難度上也進(jìn)行了一定的控制,盡管各地有所不同,但基本上都是中等難度或者較易的試題。但是,有些題是看起來簡單做對卻很難。因?yàn)榱Ⅲw幾何有好多易錯題,所以我們對易錯題進(jìn)行歸類剖析就很容易在該知識點(diǎn)的解答中拿高分。

易錯點(diǎn)1——求異面直線所成的角,若所成角為90°,容易忽視用證明垂直的方法來求夾角大小這一重要方法

例1 在三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=2BB1,則AB1與C1B所成角的大小為( )。

A.60° B.90° C.105° D.75°

易錯點(diǎn)分析：忽視垂直的特殊求法導(dǎo)致方法使用不當(dāng)而浪費(fèi)很多時間。

解析：如圖1,D1,D分別為B1C1,BC的中點(diǎn),連接AD,D1C。設(shè)BB1=1,則AB=2,則AD為AB1在平面BC1上的射影。又BE=BE2+BD2-2BE·BD·所以∠BED=90°,所以AB1與C1B垂直。

圖1

知識點(diǎn)歸類點(diǎn)撥：求異面直線所成的角、直線與平面所成的角和二面角時,對特殊的角,如90°,可以采用證明垂直的方法來求之。

易錯點(diǎn)2——對幾何體的概念不清,找不出空間幾何體定義的關(guān)鍵要素

例2 設(shè)有四個命題：①底面是矩形的平行六面體是長方體;②棱長都相等的直四棱柱是正方體;③有兩條側(cè)棱都垂直于底面一邊的平行六面體是直平行六面體;④對角線相等的平行六面體是直平行六面體。

其中真命題的個數(shù)是( )。

A.1 B.2 C.3 D.4

易錯點(diǎn)分析：不能理清各種棱柱之間的聯(lián)系與區(qū)別。

解析：命題①是假命題。因?yàn)榈酌媸蔷匦蔚闹逼叫辛骟w才是長方體。底面是矩形,側(cè)棱不垂直于底面,這樣的四棱柱是斜平行六面體。命題②是假命題。底面是菱形,底面邊長與棱長相等的直四棱柱不是正方體。命題③是假命題。因?yàn)橛蓛蓷l側(cè)棱垂直于底面一邊不能推出側(cè)棱與底面垂直。命題④是真命題,如圖2所示,平行六面體ABCDA1B1C1D1中所有對角線 相 等,對 角 面B1BDD1是平行四邊形,對角線BD1=B1D,所以四邊形B1BDD1是矩形,即BB1⊥BD,同理四邊形A1ACC1是矩形,所以AA1⊥AC,由AA1∥BB1知BB1⊥底面ABCD,即該平行六面體是直平行六面體。故選A。

圖2

知識點(diǎn)歸類點(diǎn)撥：解這類選擇題的關(guān)鍵在于理清各種棱柱之間的聯(lián)系與區(qū)別,要緊扣底面形狀及側(cè)棱與底面的位置關(guān)系來解題。

易錯點(diǎn)3——對經(jīng)度和緯度兩個概念容易混淆,弄不清楚經(jīng)度是二面角,緯度是線面角

例3 如圖3,在北緯45°的緯線圈上有A,B兩點(diǎn),它們分別在東經(jīng)70°與東經(jīng)160°的經(jīng)度上,設(shè)地球的半徑為R,求A,B兩點(diǎn)的球面距離。

解析：設(shè)北緯45°緯線圈的圓心為O1,地球中心為O,則∠AO1B=160°-70°=90°,∠OBO1=45°,OB=R,O1B=O1A=R,AB=R,連接AO,AB,則AO=BO=AB=R,所以∠AOB=。故A,B兩點(diǎn)間的球面距離為

圖3

知識點(diǎn)歸類點(diǎn)撥：數(shù)學(xué)上,某點(diǎn)的經(jīng)度是經(jīng)過這點(diǎn)的經(jīng)線與地軸確定的平面與本初子午線(0°經(jīng)線)和地軸確定的半平面所成的二面角的度數(shù)。某點(diǎn)的緯度是經(jīng)過這點(diǎn)的球半徑與赤道面所成的角的度數(shù)。

易錯點(diǎn)4——對于常見幾何體的體積計算公式,特別是棱錐、球的體積公式容易忽視公式系數(shù),導(dǎo)致出錯

例4 如圖4,已知斜三棱柱ABCA1B1C1的底面△ABC是直角三角形,∠C=90°,BC=2cm,B1在底面上的射影D恰好是BC的中點(diǎn),側(cè)棱與底面成60°角,側(cè)面AA1B1B與側(cè)面BB1C1C所成角為30°,求斜棱柱的側(cè)面積與體積。

易錯點(diǎn)分析：B1在底面ABC上的射影D為BC的中點(diǎn),提供了線面垂直,即B1D⊥平面ABC。又∠C=90°,即AC⊥BC,可以得到AC⊥平面BB1C1C。利用這兩個線面垂直關(guān)系,可以方便地找到條件中的線面角以及二面角的平面角。

解析：因?yàn)锽1在底面ABC上的射影D為BC的中點(diǎn),所以B1D⊥平面ABC。所以∠B1BD為側(cè)棱B1B與底面ABC所成的角,即∠B1BD=60°。

因?yàn)椤螩=90°,即AC⊥BC,又AC⊥B1D,所以AC⊥平面BB1C1C。過點(diǎn)A作AE⊥B1B于點(diǎn)E,連接CE,則CE⊥B1B。

所以∠AEC是側(cè)面AA1B1B與側(cè)面CC1B1B所成二面角的平面角,所以∠AEC=30°。

在Rt△CEB中,因?yàn)椤螩EB=60°,BC=2,所以CE=3。

在Rt△ACE中,因?yàn)椤螩EA=30°,CE=3,所以AC=ECtan30°=1,AE=2AC=2。

圖4

在Rt△B1DB中,∠B1BD=60°,BD=BC=1,所以BB1=2BD=2,B1D=BB1sin60°=3。

所以S側(cè)=CE·BB1+AE·BB1+AC·AA1=(3+2+1)×2=2(3+3)(cm2)。

知識點(diǎn)歸類點(diǎn)撥：計算簡單幾何體的體積,要選擇某個面作為底面,選擇的前提條件是這個面上的高易求,本例中的△ACE是斜棱柱的一個截面,而且有側(cè)棱與該截面垂直,這個截面稱為斜棱柱的直截面,我們可以用這個截面把斜棱柱分成兩部分,并且用這兩部分拼湊成一個以該截面為底面的直棱柱,斜棱柱的側(cè)面積等于該截面的周長乘以側(cè)棱長,體積為該截面的面積乘以側(cè)棱長。