例談中職數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的滲透

楊薇

針對中職生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)現(xiàn)狀，結(jié)合教材，提出數(shù)形結(jié)合借助圖形，推導(dǎo)等差數(shù)列前N項和求和公式以及結(jié)合中職學(xué)生思維的依賴性，遲緩性，被動性等特點，用數(shù)形結(jié)合的方法類比面積公式記憶求和公式。通過以形助數(shù)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣、激勵學(xué)習(xí)信心。

數(shù)形結(jié)合思想方法中職生等差數(shù)列前N項和公式應(yīng)用數(shù)形結(jié)合是一種數(shù)學(xué)研究、數(shù)學(xué)思考、數(shù)學(xué)應(yīng)用的思想方法，其本質(zhì)就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題，因此數(shù)形結(jié)合是提高中職學(xué)生數(shù)形轉(zhuǎn)化能力和遷移思維能力的非常有效的途徑。

下面以《等差數(shù)列前N項和公式推導(dǎo)》教學(xué)為例說明數(shù)形結(jié)合思想如何在教學(xué)中進行滲透。

環(huán)節(jié)一：創(chuàng)設(shè)易于“數(shù)形結(jié)合”的情境

欣賞一段視頻——泰姬陵，泰姬陵是全部用白色大理石建成的宮殿式陵園，傳說她的陵寢中有面大理石墻壁，墻壁上有一個等邊三角形的圖案，用了相同大小的圓寶石鑲嵌而成的（如圖），一共有100層，那么你能計算出這100層一共有多少顆寶石嗎？

創(chuàng)設(shè)“數(shù)形結(jié)合”的情境是激活學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，是調(diào)動學(xué)生積極學(xué)習(xí)的有效方法。學(xué)生對高斯的算法是熟悉的，知道采用“首尾配對”的方法來求和

1+2+3+4+…+100=（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（50+51）=5050

雖然可以求出答案，但是他們對這種“首尾配對”方法的認識僅僅還是處于模仿、記憶的階段，不能靈活的運用。為了促進學(xué)生對這種算法的進一步理解，設(shè)計了問題一。

環(huán)節(jié)二：等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)

1.問題一：這個全等三角形的圖案中，第1層到第15層一共有多少顆寶石？

這是一個求奇數(shù)項和的問題，如果只是簡單的使用“首尾配對”將不能直接給出答案，而要將奇數(shù)項問題轉(zhuǎn)化為偶數(shù)項求解，進而引申出一個問題：求若干個前自然數(shù)之和是不是需要看其項數(shù)的奇偶呢？即求1+2+3+……+n需討論n的奇偶呢？而對于這種需要分類討論的問題中職生們往往望而卻步，不知從何下手，進而引導(dǎo)學(xué)生思考是否還有更簡捷的做法？

利用多媒體課件的進行直觀演示：把全等的一個三角形倒置，與原圖補成平行四邊形，啟發(fā)誘導(dǎo)學(xué)生觀察思考。

回憶初中學(xué)過的三角形面積公式的推導(dǎo)，補上一個全等的三角形就變成了平行四邊形，那每層的個數(shù)都相等（1+15=16），共有15層，非常直觀，容易的得出算法。這種借助幾何圖形的直觀特點，引導(dǎo)學(xué)生使用熟悉的幾何方法：把“全等三角形”倒置，與原圖補成一個平行四邊形，從而求出答案。這正是數(shù)形結(jié)合思想方法的最好滲透，具體、直觀，體現(xiàn)的恰到好處。

2.問題二：圖案中從第1層到第n層（1從求確定具體的的前n個正整數(shù)之和到求一般項數(shù)的前n個正整數(shù)之和，目的在于讓學(xué)生領(lǐng)會從特殊到一般的研究方法。

在三角形圖案右側(cè)倒放一個全等的三角形與原圖補成平行四邊形，并為倒序相加法的出現(xiàn)提供了一個直接的模型。借助幾何圖形的直觀性，引導(dǎo)學(xué)生獲得“倒序相加法”的思路。完成對“首尾配對求和”這種算法的改進。也體驗到了“倒序相加法”這種算法的簡潔明了，并且巧妙的避開討論n的奇偶性（這點對中職生來說是個難點），也為順利完成等差數(shù)列求和的推導(dǎo)奠定了基礎(chǔ)。從而使得本節(jié)課的難點得以突破。

問題三：在公差為d的等差數(shù)列中，定義前n項和為，如何求？

聯(lián)想到練習(xí)題中堆木料的例子，從直觀的圖像出發(fā)，把等差數(shù)列“看成”一個梯形，引導(dǎo)學(xué)生實現(xiàn)從一個數(shù)列“配對”的方法發(fā)展到兩個數(shù)列的“配對”，為“倒序相加方法”做一個鋪墊。

如圖所示：

幾何圖形能非常直觀地啟發(fā)學(xué)生的推導(dǎo)思路，幫助理解知識，因此作為中職的數(shù)學(xué)老師在平時的教學(xué)中，更要鼓勵學(xué)生借助幾何直觀進行思考，滲透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的學(xué)習(xí)意識，學(xué)會用圖來幫助理解數(shù)，真正的學(xué)活起來。

本環(huán)節(jié)從數(shù)形結(jié)合的角度設(shè)計一系列的問題，目的也就是引導(dǎo)學(xué)生從“形”出發(fā)探究等差數(shù)列求和公式，避免了用首尾相加的方法要討論的項數(shù)的奇偶問題，更直觀形象的推導(dǎo)出求和公式，也為后面公式的記憶奠定了基礎(chǔ)。

環(huán)節(jié)三：類比梯形面積公式記憶求和公式，體會數(shù)形結(jié)合的魅力

教師可做適當?shù)奶崾疽龑?dǎo)聯(lián)想到將兩個公式與梯形面積公式建立聯(lián)系。將求和公式1與梯形面積公式建立聯(lián)系，其實初中所學(xué)的梯形面積公式的推導(dǎo)也正是利用了倒置的思想。

公式2與梯形面積的另一種推導(dǎo)方法相類比。用“割”的方法，把梯形分割成一個平行四邊形和一個三角形，所求梯形面積就是這兩部分面積之和。

借助圖形的輔助，充分利用圖形直觀形象的特點，類比著記憶數(shù)學(xué)公式，不僅可以激發(fā)中職生的學(xué)習(xí)興趣，還能更有效地提高學(xué)習(xí)效率。這種采用形狀記憶法的好處就是圖形和公式互相印證，互相提醒。用這種方法記憶數(shù)學(xué)公式，學(xué)生不僅便于理解，而且記憶特別深刻。同時，有了圖形的介入，學(xué)生不需要死記硬背，對公式的理解加深了，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣也得到了提高，公式的記憶自然也就更高效了。

環(huán)節(jié)四：變式練習(xí)，進一步滲透數(shù)形結(jié)合的思想

一個筆架，最下面一層放10支筆，往上每一層都比它下面一層多放5支，最上面一層放90支.這個筆架上共放著多少支筆？

學(xué)生獨立完成變式訓(xùn)練題，提高了學(xué)生將實際問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列模型的能力，也強化數(shù)形結(jié)合的意識，滲透等差數(shù)列前n項和公式與梯形面積公式結(jié)構(gòu)的類比記憶達到了對求和公式的辨析應(yīng)用效果，進一步加深了數(shù)形結(jié)合這一思想方法的印象。

本課例“潤雨細無聲式”的滲透了數(shù)形結(jié)合的思想方法，使學(xué)生對數(shù)形結(jié)合這一基本數(shù)學(xué)思想有了更深刻的理解和認識，充分的體會到了數(shù)形結(jié)合所帶來的魅力。利用數(shù)與形的轉(zhuǎn)換，繞過一些學(xué)習(xí)障礙，使得許多學(xué)生不易理解的問題變得明了了。通過以形助數(shù)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想；借助于幾何直觀類比記憶公式，真正掌握公式。

縱觀整個中職數(shù)學(xué)教學(xué)，大部分都是在數(shù)形結(jié)合的思想指引下展開的，只有靈活、有效的用好數(shù)形結(jié)合這個工具，才能真正理解、掌握、運用數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)分析思維能力和解決數(shù)學(xué)問題的能力，以及學(xué)生的邏輯思維能力和形象思維能力。相信長此以往一定能樹立起中等職業(yè)學(xué)校學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。

參考文獻：

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