基于2017數(shù)學(xué)建模的濾波反投影算法應(yīng)用

李春梅

摘要 2017高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽A題是關(guān)于CT系統(tǒng)參數(shù)標(biāo)定及成像模型。CT技術(shù)的核心是圖像重建，在圖像重建的過程中，建立基于radon變換的圖像矩陣重建模型。圖像重建的核心是重建算法，在迭代法和解析法中，解析法具有更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)，處理速度快。解析重建算法中，濾波反投影算法運(yùn)算效率更高，圖像重建的質(zhì)量比較好，成本低。

【關(guān)鍵詞】CT 重構(gòu) randon 變換 濾波反投影

1 CT圖像重建原理的知識(shí)背景

CT系統(tǒng)基本過程是：平行入射的X射線垂直于探測器平面發(fā)射，形成一個(gè)發(fā)射.接收CT系統(tǒng)，每個(gè)探測器單元都看做是一個(gè)接收點(diǎn)，且間隔距離相等。計(jì)算機(jī)斷層成像圖像重建的過程是按照一定的算法將已經(jīng)檢測到的投影數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算，最終得到斷層圖像。

Radon變換及其逆變換：

物體斷層被射線掃描后需要用重建算法計(jì)算才能得到CT圖像，圖像重建的基礎(chǔ)是Radon變換及其逆變換。假設(shè)每條射線相互平行，對于一個(gè)二維平面進(jìn)行射線檢測可得到一條投影數(shù)據(jù)，該投影數(shù)據(jù)稱為二維平面的一個(gè)Radon變換;如果檢測中該平面旋轉(zhuǎn)180度，同時(shí)將對應(yīng)的投影數(shù)據(jù)進(jìn)行組合，則得到類似正弦分布形式的圖像，從正弦圖獲取二維平面圖像的變換稱為Radon反演。用公式可分別描述為：Rf（θ，f）=

（ t cosθ +s sinθ，tsinθ-s sinθ）ds，由于matlab中封裝有radon函數(shù)，使用時(shí)直接調(diào)用函數(shù)：R=radon（I，theta）。

2 濾波反投影算法

3 濾波反投影算法的應(yīng)用

為了標(biāo)定radon反演重建結(jié)果在正方形托盤中的位置，我們需要確定x-射線開始照射時(shí)刻的角度，如圖1所示。

3.1 反演圖像矩陣在正方形托盤中的位置

為了轉(zhuǎn)換后矩陣與托盤位置對應(yīng)，建立相對距離比例模型，尋找對應(yīng)在正方形托盤位置各數(shù)值在裝換后矩陣Mimg中的位置。正方形托盤的邊長分別為100mm，垂直托盤照射時(shí)需要的探測器單元個(gè)數(shù)為：

將附件3數(shù)據(jù)進(jìn)行iradon反演，通過矩陣非0點(diǎn)開始和結(jié)束位置的判斷并得出的256*256大小的介質(zhì)吸收率的數(shù)據(jù)。矩形框的四個(gè)頂點(diǎn)相對應(yīng)物理坐標(biāo)系坐標(biāo)分別為（-38.6726， -21.0956）、 （42.9628， -21.0956）、（42.9628，22.6516）、 （-38.6726，22.6516），這也是介質(zhì)位于正方形托盤的較為精準(zhǔn)位置。由于圖2是以中心作為原點(diǎn)畫圖，現(xiàn)為了保持坐標(biāo)的一致，將附件4中的坐標(biāo)值（x，y）變?yōu)椋▁-50，y-50）標(biāo)示在10點(diǎn)標(biāo)定示意圖中。由圖中看出，未知圖形外界形狀是一個(gè)橢圓狀，在靠近底部位置有兩個(gè)小橢圓部分的缺失，并且在接近橢圓頂端位置有一個(gè)稍大橢圓連接了一個(gè)小橢圓。10點(diǎn)所對應(yīng)的收率Pr：【0，0.1538，0.9862，0，0.9839，0.9963，1.0206，0.9823，0，0】將圖表結(jié)合分析，吸收率為0的點(diǎn)有5個(gè)均不在介質(zhì)中，其中有4個(gè)點(diǎn)比較集中，吸收率大小也接近，在三個(gè)類似橢圓疊合在一起時(shí)，吸收率最大為1.4703，有一個(gè)點(diǎn)在邊緣處正處于兩吸收率為0的點(diǎn)之間，整體來說，圖中點(diǎn)的分布于表中吸收率的值是一致的，間接證明結(jié)果的準(zhǔn)確性。

參考文獻(xiàn)

[1] radon變換https： //baike. baidu. com/i tem/radon%E5%8F%9 8%E6 01，8D%A2，2017.9.14

[2]F. Pontanaj. PagniezT. Flohrj.B. FaivreA.DuhamelJ.Remy郭麗君Department ofThoracic

Imaging， HospitalCalmet te，使用迭代重建和濾波反投影法的胸部CT成像，國際醫(yī)學(xué)放射學(xué)雜志