三角最值變化多端,曲徑通幽巧解妙算

■河南省商丘市第一高級中學 楊 涵(指導老師：何茂紅)

興趣是最好的老師,有興趣才能有激情,才能樂此不疲,才能靈感涌現(xiàn),從而養(yǎng)成學習的主動性和積極性。在數(shù)學學習中,我們要用心發(fā)現(xiàn)規(guī)律,激發(fā)學習的興趣,才能處變不驚,曲徑通幽,成為數(shù)學學習的佼佼者。

一、高考真題展示

(Ⅰ)求ω;

(Ⅱ)將函數(shù)y=f(x)的圖像上各點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變),再將得到的圖像向左平移個單位,得到函數(shù)y=g(x)的圖像,求g(x)在最小值。

思路分析：求解第(Ⅰ)問時,利用輔助角公式,先把函數(shù)f(x)化成“一角一函數(shù)一次”的形式,然后一個方程一個未知數(shù),再根據(jù)ω的范圍確定ω的具體值;對于第(Ⅱ)問,利用圖像變換得到g(x)的具體解析式,從而得到g(x)在具體區(qū)間上的最小值。

點評：這類題目是三角函數(shù)問題中的典型題目,可謂相當經(jīng)典。解答本題,關鍵在于能利用三角公式化簡函數(shù),進一步根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求解。

二、追根溯源剖析

題源 (課本第147頁第10題)已知函數(shù)f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x。

(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;

思路分析：化簡三角函數(shù)的關鍵在于公式的正確應用,一般規(guī)律為：見到平方就想到二倍角的余弦公式;見到正余弦乘積就想到二倍角的正弦公式。

解：f(x)=(cos2x+sin2x)(cos2xsin2x)-2sinxcosx=cos2x-sin2x=

(Ⅰ)f(x)的最小正周期T=π。

點評：解答該題的關鍵在于將已知的函數(shù)表達式化為y=Asin(ωx+φ)的數(shù)學模型,再根據(jù)此三角模型的圖像與性質(zhì)進行求解。

三、靈活變式探究

(1)當a＞0時,

點評：一般地,對于形如y=Asin2x+Bsinxcosx+Ccos2x+D的函數(shù),我們要利用二倍角公式化為形如y=asin2x+bcos2x+c的函數(shù),進而化為y=a2+b2·sin(2x+φ)+c的形式,再求該函數(shù)在給定區(qū)間上的值域或最值問題就比較容易了。

點評：解題時要注意,消元是主題,減少未知數(shù)個數(shù)是方向。本題就是利用三角函數(shù)的平方關系減少未知數(shù)的個數(shù),把原函數(shù)化為形如y=Acos2x+Bcosx+C的函數(shù),往往把cosx看成一個整體,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間上的值域或最值問題。

點評：對于形如y=A(sinx±cosx)+Bsinxcosx+C的函數(shù),聯(lián)系到(sinx±cosx)2=1±2sinxcosx,通常用換元法將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最值問題求解。

四、趁熱牛刀小試

總結：(1)研究函數(shù)的問題,要想到利用函數(shù)的性質(zhì)來研究它,求出了它的單調(diào)區(qū)間,就知道了函數(shù)的大致走勢,就可以確定函數(shù)的最值(值域)。(2)求三角函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+h的單調(diào)區(qū)間,一般要根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性來求。