圓錐曲線中的四類新題型

■河南省溫縣第一高級中學(xué) 樊紋志

在圓錐曲線中,存在一些題型需要使用一些非常規(guī)的解題方法,可以把這些問題歸納為“新題型”。這類新題型,筆者總結(jié)歸納出四類。

一、多選型

在以往的考試題中,填空題考查的知識點(diǎn)比較單一、固定、片面,為了彌補(bǔ)知識點(diǎn)覆蓋面與試題容量問題,出現(xiàn)了一類新型填空題:多選型填空題。

(1)方程x2+y2-2x-1=0表示的是圓;

(2)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為定長,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓;

(3)點(diǎn)M與點(diǎn)F(0,-2)的距離比它到直線l:y-3=0的距離小1的軌跡方程是x2=-8y;

且1＜e＜2,則k的取值范圍是k∈(-1 2,0)。其中正確結(jié)論的序號是____。

解析：本題主要考查圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的定義、拋物線的定義、橢圓的離心率等相關(guān)知識。(1)x2+y2-2x-1=0配方化為(x-1)2+y2=2,故它表示一個(gè)圓。(2)根據(jù)橢圓的定義,平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離和為定值,且定值大于兩定點(diǎn)間距離時(shí),點(diǎn)的軌跡為橢圓,故(2)錯(cuò)。(3)轉(zhuǎn)化為到F的距離與到y(tǒng)=2的距離相等,符合拋物線定義,其標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=-8y。(4)雙曲線k＜0,根據(jù)離心率1＜e＜2,的范圍求解即得k∈(-1 2,0)。

點(diǎn)評:多選型填空題考查知識點(diǎn)的范圍明顯較大,覆蓋比較全面。想要做對這一類題,就需要同學(xué)們能夠很好地掌握相關(guān)知識點(diǎn),擁有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識功底。

二、開放型

求解開放型填空題需要同學(xué)們有一定的開拓性思維能力,還要具有在特定情景中創(chuàng)造性地解決問題的能力。

已知F1,F2是橢圓(a,b＞0,且____)的兩個(gè)焦點(diǎn),P是橢圓上的一點(diǎn),且∠F1P F2=9 0°,則△F1P F2的面積是b2。請?jiān)陬}目的空缺處填入一個(gè)可能的條件。

解析：首先確定坐標(biāo)軸,假設(shè)焦點(diǎn)在y軸上,由題意知,|P F1|+|P F2|=2b,|P F1|2+|P F2|2=4c2,所以|P F1||P F2|=2(b2-c2)。

從而S△PF1F2=b2-c2＜b2,與題意矛盾。

故橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,則有a＞b＞0。

又因?yàn)閨P F1|2+|P F2|2≥|P F2|)2,所以由①、②得4c2≥

三、辨析型

這類題型傾向于考查同學(xué)們對思想方法的掌握及推理的嚴(yán)密性、科學(xué)性。對于提升同學(xué)們思維高度有一定幫助。

12的焦點(diǎn),點(diǎn)P在雙曲線上,若點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1的距離等于9,求點(diǎn)P到焦點(diǎn)F2的距離。某學(xué)生的解答如下:雙曲線的實(shí)軸長為8,由||P F1|-|P F2||=8,即|9-|P F2||=8,得|P F2|=1或1 7。

該學(xué)生的解答是否正確?若正確,請將他的解題依據(jù)填在橫線上;若不正確,請將正確的解答填在橫線上。

____。

解析：不妨設(shè)F1為左焦點(diǎn),由|P F1|=9＜a+c=1 0,知P在與F1同側(cè)的左支雙曲線上。

故有|P F2|＞|P F1|=9,則|P F2|=1 7。

所以該學(xué)生的解答不正確。

點(diǎn)評:要想正確辨析,必須對相關(guān)知識點(diǎn)透徹理解,思維必須嚴(yán)謹(jǐn)。

四、新定義型

這類題指在題中定義新概念、新運(yùn)算,要根據(jù)新定義轉(zhuǎn)化為傳統(tǒng)思路去解決問題。

(2)過動(dòng)點(diǎn)M(a,0)且斜率為1的直線l與C交于不同的兩點(diǎn)A,B,若|A B|≤2p,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

故y2=2p x(y≥0)。

(2)直線l的方程為y=x-a,代入y2=2p x,消去x得y2-2p y-2a p=0(y≥0)。

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則解得

故|A B|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=

由以上可以看出,只要我們熟練掌握知識點(diǎn),無論遇到哪種題型都可以迎刃而解。

(責(zé)任編輯 趙 平)